浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题(含答案解析)

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2024年6月3日发(作者：)

浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．若全集

U

，集合

A,B

及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（）

A．

ð

U



AB



【答案】

C

【分析】

B．

ð

U



AB



C．



ð

U

A



B

D．

A∩



ð

U

B



图中阴影表示的集合的元素属于集合

B

，但是不属于集合

A

，即可得出．

【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即为



ð

U

A



B

.

故选：

C



r









2．已知向量

a(1,2)

，向量

b

满足

|b|2

，若

ab

，则向量

ab

与

a

的夹角的余弦值为

（）

A．

25

5

B．

5

4

C．

5

3

D．

5

6

【答案】

C

【分析】











aba5

由数量积运算律、模的坐标公式得、进一步求得

|ab|(ab)

2

|a|5

，



的值，结合向量夹角公式即可求解

.









2





【详解】由题意，得

|a|5

，且

abaaab505

，





2



2

|ab|(ab)

2

a2abb

5043

，







(

a



b

)



a

55



设向量

ab

与

a

的夹角为



，则

cos









.

3

|

a



b

|



|

a

|

3



5

故选：

C.

3

．设

b

，

c

表示两条直线，



,



表示两个平面，则下列说法中正确的是（

A

．若

b//



,c



，则

b//c

C

．若







,c//



，则

c



B

．若

b//c,b



，则

c//



D

．若

c//



,c



，则







试卷第1页，共20页

）

【答案】

D

【分析】

利用平行，垂直的相关性质定理逐一判断即可

.

【详解】对于

A

：若

b//



,c



，除非说明

b,c

共面，否则不能推出

b//c

，

A

错误，

对于

B

：若

b//c,b



，没有说明

c



，不能推出

c//



，

B

错误；

对于

C

：若







,c//



，则

c



，

c//



，

c



都有可能，

C

错误；

对于

D

：如图，过直线

c

作一个平面与



交于直线

b

，由线面平行的性质定理可得

c//b

，

又

c



，所以

b



，又

b



，得







，

D

正确

.

故选：

D.

4．已知角



的终边过点

P



3,2cos





，则

cos

（

A．

）

3

2

3

2

B．



3

2

C．



D．



1

2

【答案】

B

【分析】

由已知可得出

cos



0

，利用三角函数的定义可得出关于

cos



的方程，解之即可

.

【详解】

由三角函数的定义可得

cos







3

9



4cos

2





0

，

22

整理可得

4cos



9cos



9

，即

4cos

4



9cos

2



90

，

22

2

即

4cos



3cos



30

，可得

cos









3

3

，故

cos





.

4

2

故选：

B.

5．设等比数列



a

n



的公比为

q

，前

n

项和为

S

n

，则“

q=2

”是“



S

n

a

1



为等比数列”的

（）

A

．充分不必要条件

C

．充要条件

【答案】

C

【分析】

应用等比中项的性质，由



S

n

a

1



为等比数列，解出

q

值，即可判断.

试卷第2页，共20页

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

【详解】依题，“



S

n

a

1



为等比数列”，所以



S

2

a

1







S

1

a

1







S

3

a

1



，

22

得



2a

1

a

2



2a

1





2a

1

a

2

a

3



，化简得

(2q)2



2qq



，

2

2

解得

q=2

，则“

q=2

”是“



S

n

a

1



为等比数列”的充要条件.

故选：

C

6

．已知实数

x

，

y

满足

x3

，且

xy2x3y12

，则

xy

的最小值为（

A．

126

【答案】

A

【分析】

由题意得

y



式即可求解

.

【详解】因为

x3

，且

xy2x3y12

，所以

y



从而

x



y



x



2



B．8C．

62

）

D．

123

12



2

x

66



2



1

，结合基本不等，进一步表示出

x



y





x



3





x



3

x



3

x



3

12



2

x

6



2



，

x



3

x



3

66





x



3





1



26



1

，等号成立当且仅当

x



3

x



3

x63,y62

，

所以

xy

的最小值为

126

.

