几何画板教案

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2023年12月22日发(作者：)

第一章：用工具框作图

通过本章，你应

熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”

学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆”

学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧

学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏

理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系

第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍

画特殊的线：单击【直尺工具】，按住Shift键拖动鼠标。

画交点：单击【选择箭头工具】，然后拖动鼠标将光标移动到交点处（光标由变成横向 ，状态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下，就会出现交点。也可通过画点工具在交点处单击。

给对象加标签（标签即对象的名称）：使用【文本工具】单击对象，可以显示或隐藏对象的标签

修改对象的标签：使用【选择箭头工具】或【文本工具】右击对象，从快捷菜单中选择相应的内容（如：点的标签…，线段的标签…）

移动标签位置：使用【选择箭头工具】或【文本工具】指向标签，当其形状变为手型时拖动标签

例1：绘制圆、线段、射线、直线、水平、垂直及450角的线、交点，修改点的标签、圆内接三角形、直角三角形

参数设置：通过执行“编辑/参数选项”命令可设置默认参数，如点的标签的设置：

移动对象：使用【选择箭头工具】拖动选择对象，然后拖动鼠标

例2：等腰三角形（画法一）

制作结果 拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变，但始终是等腰三角形，这就是几何的不变规律

要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰

三、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图

2、画圆

3、画三角形 单击【直尺工具】，移动光标到圆周上的点处（即画圆时的终点，此时点会变淡蓝色），单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆圆心处松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。

4、隐藏圆 按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后，按“Ctrl+H”

5、将该文件保存为“等腰三角形”

例3：线段的垂直平分线

一、制作结果 如图所示，无论你怎样拖动线段，竖直的线为水平线段的垂直平分线

二、要点思路 学会使用【直尺工具】画线段和直线，学会等圆的构造技巧。

操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图，画线段 。

2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住并拖动鼠标到线段的右端点，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。

3、画直线 选择【直线工具】，移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击后松开鼠标。（光标到两圆相交处，两圆会同时变为淡蓝色）

4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周和交点后，按“Ctrl+H”

5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp”

你能否由上述作法联想到等边三角形的作法？

拓展：等边三角形的画法（一）

要点思路 学会等圆的构造方法，使用“同圆半径相等”构造等边

二、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图

2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。

3、画三角形 在画线段时，光标移到两圆相交处，两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标

4、隐藏两圆 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周后，按“Ctrl+H”

将该文件保存为“等边三角形”

例4：直角三角形（画法一）

一、制作结果 拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状，但始终是直角三角形。拖动右边的点和三边可改变直角三角形的位置

二、要点思路 学会使用【画射线工具】；使用【选择工具】画交点；在圆上画线段；搞清楚画直角的原理是：直径所对的圆周角是直角

三、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图

2、画射线：移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为动，到适当位置松开，就画出一条射线，如下图

3、画圆及射线的交点：移动光标到射线和圆的交点处，单击。

注意：光标到射线和圆的交点处，射线和圆都会变为淡蓝色，状态提示栏的提示是：“单击构造交点”

。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖

4、画直角边 单击【直尺工具】，移动光标到射线的端点处（端点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠标。

5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”

6、画斜边 单击【直尺工具】，移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。

可能你会说，怎么这么繁，为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形，但这样画出的直角三角形，由于没有定义几何关系，拖动任一顶点和边，不能保证它始终是直角三角形。

7、将该文件保存为“直角三角形.gsp”

从以上几个实例不知你是否意识到：

1）用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。

2）点不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象（除“内部”外）上。线段和圆的起点和终点也

如此，即不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象上，即构造“点”与“线”的几何关系

3）【选择箭头工具】不仅用于选择，还可用来构造交点

4）在画点（或画圆、、直线、线段、射线）时，光标移到几何对象（点和线）处，几何对象会变为淡蓝色，此时单击鼠标才能保证“点”、“点”重合，“点”在“线”上

5）对于绘制图形的辅助线，一般情况下不能删除，要不然相关对象都被删除了。只能选定按快捷键“Ctrl+H”隐藏

第三节：对象的选取、删除、拖动

前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。几何画板虽然是windows软件，但它的有些选择对象的选择方式，又与一般的windows绘图软件又不同，希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。也希望通过本节的讲解，你对此有比较系统全面的了解

一、选择

在进行所有选择（或不选择）之前，需要先单击画板工具箱中的【选择箭头工具】，使鼠标处于选择箭头状态。

二、删除

删除就是把对象（点、线或圆）从屏幕中清除出去。方法是：先选中要删除的对象，然后再选择“编辑”菜单中的“清除”项，或按键盘上的“Delete”键。请注意，这时与该对象有关的所有对象均会被删除，和一般的windows软件又不同，和数学思想倒很相近，“皮之不存，毛将附焉”。

第二章：用构造菜单作图

第一节：点的作法

几何画板的点作法分为三类：对象上的点、中点、交点。

操作方法均是先选择要操作的一个或多个对象（注意不能选择无关的对象，如刚制作好的点是处于选中状态），然后执行“构造”菜单中的相对命令。

这里的对象是可以是“线（线段、射线、直线、圆、弧）”、“内部”、“函数图像”等，但不能是“点”，点上当然不能再构造点。这是一个动态的菜单，选取的对象是“线段”，这时菜单显示的是“线段上的点”，选取的对象是“轨迹”，这时菜单显示的是“轨迹上的点”……。

