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文章目录
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- Risk management and Financial Institution Chapter 10 —— Volatility
- 10.1 Definition of Volatility 波动率定义
- 10.1.1 Variance Rate 方差变化率
- 10.1.2 交易天数与日历天数
- 10.2 Implied Volatilities 隐含波动率
- 10.2.1 The VIX Index VIX指数
- 10.3 金融变量的每日变化是否服从正态分布?
- 10.4 ==The Power Law 幂律==
- 10.5 Monitoring Daily Volatility 检测日波动率
- 10.5.1 权重模式
- 10.6 EWMA模型 The Exponentially Weighted Moving Average Model
- 10.7 The GARCH(1,1)Model
- 10.7.1 权重
- 10.8 模型的选择
- 10.9 Maximum Likelihood Methods 最大似然估计法
Risk management and Financial Institution Chapter 10 —— Volatility
- 本章内容:
- 波动率定义
- 对于市场变量变化服从幂律分布法的假设进行检验
- 一些著名的波动率估计方法EWMA、ARCH、GARCH,三者共同的显著特点是认为波动率并非一成不变的。
10.1 Definition of Volatility 波动率定义
-
A variable’s volatility, σ, is defined as the standard deviation of the return provided by the variable per unit of time when the return is expressed using continuous compounding,某个变量在单位时间内连续复利回报的标准差
-
用于风险管理的volatility,时间单位为单日
-
Si 是变量的日末价值,是变量每日连续复利的回报,与接近于相等
-
波动率的另外一个定义是:standard deviation of the proportional change in the variable during a day,变量的日相对变化的标准差,是风险管理的常用定义
问:已知资产价格为60,日波动率为2%,假设资产价格服从正态分布,则95%确信的价格区间为多少?
答:求日波动区间为±1.2元,双尾检验,2.5%upper and lower,所以区间为60±1.2*1.96倍标准差
- 利用平方根法则,T时间的标准差是单日标准差的倍,条件是每日的变量回报是独立的,且方差一致
问:已知资产价格60,日波动率2%,5天的连续复利回报率的标准差是$\sqrt{5} * 2 $% = 4.47% ,求95%confidence,价格
答:60 * 0.0447 = 2.68 , 60 ± 1.96 * 2.68
10.1.1 Variance Rate 方差变化率
- 风险管理人员关注方差的变化率要超过波动率本身
- 日方差是日回报方差,与时间成正比
10.1.2 交易天数与日历天数
- 一般的假设是一年中去除假日等有252天
- 日波动率约为年波动率的6%
10.2 Implied Volatilities 隐含波动率
- 历史波动率与隐含波动率同样重要
- BSM期权定价公式的一个参数就是底层资产价格的波动率
- 是隐含在市场期权价格内的波动率
10.2.1 The VIX Index VIX指数
-
VIX Index 定义标普500指数上30天期限的多喝看涨和看跌期权计算求得的波动率指数
-
VIX只在波动率上下注,一份合约相当于1000单位
10.3 金融变量的每日变化是否服从正态分布?
- 我们假设金融变量每日变化是服从正态分布的
- 其实大多数金融变量发生big move的可能性更大
- 明显的看出存在明显的厚尾情况,尖峰肥尾
10.4 The Power Law 幂律
- The law asserts that, for many variables that are encountered in practice, it is approximately true that the value of the variable, v, has the property that when x is large
- K 和 alpha 是常数
10.5 Monitoring Daily Volatility 检测日波动率
- Ui = In Si / In Sn-1 为第i天连续复利收益率
- 估计σn 的一种估计方式是等于Ui的标准差
-
m-1 是无偏差估计,可以被m代替,代替后转换为最大似然估计
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可以被假设为0,变量的一天的预期变化与变化的标准差比较来说,非常非常小
-
加上前两条,可以简化波动率估计的公式为:
10.5.1 权重模式
- 我们可以将更少的权重赋予更旧的数据上,权重之和需要等于1
- 对于权重的选择,存在一个长期平均方差,我们对长期平均方差也赋予一定的权重,依然所有的权重之和等于1,此模型被称作为ARCH(m)模型
10.6 EWMA模型 The Exponentially Weighted Moving Average Model
- 指数加权移动平均模型是特殊形式,其权重alpha随着回望时间加长而按 指数速度递减
- αi+1= λ * αi λ为常数,范围在[0,1]
- EWMA模型的公式为:
-
EWMA的优势:
- 数据需求少,得到新的市场变量观察值后,计算价格变化比例,更新方差估计
-
λ的设定决定了这种波动率的估计对应于新的市场变化率的反应,设置的越大,则Un-1只有较小的权重,对市场变化率反应就会慢,反之亦然
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RiskMetrics 使用的λ = 0.94,通过数据分析,与现实最为贴近
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2006年,RiskMetrics 更换使用long memory 模型
10.7 The GARCH(1,1)Model
- GARCH模型的公式:
- γ + α + β = 1 , EWMA 是 GARCH 的特殊形式
10.7.1 权重
- 对于un-i来说,权重以β指数速度下降,β 可以被定义为 decay rate,相当于EWMA中的λ,决定了ui在计算目前方差率的过程中的相对重要性
10.8 模型的选择
- 在实践中,方差会被拉回长期平均值水平,这种现象称作为均值回归,mean - reversion
- GARCH 模型具有均值回归特性 , EWMA不具备
10.9 Maximum Likelihood Methods 最大似然估计法
- 如何利用历史数据来估计模型参数——最大似然估计
- 计算参数,使用数值迭代的方式,使得数据的发生的机率最大
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