故选：

A.

x

2

y

2

7．已知双曲线

C

：

2



2



1

（

a0

，

b0

）的左右焦点分别为

F

1

、

F

2

、A为双曲线

ab

2



的左顶点，以

F

1

F

2

为直径的圆交双曲线的一条渐近线于

P

、

Q

两点，且



PAQ



，

3

则该双曲线的离心率为（）

A．

2

【答案】

C

B．

3

C．

21

3

D．

13

【分析】先由题意，得到以

F

1

F

2

为直径的圆的方程为

x

2

y

2

c

2

，不妨设双曲线的渐近

试卷第3页，共20页

线为

y



b

x

，设

P



x

0

,

y

0



，则

Q



x

0

,y

0



，求出点P，Q的坐标，得出

AP

，

AQ

，

a

2



，再利用余弦定理求出

a

，

c

之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

3

根据



PAQ



【详解】由题意，以

F

1

F

2

为直径的圆的方程为

x

2

y

2

c

2

，不妨设双曲线的渐近线为

y



b

x

．

a

设

P



x

0

,

y

0



，则

Q



x

0

,y

0



，

b





x



a



x



a



y



x

a

由



，解得



或



，

y



b

y



b

222









x



y



c

∴

P



a,b



，

Q



a,b



．

又

A

为双曲线的左顶点，则

A



a,0



，

∴

AP



aa



2

2

b

2

，

AQ





a



a







bb

，

PQ

2



aa







bb



22

2c

，

在

△PAQ

中，



PAQ



2



2

222

，由余弦定理得

PQAPAQ

2

APAQ

cos



，

3

3

即

4c

2

(aa)

2

b

2

b

2

(aa)

2

b

2

b

，

即

4c

2

4a

2

2b

2

4a

2

b

2

b

，

222

则

2b4a

2

b

2

，所以

4b



4ab



，则

3b

2

4a

2

，

222

2

即

3



ca



4a

，所以

c

7

2

a

3

∴

e



c

21

．



a

3

故选：

C.

【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离

心率有以下几种情况：①直接求出

a,c

，从而求出

e

；②构造

a,c

的齐次式，求出

e

；③

采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

8．在等边三角形

ABC

的三边上各取一点

D

，

E

，

F

，满足

DE3

，

DF23

，



DEF



90



，则三角形

ABC

的面积的最大值是（）

D．

13

3

3

A．

73

【答案】

A

【分析】

B．

133

C．

7

3

3



π



首先求出

EF

，设

BED



，







0,



，在

△BDE

、

△CEF

分别利用正弦定理表示出



2



试卷第4页，共20页

BE

、

CE

，从而得到

BCBECE

，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出

BC

的最

大值，即可求出三角形面积最大值

.

【详解】因为

DE3

，

DF23

，

DEF90



，所以

EFDF

2

DE

2

3

，



π



设

BED



，







0,



，



2



则

BDE

2π



π

2π

π



π















，





，

CEF



，



CFE



3



2

3

2



6

BE

3



23

BEDE





2π



在

△BDE

中由正弦定理，即，

3

sin









sin



BDE

sin

B



3



2



2π









，所以

BE



23sin





3



CE

3



2

CEEF



在

△CEF

中由正弦定理，即，



π



3

sin









sin



CFE

sin

C



6



2



π



所以

CE



2sin









，



6





2π



π



所以

BC



BE



CE



23sin











2sin











3



6



2π2πππ





23



sincos





cossin







2



sincos





cossin





3366



23sin



4cos



27sin











（其中

tan





所以

BC

max

27

，

则

S



ABC



1π33

BC

2

sin

BC

2



27

2444

23

），

3





7

2

3

，

即三角形

ABC

的面积的最大值是

73

.

故选：

A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含



的式子表示出

BE

、

CE

，再利用三角恒等变换

公式及辅助角公式求出

BC

max

.

二、多选题

9

．在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有

8

位评委对每位选手进

行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说

试卷第5页，共20页

法中正确的是（）

B

．剩下评分的极差变小

D

．剩下评分的中位数变大

A

．剩下评分的平均值变大

C

．剩下评分的方差变小

【答案】

BC

【分析】去掉一个最低评分和一个最高评分平均分变换未知，根据极差概念知极差变小，

根据方差意义知方差也变小，根据中位数概念知中位数未变

.

【详解】去掉一个最低评分和一个最高分后剩下评分的平均值有可能变小、不变或变大，

A

错误；

剩下评分的极差一定会变小，

B

正确；

剩下评分的波动性变小，则方差变小，

C

正确；

剩下评分的中位数不变，

D

错误

.

故选：

BC

10

．在三棱锥

ABCD

中，已知

ABACBDCD3,ADBC2

，点

M

，

N

分别是

AD

，

BC

的中点，则（

A

．

MN



AD

B．异面直线AN，CM所成的角的余弦值是

C．三棱锥

ABCD

的体积为

47

3

7

8

）

D

．三棱锥

ABCD

的外接球的表面积为

11π

【答案】

ABD

【分析】

将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断

A

，

B

；利用体积公式求三棱锥的体

积判断

C

；确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断

D.