击两线相交处，即得交点。你不妨练习一下：

例1：画三角形的重心（1、画出一个三角形；2、画出三角形的中线；3、用鼠标直接点击中线相交处，得重心，即右图所示，这样作是不是更快捷？）

第二节：直线型的构造

一、线段、直线、射线的构造

直接使用相关工具或使用构造菜单。操作方法：选择直线上的两点，然后使用构造菜单中的相关命令。

例2：快速画中点四边形

作法：

（1）画四边形：先画四个点，使用选择工具按顺序选择这四个点，执行“构造”菜单中的“线段”命令

（2）构造四边形的四个中点：选择四边形的四条边，然后执行“构造”菜单中的“中点”命令

（3）构造中点四边形：使用选择工具按顺序选择四个中点，执行“构造”菜单中的“线段”命令

二、平行线或垂线的构造

选定点和线（可以选定多个点和多条线段）单击“构造”菜单中的“平行线”“垂线”命令

例3：画平行四边形

作法：

（1）用画线工具画出平行四边形的邻边，并用标签工具标上字母。

（2）仅选取点A和线段BC，单击菜单命令：构造→平行线（E），画出过A点且与线段BC平行的直线；同样画出另一条过点C且与线段AB平行的直线；在两条直线的相交处单击一下（注意：在选择状态下）得交点。

（3）隐藏直线：选取两条直线，单击菜单命令：显示→隐藏 平行线 （注意：可以使用快捷键：Ctrl＋H）

（4）连接AD和CD（可以用画线工具或菜单命令）

例4：三角形的高

作法：

1、画三角形ABC

2、作垂线：仅选定点A和线段BC，单击菜单命令：【构造】→【垂线（D）】就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处，得垂足点D

3、隐藏垂线：选定垂线后，按快捷键Ctrl+H

4、连接AD

例5：直角三角形的画法

（1）画线段AB并在选择状态下，拖出一个框，选中点A和线段AB

（2）单击菜单命令：【构造】→【垂线（D）】，

（3）作斜边：在画线段的状态下，对准B点单击，松开左键，移动光标到垂线单击。

（4）隐藏垂线：选中垂线，按快捷键“Ctrl+H”

（5）连接AC

三、角平分线的构造

（1）用画线工具画一角

（2）依次选择边、角点、边

（3）执行“构造/角平分线”命令

例6：作出三角形的内心

第三节：圆型线的构造（圆、圆弧）

一、圆的绘制

1，选定两点（有顺序），单击菜单命令“构造”→“以圆心和圆周上的点绘圆”就可以构造一个圆，圆心为第一个选定的点，半径为选定两点的距离。和“画圆工具”等效。

2，选定点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度。

3，等圆的画法：选定多点和一条线段（没有顺序）：选定多点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点，半径为选定的线段的长度。

4，同心圆的画法：

选定一点和多条线段（没有顺序）：选定一点和多条线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个同心圆，圆心为选定点，半径分别为选定的线段的长度。

注意：上述选定作为半径的线段可以用“带有长度单位的数值”代替，即半径可以是线段，也可以是带有长度单位的数值。

二、弧的绘制：

1，选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：选定一个圆和圆上的两点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧。

2，选定特殊的三点（第一点为另两点为端点的线段的中垂线上的点）：选定三点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧，第一个点为弧所在圆的圆心。

3，选定不在同一直线上的三点：选定三点后，单击菜单“构造”→“过三点的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧。

第四节：图形内部的构造

1，多边形内部的构造：选定三点或三点以上后，就可构造多边形内部了，如三角形内部的构造：选定三点后，单击菜单“构造”→“三角形的内部”，就可以绘出由这三点决定的三角形的内部。

2，选定一个圆（或几个圆）：选定一个圆（或几个圆）后，单击菜单“构造”→“圆内部”，就可以绘出这个圆的内部。

3，扇形（弓形）内部的构造：选定一段弧（或几段弧）：选定一段弧（或几段弧）后，单击菜单“构造”→“弧内部”→“扇形内部”或单击菜单“构造”→“弧内部”→“弓形内部”，就可以绘出这段弧所对扇形或弓形的内部。

说明：这是一个动态的菜单，如选定的是四点，则此菜单显示的是“四边形的内部”；如选定的是五点，则此菜单显示的是“五边形的内部”；如果选定的是圆，则此菜单显示的是“圆内部”；如果选定的是弧，则此菜单显示的是“弧内部”。

注意：“内部”的快捷键是“Ctrl+P”，但“弓形内部”没有快捷键。

第五节 点的轨迹的构造

例1：P为圆上任意一点，O为圆外的点，当P在圆上运动时，线段OP中点M的轨迹是什么？

操作步骤：1，作基本图形。作一圆，在圆上取一点P，在圆外作一点O，连接OP，构造其中点M

2，制作P点的动画。选择点P，执行“编辑/操作类按钮/动画”命令制作点P的动画按钮

3，追踪点M的轨迹。选择点M，执行“显示/追踪中点”命令

4，单击按钮，查看结果，按“Esc”就能清除轨迹

5，构造点M的轨迹：选定点P和点M（没有先后），单击菜单命令：【构造】→【轨迹（U）】

构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。

例2：椭圆的画法（一）

操作步骤：

1，画圆，圆心为A，在圆周上画一点D，在圆内画一点C，连结AD，CD

2，作线段CD的垂直平分线，作垂直平分线和直线AD的交点E。

3，构造轨迹：选定E点和D点，单击菜单命令：【构造】→【轨迹（U）】

4，隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点E、D、B

例3 画出一条直线绕一点旋转的轨迹

操作步骤：１，画一圆，圆心为A，在圆上画一点C，作线段AC，作过C点垂直于AC的垂线

２，选择垂线，执行“显示/追踪直线”命令；

3，隐藏圆、线段AC、点B，执行“显示/显示运动控制台”

