函数的概念及其表示方法

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2024年1月13日发(作者：)

教学内容

知识梳理

知识点一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.  记作：y=f(x)，xA．

x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域 其中，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x叫做自变量，叫做函数的定义域；A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间的数轴表示．

区间表示：

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]；

. ； ；

知识点二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.  图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.  列表法：列出表格列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

各部分的自变量的取值情况．

知识点三、映射与函数

1.映射定义：

设A、B是两个非空集是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.

象与原象：如果给定一个从集合象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.  注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a). 2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x). 

1 

注意：

注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合原象集合=定义域，值域=象集合. 例题讲解

类型一、函数概念

1.下列各组函数是否表示同一个函数？

下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)

(2)

(3)

(4)

【变式1】判断下列命题的真假】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与

(2)

(3)是同一函数；

是同一函数；

与y=|x|是同一函数；

是同一函数；

是同一函数；

是同一函数；

(4)

与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义求下列函数的定义域(用区间表示). 

(1)；

(2)；

(3). 

【变式1】求下列函数的定义域：

】求下列函数的定义域：

(1)

；

(2)；

(3). 

2 

3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，

，f(a)，f(a+1). 

【变式1】已知函数.

(1)求函数的定义域；

域；

(2)求f(-3)，

的值；

的值；

(3)

(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)f(a)×f(a-1)的值. 

【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

，求：

(1)f(2)，g(2)；

(2)f(g(2))，g(f(2))；

(3)f(g(x))，g(f(x)) 

4. 求值域(用区间表示)：

3 

2

(1)y=x-2x+4；

. 

类型二、映射与函数

5. 下列对应关系下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? 

(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；

：取倒数；

(2)A={平面内的三角形平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆：作三角形的外接圆；

(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接：作圆的内接三角形．

三角形．

【变式1】判断下列两个对应是否是集合】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数得的余数；

②A=N ③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；

除所得的余数；

*

④设X={0，1，2，3，4}，

【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？

的作用下，判断下列说法是否正确？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；

对应；

(2)A中的某个元素在B中可以没有象；

中可以没有象；

(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；

中可以有两个以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？

的函数吗？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，

(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

x→y=|x|. 

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|. 

4 

26. 已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是从集合是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x+1)，求A中的元素的象，B中元素

的原象. 

【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？

的原象分别为什么？

y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y么？

么？

类型三、函数的表示方法

7. 求函数的解析式求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 

【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

8.作出下列函数的图象作出下列函数的图象. 

(1)，求f[f(-1)]. ；

(2)；

5 

类型四、分段函数

9. 已知

，求f(0)，f[f(-1)]的值. 

【变式1】已知

，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 

10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，

6 

每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，

Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？

之间的函数关系式？

Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

元，应选择哪种通讯方式？

一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )  ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸，，，，；

；

；

；

． ，

A．⑴、⑵

．⑴、⑵

B．⑵、⑶

．⑵、⑶

C．⑷

．⑷

D．⑶、⑸

．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是(

) x≤-1或x≥1 

C．0≤x≤1 0≤x≤1 

D．{-1，1} 

A．-1≤x≤1

B．x≤-1

3．函数的值域是( ) (-∞，

A．(-∞)∪((-∞，，+∞)

B．(-∞)∪((-∞，，+∞)

C．R 

D．(-∞)∪(，+∞)

4．下列从集合．下列从集合A到集合B的对应中：

的对应中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

7 

③

2④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x+1；

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( ) A．

1 

B．

2 

C．

3 

D．

4 5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( ) 

A．

A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

中元素不一定有原象

B．

B中元素可以有两个原象

中元素可以有两个原象

C．

A中的任何元素有且只能有唯一的象

中的任何元素有且只能有唯一的象

D．

A与B必须是非空的数集必须是非空的数集

6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( ) 

A．(，1)

B．(1，3) 

C．(2，6)

D．(-1，-3) 

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，

Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) 

A．y=

B．y=

C．y=x 

D．y=x2

8．下列图象

．下列图象能够成为某个函数图象的是( ) 

9．函数的图象与直线的图象与直线的公共点数目是( ) 

