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2024年3月5日发(作者：)
利用在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程
摘 要：分数阶微分方程是一种描述非整数阶导数的数学方程，把微分方程中的阶数从整数扩展到分数时，就得到了分数阶微分方程。分数阶微分方程在很多物理和力学问题中，可以有效地描述中间过程和临界现象，如物理和工程中分数阶系统的动力学行为。文章介绍利用在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程。
关键词：在线数学手册计算器软件；分数阶微分方程
分数阶微分方程是涉及分数阶导数的微分方程，分数阶微分方程已广泛应用于工程、物理、化学、生物学等领域。在大多数应用中，分数阶微分方程都能解决诸如分形、混沌、图案生成、反常扩散等松弛和振荡模型的数学问题。
在微积分中，导数用于描述函数在某一点的变化率。然而，在某些情况下，使用传统的微分方程不能很好地描述函数的变化，这时就需要引入分数阶导数的概念。Caputo 的分数阶导数定义如下：
设函数，则称
为阶的Caputo导数.
分数阶微分方程的求解方法与整数阶微分方程有所不同，通常需要使用特殊的技巧和数值方法来求解。这是因为分数阶导数具有非局部性和非局部记忆性，使得分数阶微分方程的行为更加复杂和多样化.
一、问题的提出
在线数学手册计算器软件（Math Handbook Calculator）是一款功能十分强大的数学软件，利用该软件，可以进行数学公式的快速推理与计算，还可以利用其强大的图形显示功能，可以很直观地探索函数与图像之间的复杂的联系关系，可以加深对数学概念的理解。在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程的独特功能，可以简单方便地求解很多分数阶微分方程的问题。
在线数学手册计算器软件具有三合一的数学功能：数学手册功能、 数学计算器功能 和计算机代数系统功能，亦即具有机器学习的功能，能够举一反三，可以求解任意阶(0.5i 阶)微分方程的功能。在数学手册网上输入数学公式，连续点击计算微积分，可以求解分数阶微分方程，直到给出数值解，甚至可以得到解析解和图解，制图还互动放大。由于该数学软件可以下载到手机上，因此可以随时随地学习，随时随地计算，随时随地利用软件开发各种数学计算功能，这是一个帮助学习数学的好助手。
二、利用在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程
分数阶微分方程具有非局域性的特点，它能够反映物理量在整个空间范围内的变化情况，相比于整数阶微分方程，能够更好地描述非局部的物理现象，如扩散、传输和耗散等。下面就是一个典型的非线性分数阶微分方程，由于分数阶微分的解析解很难求得，所以我们可以利用在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程。
该分数阶微分方程可以描述物理系统中存在的多个时间和空间尺度下的复杂系统和多尺度现象，比如混沌系统、非线性振动等。借助在线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程。
其解析解为，其可视化结果表达如下：
三、结论
利用在线数学手册计算器软件软件求解分数阶微分方程问题的一般方法是，直接在在线数学手册计算器软件工具栏中输入相应的分数阶微分方程，可以很方便快捷地得到结果。
文章利用线数学手册计算器软件求解分数阶微分方程。由于在线数学手册计算器软件具有数值计算、符号计算和图像处理的强大功能，既可以在电脑上操作，也可以在手机上使用，非常方便。同时，它具有非常简单易操作的图形界面，只需要输入简短的语句，就可以求解分数阶微分方程，从可视化图形上直观地体会分数阶微分方程的解的规律。可见，在求解分数阶微分方程问题时，利用在线数学手册计算器软件是十分可行的。
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