4，选择C点，单击运动控制台上的播放按钮，修改速度

5，按Esc键取消追踪结果，选择点C及垂线，执行【构造】→【轨迹（U）】

例4 作过两点的圆系，即过两点的所有圆

操作步骤：１，作两点Ａ、Ｂ，过此两点的线段，线段的中点，中垂线

２，在垂线上取一点，作以该点为圆心，Ａ为圆上点的圆

３，选择圆，执行“显示/追踪圆”命令；

４，选择圆心，建立动画

例5 探索线段ＣＤ的端点在圆上运动时其中点及中垂线的轨迹

操作步骤：１，作一圆，作一线段ＣＤ，Ｃ为圆上的一点，Ｄ为圆外的点

２，作ＣＤ的中点及中垂线

３，选择中点，执行“显示/追踪点”命令；选择中垂线，执行“显示/追踪垂线”命令；

４，建立点Ｃ的动画：选择点Ｃ，通过“编辑/操作类按钮/动画”命令建立动画。

综合实例：

一、正方形的画法（一）

二、菱形的画法（一）

例6 画双曲线

操作步骤：1，作一圆，圆心为A

2，在圆周的水平方向上（右边）作一点C，选择点A，C，执行“构造/射线”

3，在AＣ的延长线上作一点D，过D作一线段DＥ，其中E为圆的下半部分上的一点

4，作DE的中点F，过F作DE的垂线

4，选择点E、A，作一直线交ＥＦ的中垂线于G

6，依次选择E、G，执行“构造/轨迹”命令

第三章 用变换菜单作图

在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。

一、旋转对象

一个或一个以上图形以某一点为标记中心作旋转变换。点B以点A为标记中心旋转α度，即固定线段AB的端点A，然后线段AB逆时针旋转α度得到线段AB’，则B’为B点以A为标记中心旋转α度后得到的点，图形的旋转是先旋转图上的各点，然后再连结得到旋转后的图形。

例1：画一个正方形

作图思路：将一线段以其左端点为中心旋转90度

操作步骤：

1、画线段AB。

2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。

3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转90度

4、双击点B，标记新的中心。

5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转-90度

6、连结上方两个顶点得第四边。

练习：用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法C比较，你觉得哪种方法简便些？

D例2 六角形

AB1，通过旋转的方法作一角度为60度的菱形：作一线段AB，双击A点，选择B点，执行“变换/旋转”命令，旋转60度得到点C，以其Ｃ点为中心将B点旋转60得到点D

2，以A为标记中心，将菱形旋转60度，重复旋转5次。

例3 .四瓣花

将半圆以圆上中点为标记中心旋转90度

1，作半圆：作一水平线段DE，及线段上的中点F，以中点F为中心点将右边点E旋转90度得到点E'，选择Ｅ、Ｅ'、Ｄ通过构造菜单作一过三点的弧

2，以Ｅ'为中心点，将弧及直径旋转90度

3，反复旋转３次

F''G''G'例4 立体图

1，作一菱形ABA'B'，

2，以菱形左上角的顶点B'为中心将菱形旋转120度，旋转2次

G''G'F'G'3，选择菱形的顶点，构造四边形内部，然后通过显示菜单中的颜色命令设置四边形内部的颜色

4，对另两个四边形重复３的操作。

FG'''G

二、平移对象

平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。

几何画板中，平移可以按三大类：

1，极坐标下的平移

选择平移对象后，通过“变换/平移”命令打开平移对话框，设置平移的角度和距离

2，直角坐标下的平移

在平移对话框中设置的是水平与垂直方向上的改变量

3，标记平移

先标记好向量，然后按向量的方向和距离平移

例5 画一个半径为2cm的圆

操作思路：将一个点在水平与垂直方向上都平移1cm生成一个长为2cm的线段，然后以圆心和半径绘圆

例6 全等三角形

将一个三角形按水平方向平移

例7 平行四边形的画法

将其中一条边标记为向量，对另一顶点按标记平移

例8 矩形：将一个点按水平方向和垂直方向平移得到两相邻顶点，再用旋转取得对角顶点

三、缩放对象

缩放是指对象关于“标记的中心”按固定的比例或“标记的比例”进行位似变换。

1，按固定比例缩放

先设定标记中心（双击该点），然后选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令

2，按标记比缩放

（1）依次选择作为分子与分母的线段，执行菜单“变换/标记线段比例”

（2）选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令

例9 KOTCH曲线：将一线段的端点以另端点为中心缩放1/3，以左边第2个顶点为中心将第3个顶点旋转60度，隐藏原线段，顺序连接5个顶点

四、反射对象

反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。

例10 轴对称：三角形关于对称轴的反射对象

第四章 动作按钮的制作

我们在制作课件时总是希望自己能够控制对象的运行，例如对象的显示和隐藏，物体的移动和动态效果的实现，页面的跳转和链接的控制等等。这些在几何画板都是通过对按钮进行设置来实现的。在几何画板中的【操作类按钮】有【隐藏/显示】、【动画】、、【移动】、【系列】、【链接】、【滚动】共六个能生成可操作按钮的命令。.通过这些命令制作出具有相应功能的按钮，再通过这些按钮对相关对象进行操作。下面就让我们通过一些实例来学习这些按钮的制作。