A．

B．

C．或

D．或

10．已知集合元素对应，则

A．的值分别为( ) 

C．

D．

，且，使中元素和中的

B．

11．已知，若，则的值是( ) 

A．

B．或

C．，或

D．

8 

12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移的图象适当平移，这个平移是( ) A．沿轴向右平移个单位

个单位

B．沿轴向右平移个单位

个单位

C．沿轴向左平移个单位

个单位

D．沿轴向左平移

二、填空题

个单位

个单位

1．设函数则实数的取值范围是_______________．

2．函数的定义域_______________．

上的值域上的值域是_________．

的图象与x轴交于，且函数的最大值，且函数的最大值为，则这个二次函数的表

3．函数f(x)=3x-5在区间

4．若二次函数．若二次函数达式是_______________．

5．函数

6．函数三、解答题

的定义域是_____________________．

的最小值是_________________．

1．求函数

2．求函数的定义域．

的定义域．

的值域．

的值域．

3．根据下列条件，求函数的解析式．根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；

9 

(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知

；

(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业

一．选择题

一．选择题

1．下列四种说法正确的一个是 （ ）

．下列四种说法正确的一个是

A．f(x)表示的是含有x的代数式

B．函数的值域也就是其定义中的数集．函数的值域也就是其定义中的数集B C．函数是一种特殊的映射

．函数是一种特殊的映射

D．映射是一种特殊的函数

2．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=p，f(3)=q那么f(72)等于 （ ）

等于

32B．3p+2q

A．p+q

3．下列各组函数中，表示同一函数的是

．下列各组函数中，表示同一函数的是

C．2p+3q

B．y=D．p+q

（ ）

2x

A．y=1,y=

xC ．y=x,y=4．已知函数y=2x-1´x+1,y=x-1

23x

x3D．

y=|x|,y=(x)

B．(-¥,2]

D．

( （ ）

1-的定义域为

的定义域为

-2

A．(-¥,1]

2x-3x

C ．(-¥,-1)Ç(-1,1]

221-¥,-)È(-,1]

22 （ ）

1xxìï+1,(>0)5．设f(x)=íp,(x=0)，则f{f[f(-1)]}=

ïî0,(x<0)

10 

1x-6．设函数f()=x，则f(x)的表达式为

1+x1+x1+x1-xB．

C．

A．

1-xx-11+x7．已知f(x)的定义域为[-1,2)，则f(|x|)的定义域为

的定义域为

A．[-1,2)

B．[-1,1]

C．(-2,2)

A．p+1

B．0 

C．p

D．-1

D．（ ）

2x

x+1（ ）

D．[-2,2)

xxì-2,(³10)8．设f(x)=í则f(5)的值为（

的值为（ ）

îf[f(x+6)],(x<10)A．10

B．11

C．12

D．13

二、填空题

29．已知f(2x+1)=x-2x，则f(3)= 

. +ab10．若记号“*”表示的是a*b=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数”的运算对于任意三个实数“a，b，c”成立一个2恒等式

. 11．集合A

中含有2个元素，集合A到集合A可构成

可构成 个不同的映射. ì1x-1(x³0),ïï212．设函数f(x)=í若f(a)>a.则实数a的取值范围是

的取值范围是 。

1ï(x<0).ïxî

三、解答题

x1-13．①．求函数y=的定义域；

的定义域；

|x+1|+|x-1|3②求函数y=x+1-2x的值域；

2x2-2x+3③求函数y=的值域. x2-x+1

2215．在同一坐标系．在同一坐标系中绘制函数y=x+2x，y=x+2|x|得图象. 

11 

16．已知16．已知a,b为常数，若f(x)=x+4x+3,f(ax+b)=x+10x+24,

则求5a-b的值。

的值。

17．设f(x)是抛物线，并且当点(x,y)在抛物线图象在抛物线图象上时，点(x,y+1)在函数g(x)=f[f(x)]的图象上，求g(x)的解析式. 

20已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)；f(-1)=-1，f(0)=0，f(1)=1，求222

12 

g(0),g(1),g(2)的值. 

13 

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