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2024年6月11日发(作者：)
函数与方程
知识要点梳理
知识点一、函数的零点
1.函数的零点
一般地，如果函数
要点诠释：
函数
归纳：方程
2.二次函数零点的判定
二次函数的零点个数，方程
判别式
3.二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
4.二次函数的零点的应用
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.
引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.
5.变号零点与不变号零点
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
，使.如
方程的根
两个不相等的实根
两个相等的实根
无实根
的实根个数见下表.
函数的零点
两个零点
一个二重零点
无零点
的零点就是方程
有实数根函数
的实数根，亦即函数
的图象与轴有交点
的图象与轴交点的横坐标．
函数有零点．
在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点
果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变
号零点.
知识点二、二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x
0
的近似值x，使它满足给定的精确度.
，使与异号，即，零点位于 第一步：在D内取一个闭区间
区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
计算
①如果
②如果
③如果
第三步：取区间
和，并判断：
，则就是
.
的零点，计算终止；
中，令
中，令
；
，则零点位于区间
，则零点位于区间
的中点，则此中点对应的坐标为
计算
①如果
②如果
③如果
……
继续实施上述步骤，直到区间
和
.
，并判断：
，则就是的零点，计算终止；
中，令
中，令
；
；
，则零点位于区间
，则零点位于区间
，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度
的近所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
似零点满足给定的精确度.
的近似零点，计算终止.这时函数
三、规律方法指导
1．如何求函数的零点？
3
北洋教育
答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.
2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？
答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.
经典例题透析
类型一、求函数的零点
(1)
(2)
x
1．求下列函数的零点.
；
.
（3）
f(x)21
举一反三：
【变式1】求函数：(1)
练习 1求函数
f(x)lg(x1)
的零点．
2．设函数f(x)＝
； (2)的零点.
2x2x[1,)
2
x2xx(,1)
,
则函数F(x)＝f(x)－
4
的零点是________．
1
类型二、确定函数零点的个数
2．二次函数
中，，则函数的零点的个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
(x－1)lnx
练习1．函数f(x)＝的零点有 ( )
x－3
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
x
2
＋2x－3，x≤ 0
2 函数f(x)＝
的零点个数为( ).
－2＋lnx，x＞0
A．0
零点定理的探究：
（1）观察二次函数
f(x)x2x3
的图象：
1
在区间
[2,1]
上有零点______；
f(2)
_______，
f(1)
_______, ○
．
f(2)
·
f(1)
_____0（＜或＞）
2
在区间
[2,4]
上有零点______；
f(2)
·
f(4)
____0（＜或＞）○．
（2）观察下面函数
yf(x)
的图象
2
B．1 C．2 D．3
1
在区间
[a,b]
上______(有/无)零点；
f(a)
·
f(b)
_____0（＜或＞）○．
2
在区间
[b,c]
上______(有/无)零点；
f(b)
·
f(c)
_____0（＜或＞）○．
3
在区间
[c,d]
上______(有/无)零点；
f(c)
·
f(d)
_____0（＜或＞）○．
练习1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)
5
北洋教育
的值 ( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
11
2．设函数f(x)＝x
3
＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内
22
( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
类型三 通过零点定理判定零点区间
设f(x)＝3
x
＋3x－8，用二分法求方程3
x
＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
练习：
1 ．用二分法求函数f(x)＝3
x
－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.562 5)＝0.003
据此数据，可得f(x)＝3
x
－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．
2．设f(x)＝3
x
－x
2
，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )．
A．x
2
＋x－3＝0
C．
4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )．
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
f(1.587 5)＝0.133
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.575 0)＝0.067
f(1.550 0)＝－0.060
B．
1
＋1＝0
x
1
x＋ln x＝0
2
D．x
2
－lg x＝0
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
1
5.(2009·天津高考)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x) ( )
3
1
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
e
1
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
e
1
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
e
1
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
e
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是
．．
举一反三：
【变式1】用二分法求函数
的一个正零点（精确到）
3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).
类型四、用二分法解决实际问题
4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，
7
北洋教育
如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手
开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；
851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学
思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
学习成果测评
基础达标
一、选择题
1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A.
B. C. D.
2.有两个互为相反数的零点的函数( )
A.只能是偶函数 B.可以是奇函数 C.可以是增函数 D.可以是减函数
3.（2011 广东广州3月6）若函数
A.
B. C. D.
没有零点，则实数的取值范围是（ ）
4.设函数
在[-1，1]内( )
是[-1，1]上的增函数，且，则方程
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
5.若已知
A.
B.
C.
在
在
在
，则下列说法中正确的是( )
上必有且只有一个零点
上必有正奇数个零点
上必有正偶数个零点
D.
6.函数
在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点
在区间内的函数值( )
A.大于等于0 B.小于等于0 C.大于0 D.小于0
7.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
二、填空题
在下列连续整数____________之间有根.
1.三次方程
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3
2.函数
三、解答题
的零点是__________.
1.用二分法求
在区间的一个实根(精确到0.01).
高考真题 【变式2】（2011 山东理16）已知函数
时，函数
的零点,则___________． .
，当
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