第一节 【隐藏/显示】按钮与【系列】按钮的制作

例1：隐藏与显示的切换

（1）在工作区中画出一个三角形，画矩形框选中三角形。

（2）选择【编辑】/【操作类按钮】/【隐藏/显示】命令,生成【隐藏对象】按钮

可以通过设置按钮的属性来设置按钮的功能

例2：【系列】按钮的制作。制作一个按钮，用于在显示一个三角形的同时隐藏四边形

操作思路：（1）制作三角形和四边形，分别制作它们的隐藏/显示按钮

（2）单击其中一个按钮，将其改为另一形态

（3）选择两个按钮，执行【编辑】/【操作类按钮】/【系列】命令，在打开【系列对象属性】对话框中修改其标签

（4）保留系列按钮，隐藏其余按钮。

第二节 【移动】按钮的制作

依次选择要移动的两个点，然后执行【编辑】/【操作类按钮】/【移动】命令，可以生成点的移动按钮。

例3：三角形的平移的制作.

（1）画三角形ABC：画一点A，通过对点A的移动生成三角形的另两个点B与C，连接A、B、C生成三角形

（2）画与△ABC全等的△DEF：画一点D，依次选择点A、B，执行“变换/标记向量”，选择点D，执行“变换/方法平移”命令，选择按标记平移，生成点E；依次选择点A、C，执行“变换/标记向量”，选择点D，执行“变换/方法平移”命令，选择按标记平移，生成点F，选择D、E、F，执行“构造/线段”命令

（3）制作点移动的按钮：依次选择点A、D，执行【编辑】/【操作类按钮】/【移动】命令，修改按钮标签为“移动”

（4）制作还原按钮：作一点制作G在点A的旁边，依次选择点D、G，执行【编辑】/【操作类按钮】/【移动】命令，修改按钮标签为“还原”

（5）移动点G，使其与点A重合，然后隐藏点G

第三节 【动画按钮】的制作

操作步骤：

Ｓ１：画一路径

Ｓ２：在路径上画一点

Ｓ３：选择点

Ｓ４：执行“编辑－操作类按钮－动画”命令

Ｓ５：设置动画属性，特别：将不想其移动的点的速度设为0

例4：绘制同弧上周角相等的动态演示图形。

操作思路：画一圆，在圆上画三点C、D、E，连接CD、CE。度量∠DCE，选择点C，执行“编辑－操作类按钮－动画”命令

例5：地球绕太阳旋转的动画

操作思路：画一大圆、一小圆，小圆在大圆中间作为太阳，大圆的旋转的路径，在大圆上取一点，以此点为圆心作一小圆，选择其圆心制作动画

例6：同时控制几个点的动画

操作思路：制作好图形后，选择要生成动画的点，然后执行“编辑－操作类按钮－动画”命令，最后设置各点的动画属性。

例7：参数的动画

S1：通过执行【图表】/【新建参数】命令创建参数，或通过【度量】/【计算】命令新建参数。

S2：使用参数作图

S3：选择参数，执行【编辑】菜单下的【操作类按钮】下拉菜单中的【动画】命令，根据需要进行相关设置。单击确定后，

制作1个参数，以此参数为直角三角形的一直角边作一直角三角形，度量三角形的另两条边，通过“度量/计算”命令度量两直角边的平方和及斜边的平方和。生成参数动画。

思考题：如何在一个页面中制作正多边形，但每次只显示其中一个，通过按钮可显示其它正多边形。

第四节 “链接”按钮的制作

执行【编辑】菜单下的【操作类按钮】下拉菜单中的“链接”命令，可以链接到因特网上的资源、进行本机文件的超级链接，还可以实现几何画板文件中页面的跳转”

