函数的概念及其表示

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2024年1月13日发(作者：)

课题 函数的概念及其表示

一、函数的概念

1 函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：yf(x),xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域。

（1）对函数符号f(x)的理解知道yf(x)与f(x)的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x

是自变量，f(x)是函数值，连接的纽带是法则f.f是单值对应；

(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

二、区间的概念

设a、b是两个实数，且ab，规定

定义 名称

闭区间

开区间

左闭右开区间

左开右闭区间

符号 数轴表示

a

{x|a≤x≤b}

{xaxb}

{xa≤xb}

{xax≤b}

[a,b]

(a,b)

[a,b)

(a,b]

a

b

b

b

a

a

b

{x|x≥a}[a,)；{xxa}(a,)；{xx≤a}(,a]；{xxa}(,a)；R(,)。

三、相等函数：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两 ○个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，○而与表示自变量和函数值的字母无关。

四、函数的表示法

1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

说明：解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；

2图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。

说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。

3列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。

说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。

类型一：求函数的定义域：

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1.已知函数式求定义域：

求函数yf(x)的定义域时通常有以下几种情况：

①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

③如果f(x)为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；

④如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

【例1】求下列函数的定义域：

1（1）f(x)x1． （2）f(x)2x

变式1： 求下列函数的定义域：

（1）f(x)x3

2.复合函数的定义域：

4x1 （3）f(x)2x23x4

x122x11； （2）y(x2)0

x1x2①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;

②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.

注意:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是x的范围.

①已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域

2【例2】已知f(x)的定义域为[1,3]，求f(x1)，f(x)的定义域。

变式1：已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

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变式3：若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是 （ ）

Ａ．1,1 Ｂ11,

22 Ｃ．,1

21 Ｄ．0,

21②已知f[g(x)]的定义域，求yf(x)的定义域

【例3】已知yf(x1)的定义域为[1,2]]，求f(x)，f(x3)的定义域。

变式1：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

类型二、求函数值域

1．观察法求函数值域

【例1】求下列函数值域：y3x2

x[1,2]；

2．配方法求二次函数值域

【例2】已知函数yx2x3，分别求它在下列区间上的值域。

（1）xR；（2）x[0,)； （3）x[2,2]； （4）x[1,2]

变式1： 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①yx24x1； ②；yx24x1,x[3,4]③yx24x1,x[0,1]； ④yx24x1,x[0,5]；

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2

3．分离常数法求分式函数的值域

【例3】求函数y

4．利用“已知函数的值域”求值域

【例4】求下列函数的值域：y

5．换元法求函数值域

【例5】求函数yx12x的值域。

变式 ：1、求函数yx21x 的值域

5x4x1的值域。 变式：1、求函数y 的值域

x1x2x22x3； 变式：求函数yx35x 的值域

类型三：求函数解析式

方法1.待定系数法

（2）【例1】已知二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，图象过原点，求g(x)；

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方法2.配凑法与换元法

22【例2】（1）已知f(x)x4x3，f(x1)； （2）已知f(x1)x2x，求f(x)．

2变式练习：（1）已知f(3x)2x1，求f(x)；

说明：①已知f(x)的解析式，求f[g(x)]时，把x用g(x)代替；

②已知f[g(x)]的解析式，求f(x)时，常用配凑法或换元法。

方法3.解方程组法

12f(x)f()3xx【例3】已知f(x)满足，求f(x).

变式：已知f(x)满足2f(x)+f(x)3x，求f(x)。

归纳：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f(1)等，必须根x据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

类型四：函数图像

【例1】作出分段函数yx1x2的图像

解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

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x2(2x1)3

yx1x2=

2x1

2x1x1变式1：作函数y2x4x3,(0x3)的图象.

解：∵

0x3

∴ 这个函数的图象是抛物线y2x4x3

介于0x3之间的一段弧（如图）.

类型五：判断是否为同一函数

【例1】判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？

（1）f(x)(x1)0，g(x)1； （2）f(x)x2，g(x)(x1)2；

x212（3）f(x)x，g(x)x； （4）f(x)，g(x)x1。

x122

变式1：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

xA．f(x)1，g(x) B．f(x)x1x1，g(x)x21

xC．f(x)x，g(x)3x3

随堂训练

1.求下列函数解析式：

（1）已知f(x)

（3）已知f(x1)x2x，求f(x) （4）已知f(x)3x1，g(x)2x3，求f[g(x)]，g[f(x)]

D．f(x)x，g(x)(x)2

12，求f(x) （2）、已知f(12x)x4x1，求f(34x)

x

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本文标签： 函数定义域表示值域关系