方差概念及计算公式

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2024年3月8日发(作者：)

方差概念及计算公式

一．方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X： 50，100，100，60，50

E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70

E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X

)：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即

，

其中

分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

二．方差的性质

1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2．

D(CX )=C2

D(X ) （常数平方提取）；

证：

特别地

D(-X ) =

D(X

),

D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

3．若X 、Y 相互独立，则

证：记

则

前面两项恰为

D(X

)和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y

相互独立时，

，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

三．常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布

X ~ B

(

n,

p )

引入随机变量

Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

，

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布

另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

~正态分布的后一参数反映它与均值是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征

求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。

S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根

大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

用matlab或c语言编写求导程序

已知电容电压uc,电容值

求电流i

公式为i=c(duc/dt)

怎样用matlab或c语言求解

ConnectionString="<%$ ConnectionStrings:conn2 %>"

SelectCommand="SELECT top 7 [tjid], [title] FROM [rec] WHERE ([pass] = @pass)

ORDER BY [tuijian] DESC, [date_pass] DESC, [click] DESC">

函数的幂级数展开式

通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：

问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；

问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？

下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数

我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：

，

，

………………………………………………

，

………………………………………………

在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：

把这些所求的系数代入得：

该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.

关于泰勒级数的问题

上式是在f(x)可以展成形如

的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？

函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差

是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有

那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.

泰勒定理

设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：

此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）

在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：

在0与x之间

此式子被称为麦克劳林公式。

其中c 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.

即：几种初等函数的麦克劳林的展开式

1.指数函数e

x

2.正弦函数的展开式

3.函数(1+x)的展开式

m

数学应用

1.解线性方程组

矩阵分解(A) [B,C]=返回

chol

lu

qr

svd

schur

求解方程AX=B XA=B

X=AB X=B/A

恰定 cramer公式,矩阵求逆,gaussian消去,lu法%主要 就用AB不要用inv(A)*B

超定 求最小二乘解 用AB %基于奇异值分解；用pinv(A)*B %基于householder变换

欠定 由qr分解求得

非负最小二乘解 X=nnls(A,b,TOL) TOL指定误差，可缺省

零点法求解方程

fzero一元 fsolve多元

x=fzero(fun,x0)

[x,fval,exitflag]=fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)

注：x0是猜测的起始点，可用plot先绘fun,用ginput来用鼠标获取零点猜测值

符号方程

X=linsolve(A,B) 等于 X=sym(A)sym(B) %例X=linsolve(A,b);

XX=X+'k'*null(A)

S=solve('eqn1','eqn2',...'eqnN')

solve('eqn1','eqn2',...'eqnN'，'var1','var2',...'varN') 返回S是结构数组，引用1

或返回给[x1,x2,...,xn]

矩阵的特征值和特征向量

D=eig(A) 特征值

[V,D]=eig(A) V是特征向量 A*V=V*D

[V,D]=eig(A,'nobalance') 预先平衡

[V,D]=eig(A,B) 广义特征值

符号矩阵同数值矩阵 %例中vpa(A)?

对角化

[P,D]=eig(A) inv(P)*A*P是对角阵

Jordan标准型

[V,J]=jordan(A)

其他常用

cdf2rdf(V,D) 复转实

funm(A,'function')计算函数值

eig

hess hessenberg

expm 指数

null 奇异值分解 零空间 标准正交基

orth 标准正交基

pinv 广义逆

sqrtm 平方根

cond 条件数

rref 阶梯阵

rsf2csf 实转复

det 行列式

subspace子空间夹角

rank 秩

condeig 特征值 条件数

norm 范数

2.多项式

P=poly(A) 由给定的根A（根数组，或矩阵之特征值）创建多项式

符号多项式

ploy(A) 返回中用x表示，ploy(A,v) 中用v来表示

ploy2sym(C) 向量转符号多项式

计算

conv(a,b) 乘法 a=[1 3 2 1];b=[4 3 9

10];c=conv(a,b)

[q,r]=deconv(a,b) 除法

poly(A) 用根构造

polyder(a) 求导 a=[1 3 2 1];polyder(a);

polyder(a,b) :polyder(conv(a,b))

[q,d]=polyder(a,b) :b/a的倒数 q分子 d分母

polyfit(x,y,n) 拟合

polyval(p,x) 计算x处 y=..