1，链接到网页：在链接按钮属性的超级栏中输入网址

2，实现本地文件的超级链接：在链接按钮属性的超级栏中输入文件的地址及文件名

3，链接到几何画板文件中不同的页面：在链接按钮属性对话框中点选页面

第五节 滚动按钮的制作

“操作类按钮”的最后一个是“滚动”按钮，它的使用是当页面内容很多，无法全部显示。可以通过该按钮控制整个屏幕的滚动。具体操作如下：

在工作区中画一个点并选中该点，打开“滚动”属性对话框，选择滚动方向后单击“确定”后生成一个“滚动”按钮，单击该按钮整个屏幕（随着点）进行滚动。

第五章 使用图表菜单作图

第一节 一般函数图像

通过“图表/绘制新函数”命令可作一般函数的图像。通过函数图像对话框可设置图像中自变量的范围。

例1：作函数y=x2的图像

例2：作函数y=sin(x)的图像，y=3sin(5x+π/4)的图像

例3：作函数y=2x的图像

例4：作函数y=ax2+bx+c的图像

操作思路：先通过度量三个可沿垂直于X轴的直线移动的动点的纵坐标产生a、b、c的值，然后再作图。

操作步骤：S1：执行“图表/定义坐标系”命令打开坐标轴（通过删除坐标轴可删除坐标系，拖动单位点可缩放坐标系）

S2：在X轴的负半轴上作三点，作过此三点垂直于X轴的直线

S3：在垂直线各取一点，度量其纵坐标，通过修改度量结果的标签修改参数名为a,b,c

S4：通过“图表/绘制新函数”命令作函数的图像，其中参数a,b,c的输入可直接单击度量结果得到

S5：通过拖动产生参数的三个点改变函数。

问题：如何作函数y=Asin(wx+b)+c的图像，其中b为弧度角（即角的弧度）

例5：作函数20cos(6.28x)+50cos(12.56x)的图像

第二节 分段函数

若f(x)g(x)　　xa

h(x)　　xa则f(x)sgn(a-x)1sgn(x-a)1g(x)h(x)（不画x=a时的图像）

22g(x)　　xa若f(x)h(x)　　axb

k(x)　　xb则f(x)sgn(a-x)1sgn(x-a)sgn(b-x)sgn(x-b)1g(x)h(x)k(x)（不画x=a、b时的图像）

222例6：作下列分段函数的图像

x)　　x0sin(

f(x)2x　　　x0x2　　x-1f(x)sin(x)　　-1x1

21-x　　x1第三节 根据参数方程作图

S1：通过移动的点创建参数

S2：通过“度量/计算”命令创建x,y的方程（创建参数后，修改其标签分别为x,y）

S3：选择x,y，通过“图表/绘制(x,y)”绘制点

S4：选择移动的点及点(x,y)，执行“构造/轨迹”命令得出图形

说明：若x或y的值有两个表达式，则要重复多次

例7：作参数方程为x=acost,y=bsint的函数的图像

操作步骤：

S1：创建参数a,b：在X轴上取两点，过这两点作垂直于X轴的直线，在直线的上半轴上作二点A、B，度量其纵坐标，并修改其标签分别为a,b

S2：创建参数t，t为圆周角：画一圆，在圆上画二点C、D，依次选择点C、圆、点D，执行“构造/圆上的弧”命令，选择弧，执行“度量/弧度角”命令，修改试题结果的标签为t

S3：创建参数x,y：通过“度量/计算”命令计算acos(t)与bsin(t)，修改其标签分别为x,y

S4：选择x,y，执行“图表/绘制(x,y)”绘制点，得到点E

S5：选择圆点D及点E，执行“构造/轨迹”命令得出图形

例8：在同一页面中作下面参数方程的图像，并使用按钮转换

1，x=asect,y=btgt

2，x=acost(1+cost),y=asint(1+cost)

3，x=acos3(t),y=asin3(t)

4，x=3at/(1+t3)，y=3at2/(1+t3)

操作思路：作一圆弧，度量其弧度角作为参数t，

作两条垂直于x轴的垂线，并在该直线上取一点度量其纵坐标，修改其标签分别为a,b

通过“度量/计算”计算x与y的值，并修改其标签分别为x,y

选择x,y，通过“图表/绘制表(x,y)”命令作点

选择圆上的动点与点（x,y），通过“构造/轨迹”命令作图

选择所有对象，通过“编辑/操作类按钮/隐藏显示”命令制作按钮，修改其标签

选择所有对象并复制，单击按钮隐藏对象，执行粘贴命令并修改制作第2个方程的图像

第四节 根据极坐标方程作图

操作方法与作一般函数的图像基本相同，只在输入函数式子时从方程中选择极坐标方程

例9：按下列极坐标方程作图

1，阿基米德螺线ρ＝aθ

2，玫瑰线ρ＝asinnθ, ρ＝acos nθ（n=1/2,1/3,4/3，1，2,3,4,…）

操作思路：（1）参数n的确定：作一线段AB，在线段上取一点C，度量AC的距离，通过“度量/计算”命令计算trunc(AC)，并修改其标签分别为n，创建点C的动画，用于改变n的值

（2）参数n为其它情况：在同一个页面中制作，每制作完一个后，选择n、函数、图像，通过“编辑/操作类按钮/隐藏与显示”制作一个按钮将其隐藏，然后再重新创建n、图像

操作步骤：

S1：制作n=1/2时的函数图像

S11：通过“度量/新建参数”创建参数n，其值为1/2。

S12：执行“图表/绘制新函数”命令，输入函数5*cos (n*θ)

S13：选择n、函数、图像，通过“编辑/操作类按钮/隐藏与显示”制作一个按钮，修改按钮的标签为n=1/2，单击按钮将其隐藏

S2：重复S1的操作，其中S11中的n的值改为1/3，S13中的按钮标签为n=1/3

S3：重复S1的操作，其中S11中的n的值改为4/3，S13中的按钮标签为n=4/3

S4：制作n为整数时的图像

S41：作一线段AB，在线段上取一点C，度量AC的距离，通过“度量/计算”命令计算trunc(AC)，并修改其标签为n，创建点C的动画，用于改变n的值

S42：执行“图表/绘制新函数”命令，输入函数5*cos (n*θ)

S43：选择n、函数、图像，通过“编辑/操作类按钮/隐藏与显示”制作一个按钮，修改按钮的标签为“n为

整数”，单击按钮将其隐藏

第五节 根据表中数据绘制点

操作步骤：

S1：创建两个参数。通过“度量/新建参数”创建参数，或通过“度量/计算”创建参数

S2：选择两个参数，执行“图表/制表”命令

S3：向表中添加数据：双击表增加一个记录，然后双击参数修改数据。若要删除记录，或按住Shift键双击表

S4：选择表，从快捷菜单或图表菜单中执行“绘制表中的记录”

第六章 课件制作实例

例1：五棱柱的展开

S1：制作一个五边形A’B’C’D’E’

S2：作一点A，选择点A’、B’，将其标记为向量，将A点按标记向量平移得到点B

S3：以A为圆心A’E’为半径画圆，在圆上取一点并标记为E，以B为圆心B’C’为半径画圆，在圆上取一点并标记为C，以C为圆心C’D’为半径画圆，在圆上取一点并标记为D1，以E为圆心E’D’为半径画圆，在圆上取一点并标记为D2，连接D2、E、A、B、C、D1

S4：画一较长的线段MN作为五棱柱的高，选择M、N，标记为标记向量，选择D2、E、A、B、C、D1及交它们连接的线段，将其按标记向量平移

S5：连接对应的点，并构造各侧面的四边形，将其设置为不同的颜色

S6：制作一个与五边形A’B’C’D’E’全等的五边形ABC”D”E”，并制作点E到E”，C到C”，D1到D”，D2到D”的移动按钮,并将这些按钮制作为系列按钮

S7：制作直线AB，移动各圆，使其与AB相交，取得交点，并制作C、D1、E、D2到交点的移动按钮并将这些按钮制作为系列按钮

S8：隐藏不必要的对象

例2：三棱锥的体积

S1：制作个三角形，作一垂直线段，并将线段标记为向量，将三角形按标记向量平移，连接对应的点形成一个三棱柱

S2：作三棱柱的对角线，将三棱柱分为三等份，并将相应线段设为虚线

S3：作一将三其中水平线段MN，并在其中一个端点M旁边作一点K，标记MN，选择一个三棱锥，按标记向量平移，对另一三棱锥作同样的操作

S4：选择M、N，制作移动动画，选择M、K，制作移动动画

S5：隐藏不必要的对象

例3：三棱锥的侧面展开图

S1：制作一个三角形A’B’C’，如下图所示。画一点A，选择A’,B’将其标记为向量，将点A按标记向量移

动生成点B

A'B'C'

S2：以A为圆心，A’C’为半径画圆，以B为圆心，B’C’为半径画圆，作两圆的交点C，在圆A的逆时针方向上A与C之间作一点C1，在圆B的顺序针方向上B与C之间作一点C2

S3：作射线CB，取其与圆B的交点为B1，作射线CA，取其与圆A的交点为A1

S4：在圆B的C2与C之间作一点D，分别作C2到D、C2到C的移动按钮，C1到C的移动按钮，

选择这三个按钮创建一个系列按钮，执行参数选择“依次执行”，系列按钮标签为“还原”

S5：在圆A的C1与A1之间作一点E，分别作C2到B1、C1到E，C1到A1的移动按钮，选择这三个按钮创建一个系列按钮，执行参数选择“依次执行”，系列按钮标签为“展开”

S6：在AB的上面作一点F作为三棱锥的顶点，连接FA、FB、FC1、FC2、AB、BC2、AC1，并填充三个三角形内部

S7：隐藏不必要的对象

例4：相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理。

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

S1：画一圆，圆心为A，在圆内作一点C，在圆上作两点D、E，作直线DC与EC，与圆相交于G、F，隐藏直线，连接DC、EC、GC、FC、AE、AC

S2：度量线段：DC、EC、GC、FC、AE、AC，修改度量结果的标签，将AE的度量结果的标签改为r

S2：计算DC＊GC、EC＊FC， |r2-AC2|

S3：在圆内作一点H，在圆外作一点I，制作C点移动到H点的移动按钮，并修改其标签为“相交弦定理”，制作C点移动到I点的移动按钮，并修改其标签为“割线定理”，

S4：选择线段AE及E点，执行“构造/垂直”命令，在垂线上取一点J，制作点C移动到点J的移动按钮，并修改其标签为“切割线定理

S5：选择线段AD及D点，执行“构造/垂直”命令，取两切线的交点为K，制作点C移动到点K的移动按钮，并修改其标签为“切线长定理

例5：圆的斜二测水平放置

S1：执行“图表/定义坐标系”命令打开直角坐标轴，原点为A

S2：以A为圆心作两个圆，使大圆上的点C落在X轴上，小圆上的点D落在Y轴上

S3：在大圆上任取一点E，作线段AE，取其与小圆的交点为F，过F作一直线与X轴平行，过E作一直线与X轴垂直，取两线的交点为G

S4：画椭圆：依次选择点E、G，执行“构造/轨迹”命令

S5：隐藏无用的对象

64ED2FA-55GC10-2-4-6

例6：根据椭圆的第一定义作椭圆：到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹

S1：在画板上方作一线段AB，在线段上作一点C，作线段AC、CB

-8S2：在画板中间作一水平线段DE，DE的长小于AB的长，作一以D为圆心AC为半径的圆，及以E为圆心CB为半径的圆，作两圆的交点分别为F、G

S3：选择点C、F，执行“构造/轨迹”命令，选择点C、G，执行“构造/轨迹”命令，

ACBFDGE

分析：当点C在AB上移动时点F、G到点D的距离等于AC，到点E的距离等于CB，而AB＋CB＝AB，即点F、G到两定点D、E的距离之和等于AB的长

例7：根据圆锥曲线的第二定义作圆锥曲线：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e的点的轨迹。其中的常数e叫做离心率。