polyvalm(p,X) 矩阵多项式得值 X是方阵

[r,p,k]=residue(a,b) 分式展开式 r留数 p极点 k直项

[a,b]=residue(r,p,k) 分式组合

roots(a) 根

因式分解

factor(s) 因式分解

collect(S) 合并同类项 缺省合并x

collect(S,v) 合并v变量同类项

expand(s) 表达式展开

简化

pretty 将代数式转化为手写格式 即改变表示幂、乘方 * ^的样式

simplify 化简表达式，强 如：simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)

结果 1

simple 用simplify collect factor horner等简化函数化简，并选取最短的结果

simple(s) 化简，并显示中间过程

[R,How]=simples(s) 结果给R，过程给How

simple所用的转化运算

combine(trig) 三角运算

convert(exp) 尽量指数化

convert(sincos) 尽量三角式化

convert(tan) 尽量tan化

horner 多项式转为嵌套形式 秦九韶算法

多项式提取

subexpr 代换式中一些部分

[Y,s]=subexpr(t,'s') s是复杂式的代换符号， t是原表达式 ，Y是代换后的式子

subs(S,old,new) 将new代入S中的old

3.曲线拟合

多项式拟合

[a,S]=polyfit(x,y,n) 对数据(xi,yi)拟合n阶多项式 a是系数 S是Vandermonde矩阵进行Cholesky分解。。。。的结构矩阵

[ye,delta]=polyval(a,x,S) 利用计算结果估计数据带 yi +-

delta y 超过五阶不好

非线性最小二乘估计转为线性

4.插值和样条

interp1

interpft

interp2

interp3

interpn

griddata

meshgrid

ndgrid

spline

一维插值

yi=interp1(x,y,xi,method) 由xy插值xi处，

method可选

linear 线性

cubic 三次

spline 三次样条

nearst 最近邻域

二维插值

zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)

样条

finder 对样条函数求导

fnint 对样条函数积分

mkpp(pp) 分解出样条各段的数据,依次返回[breaks断点位置,coef,pieces,order,dim]

ppval(pp,xx) 由逐段多项式求值

spline

yy=spline(x,y,xx) 三次样条xx处值

或pp=spline(x,y)获得多项式数据;yy=ppval(pp,xx)再由pp计算xx处值

unmkpp 逐段多项式数据形式的重组

5.数值积分微分

一维数值积分

quad simpson法，精度高

quad('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,...) (被积函数，积分上限，积分下限，tol[相对误差，绝对误差]，是否图形显示，参数，...)

quad8 8样条newton-cotes公式 最常用

trapz 梯形法定积分

cumtrapz梯形法区间积分

sum 等宽矩阵法定积分

cumsum 等宽矩阵法区间积分

fnint 样条的不定积分

多重数值积分

dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 定积分

积分限为函数时 先求G(y)={x2(y),x1(y)}f(x,y)dx 再求I={y2,y1}G(y)dy 这里用{}表示豆芽符

数值微分

多项式求导 polyder

差分算积分 diff(X)

6.符号微积分

约定变量x 系数a,b

极限

limit(f,x,a) 求x->a时f值、

limit(f,x,a,'right') 右极限 limit(f,x,a,'left')左极限

导数

diff(f,a,n) 对变量a求n阶积分，a,n均有默认

差分

Y=diff(F数组,n差分阶数,dim指定维数)

J=jacobian(f列向量,v行向量) 雅可比矩阵 可用simple化简

积分

int(s,v,a,b) (式，变量，下限，上限)

级数求和

symsum(s,v,a,b)

泰勒级数

taylor(f,n)指定项数 (f,a)指定点 (f,x)指定变量 ？n,a,x可否连用，顺序

7.常微分方程 %以下有待细看

ode23

ode45

ode113

ode23t

ode15s

ode23tb

...

odefile

odeset

odeget

...

odephas2

odephas3

odeprint

8.数据分析和傅立叶变换

9.稀疏矩阵

SM=sparse(A全元素) 转为稀疏

FM=sparse(A稀疏) 转为全元素

SM=sparse(i,j,s,m,n,nzmax) 创建 例:SM=sparse([3 1 2 4],[1 2

3 4],[12 3 2 4],4,4,4)

A=spdiags(B,d,m,n) 创建带状矩阵

S=spconvert(D) 从外部导入

常用

issparse

nnz

nonzeroe

nzmax

spalloc

sprun

spones

colmmd

colperm

dmperm

randperm

find

symrcm

condest

normest

sprank

gplot

spy

etree

etreeplot

treelayout

treeplot

symmd

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