法一：

设定点为C（c,0）定直线为x=b，离心率为e

S1：打开直角坐标系，在X轴上作四点A、B、C、D，其中点A在左半轴，其余三点在右半轴，度量B、C、D的横坐标，并修改其标签分别为：b,c,x

S2：过A点作一直线与X轴垂直，在垂线上作一点E，度量其纵坐标，并修改其标签为e

S3：计算：sqrt(e^2(x-b)^2-(x-c)^2)，修改其标签为y

S4：依次选择x,y，执行“图表绘制点(x,y)”命令，修改绘制的点的标签为F

S5：选择点D、F，执行“构造/轨迹”命令

S6：双击X轴，选择点F，执行“变换/反射”命令，得到点F'，选择点D、F'，执行“构造/轨迹”命令

b = 1.48c = 2.38x = 3.25y = 2.72e = 1.61-54F2EBCD510-2

S7：作过点B且与X轴垂直的直线（即定直线），作过点F且与定直线垂直的直线，两直线相交于G，度量FG

S8：度量FC，计算FC/FG

S9：移动点D观察比值与e的值

S10：将点A向平移1厘米得到点A'，在垂线的A与A'之间作一点H，在垂线的A'上方作一点I依次制作点E到点I、点E到点A'，点E到点H的移动动画，并修改其标签分别为：双曲线、抛物线、椭圆

b = 0.56c = 1.48x = 3.49e = 2.14y = 5.96FC = 6.29 厘米FG = 2.94

厘米FC = 2.14FG双曲线抛物线椭圆-1086GF4IEA'HA-52BCD5-2

法二：

S1：作一圆，圆心为A，将A向0度角方向平移6厘米得到点A'，作射线AA'，在A与A'之间作一点C，

S2：在圆的右下部分作一点D，连结CD，作CD的中垂线

S3：作直线DA，（DA必须为直线，不能为射线）与中垂线交于点F

S4：选择点D、F，执行“构造/轨迹”命令

S5：移动点C

S6：制作点C移动的动画：在射线AA'上作三点G、H、I，其中G为圆与AA'的交战，H在A与G之间，I在G与A'之间，依次制作点C移动到点I、G、H的移动动画，修改其标签分别为：双曲线、抛物线、椭圆

-6双曲线抛物线椭圆FAHGECIA'BD

法三：

S1：在画板上方作一水平直线AB，隐藏点A、B，在直线上依次作点：C、D、E、F、G

S2：度量CD、CE、FG，计算CE/CD，并将比值标签改为e

S3：打开直角坐标系，在X轴正向上作一点H，作以H为圆心，FG为半径的圆

S4：绘制函数：x=FG/e，在函数图像上作两点I、J，隐藏函数图像，过I、J作直线，作直线与圆的交点K、L

S5：双击Y轴，选择直线IJ，执行“变换/反射”命令，拖动圆心H，使其与左边的直线相交，取其交点为M、N

S6：选择点G、K，执行“构造/轨迹”命令，选择点G、L，执行“构造/轨迹”命令，选择点G、M，执行“构造/轨迹”命令，选择点G、N，执行“构造/轨迹”命令。

S7：隐藏无用的对象，拖动点D

S8：选择轨迹图像，将其线形设为粗线，修改其属性，在属性对话框的“图像”选项卡中设置采样数量为1000

8CD = 1.38 厘米CE = 2.04 厘米FG = 2.20 厘米e = 1.48FGfy =

eACDEFG6B4I2KM-10-5HNL'-2510L-4J

例8：根据椭圆的标准方程作椭圆

S1：打开直角坐标系，在X轴正半轴上作一点A，度量其横坐标，并修改其标签为a，在Y轴正半轴上作一点B，度量其纵坐标，并修改其标签为b，在X轴正半轴上作一点C（C在A左边），度量其横坐标，并修改其标签为x

S2：计算y 的值：b/a*sqrt(a^2-x^2)，修改其标签为y

S3：依次选择x,y，执行“图表/绘制点(x,y)”命令，修改绘制的点的标签为D

S4：选择点C、D，执行“构造/轨迹”命令

-8

S5：双击X轴，选择D点，执行“变换/反射”命令得到点D’，选择C、D’ 执行“构造/轨迹”命令

S6：选择轨迹图像，将其线形设为粗线，修改其属性，在属性对话框的“图像”选项卡中设置采样数量为1000

a = 3.52b = 1.77x = 2.38y = 1.31-54B2DCA5D'-2

例9：根据双曲线的参数方程作双曲线

设双曲线的标准方程为：

xasectx2y21 其参数方程为：

22abybtant-4S1：确定参数a,b：打开直角坐标系，在X轴正半轴上作一点A，度量其横坐标，并修改其标签为a，在Y轴正半轴上作一点B，度量其纵坐标并修改其标签为b

S2：确定参数t：在第三象限画一圆，在圆上作两点E、F，选择E、F及圆，执行“构造/圆上的弧”命令，度量弧度角并修改其标签为t

S3：计算a/cos(t)，并修改其标签为x，计算b*tan(t)并修改其标签为y

S4：依次选择x,y，执行“图表/绘制点(x,y)”命令，修改绘制的点的标签为G

S5：选择点F、G，执行“构造/轨迹”命令

a = 1.69b = 2.46t = 54.87x = 2.94y = 3.50-54GB2A510FCDE-2-4

例10：滚动的字幕

在画板左边画一线段，在线段上画一点C，通过点C在线段上从下到上生成多个点，将文字粘贴到每个点上，当点C从下到上移动时，由C生成的各点也跟着移动，从而依附在各点上的文字也跟着移动

S1：作一垂直方向的线段，在线段下方作一点C，

S2：作一垂直方向的线段，并将其标记为向量（方向向上）

S3：选择点C，执行“变换/平移”命令，按标记向量平移，对平移得到的点重复执行平移命令，反复执行得到多个点

S4：选择要依附在第1个点上文字，选择最上面的点，然后执行“编辑/粘贴图片”命令

S5：对各点重复执行上一步的操作

S6：制作点C移动的动画

例11：根据双曲线的定义画双曲线

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

S1：在画板上方画一直线，在直线上画三点A、B、C，画线段AC、BC

S2：在画板中央画一水平线段DE，DE的长大于AB，以D为圆心AC为半径画圆，以E为圆心BC为半径画圆，作两圆的交点分别为F、G，则当C点移动时，F、G的轨迹是一个双曲线

例12：定长线段的运动。∠AOB＝120°，长为4的线段AB的两个端点A、B分别在∠AOB的两边OA、OB上运动，MA⊥OA，MB⊥OB，求点M的轨迹。

S1：在画板上方作长为4的线段：作一点G，将此点平移4得到点H

S2：作一120度的角，顶点为O：作水平射线OC，在其上作一点D，双击点O，将点D旋转120度得到点E，作射线OE

S3：作线段AB：在OD上作一点A，以A为圆心，以GH为半径画圆，作圆与OE的交点为B

S4：作点M：过A作一直线与OD垂直，过B作一直线与OE垂直，现垂线的交点即为M

S5：选择A、M，执行“构造/轨迹”命令

例13：曲线C的方程为（5－k）x2＋（k－1）y2＝（5－k）（k －1）：

就k的不同取值，指出方程（5－k）x2＋（k－1）y2＝（5－k）（k －1）所表示的曲线的形状。

S1：作参数x：打开坐标系，在X轴正半轴上作一点X，度量其横坐标，并修改其标签为x

S2：作参数k:：在X轴负半轴上作一点，过这点作与X轴垂直的直线，在直线上作一点K，度量其纵坐标，并修改其标签为k

S3：作参数y：计算：sqrt((5-k)*(k-1)-(5-k)*x^2)/(k-1))，并修改其标签为y

S4：绘制点（x,y）：依次选择x,y，执行“图表/绘制(x,y)”命令得到点P，双击X轴，选择P点，执行“变换/反射”命令得到点P’，

S5：选择X、P，执行“构造/轨迹”命令，选择X、P’，执行“构造/轨迹”命令

S6：移动点K

例14: 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

分析：两圆的标准方程分别为：(x+3)2+y2=4与(x-3)2+y2=10

如下图所示：点B为小圆圆心，点D为大圆心，点I为动圆心，则BI与小圆的交点K为切点，DI与大圆的交点J为动圆与动圆的切点。故有：

IB＋ID＝BK＋IK＋ID＝BK＋IL＋ID＝BK＋DL＝2＋10＝12

即动圆心到两固定点B、D的距离之和等于12。

S1：打开坐标系，拖到单位点缩小一个单位的长度

S2：通过“图表/绘制点”命令作点：A(-7,0)，B（－3,0），C（－1,0），D（3,0），E（12,0）

S3：画一长度为12的线段：依次选择原点、点E，执行“变换/标记向量”，在画板的上方作一点F，选择F后执行“变换/平移”命令，将平移得到的点的标签修改为G，作线段FG，在线段FG上作一点H，

作线段FH、HG

S4：作两固定圆：选择点D、A，执行“构造/以圆心和和圆周上的点绘圆”，选择点B、C执行“构造/以圆心和和圆周上的点绘圆”，

S5：作动圆的圆心：选择点D及线段HG，执行“构造/以圆心和半径绘圆”，选择点B及线段FH，执行“构造/以圆心和半径绘圆”，作两圆的交点I、J，隐藏两圆

S6：选择点H、I，执行“构造/轨迹”命令，选择H、J，执行“构造/轨迹”命令，

S7：绘制动圆：作线段IB，作其与小圆的交点为K，选择I、K，“构造/以圆心和和圆周上的点绘圆”，对J点作同样的操作。

移动点H，观察运行结果

例15：Rt△ABC的顶点A、B都在y轴上，直角顶点C在x轴上，其中A（0，－4）是定点，点M分线段CB的比是1∶2，求点M的轨迹方程．

S1：打开坐标系，通过“图表/绘制点”命令作点：A(0,4)，

S2：在X轴上作一点C，连结AC，过C作一AC的垂线与Y轴相交于B

S3：双击点C，选择点B，执行“变换/缩放”命令，比例为1/3，得到点M

S4：选择点C、M，执行“构造/轨迹”命令

例16： △ABC的两个顶点 A、B的坐标分别是（－6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k（k≠0），求顶点C的轨迹方程．

设点C的坐标为C(x,y)，则有：

yyk

x6x6即：y2=kx2-36k

作图要点：作点A、B，在X轴上作一点C并度量其横坐标，将度量修改为x，在X轴负半轴上作一点D，并作过此点且与X轴垂直的直线，在直线上取一点K，度量其纵坐标并修改其标签为k，根据公式计算y，选择x,y，绘制点E(x,y)，选择点C，E，构造轨迹，使用反射构造中一半轨迹

例17：当点P（x0，y0）在圆上时，方程x0x＋y0y＝r2表示经过点P的圆x2＋y2＝r2的切线，当点P（x0，y0）不在圆上时，方程x0x＋y0y＝r2表示的直线在哪里呢？

本文标签： 命令选择按钮构造执行