【详解】三棱锥

ABCD

中，已知

ABACBDCD3,ADBC2

，

三棱锥补形为长方体

AHDGFCEB

，如图所示，

试卷第6页，共20页



BF

2



BG

2



AB

2



9



222

则有



BF



BE



BC



4

，解得

BFBE2,BG7

，



BG

2



BE

2



BD

2



9





以

B

为原点，

BF,BE,BG

的方向为

x

轴，

y

轴，

z

轴正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，

点

M

，

N

分别是

AD

，

BC

的中点，

则有

B



0,0,0



,C



2,2,0,A



2,0,7,D0,2,7

，





22



22



M



,,7

N





22



，





2

,

2

,0





，







MN0,0,7

，

AD2,2,0

，

MNAD0

，



所以

MN



AD

，

A

选项正确；













2222

AN









2

,

2

,



7





，

CM









2

,



2

,7





，







AN



CM

cos

AN

,

CM







AN



CM



2

2



2



2



2





















7



2



2



2



2





7

2

2



2



2



2



2















7



















2222



2



2





7



2



7

8

，

所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是

7

，B选项正确；

8

三棱锥

EBCD

，三棱锥

GABD

，三棱锥

FABC

，三棱锥

HACD

，体积都为

117

，



2



2



7



323

三棱锥

ABCD

的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为

2



2



7



4



727

，C选项错误；



33

长方体的外接球的半径为



2



2



7

2

222



11

，这个外接球也是三棱锥

2

ABCD

的外接球，



11



其表面积为

4π







2







11π

，D选项正确.



2

故选：

ABD.

11．已知函数

f

(

x

)



e

x



(sin

x

cos

x

)

，则（）

试卷第7页，共20页

π

A．

f(x)

的零点为

xk

π



,

k

Z

4

π3π



B．

f(x)

的单调递增区间为



2

k

π



,2

k

π





,

k



Z

22





π



2

π

x



0,

C．当



时，若

f(x)kx

恒成立，则

k

e

2



2



π



1003π1005π





π



1



,0



作

f(x)

的图象的所有切线，则所有切

,

D．当

x







时，过点





2

22





点的横坐标之和为

502π

【答案】

ACD

【分析】

由辅助角公式变换后求正弦函数的零点可得

A

选项；由复合函数的单调性求出正弦函

数的递增区间可得

B

选项；分离参数后构造函数求导，求最小值可得

C

选项；设出切



π



1



,0



可点，利用导数的意义求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，再代入





2



π





π





得

tan

x

0



2



x

0





，得到

y

1

,y

2

都关于点



,0



对称，再利用对称性求出给定区间内的

2





2



切点之和可得

D

选项

.

π



ππ



xx

【详解】A：

f

(

x

)



e



(sin

x



cos

x

)



2esin



x





，所以

xk

π

xk

π



,

k

Z

，

4



44



故

A

正确；

B：由复合函数的单调性可知，当



πππ



2

k

π

x

2

k

π



,

k

Z

，函数为递增函数，

242

3π

解得



π

x

2

k

π



,

k

Z

，故B错误；

44

π



x

C：若

f(x)kx

恒成立，所以

2esin



x







kx

，

4



π



π



因为

x





0,



，当

x0

时，

2sin



0

，此时

k

取任意值，



2



4

π



2e

x

sin



x





当

x0

时，设

4



，则



g



x





x



π



π







π



π





xxxx



2esin

x



2ecos

x



x



2esin

x



2e2

x

cos

x



sin



x







4



4





4



4









g





x





22

xx

画出中括号内的函数图像

试卷第8页，共20页

，

由函数图像可知，

g





x



0

在

x





0,



恒成立，所以

g



x



单调递减，



2



所以

g



x



min

π



π



2

2

2

π



g





e

，故

k

e

2

，故C正确；（老师，请联系我一下，谢谢）

π



2



π



π



x

x

D：因为

f





x





2ecos

x

，设切点坐标为



x

0

,e

0



sin

x

0



cos

x

0





，

x

则切线的斜率为

f





x

0





2e

0

cos

x

0

，则切线方程为

y

e

x

0



sin

x

0



cos

x

0





2e

x

0

cos

x

0





xx

0



，



π



1





π



1



,0



可得

0



e

x

0



sin

x

0



cos

x

0





2e

x

0

cos

x

0







x

0



，代入点





2





2



π



两边同时除以

cosx

0

可得

tan

x

0



2



x

0





，

2



π





π





令

y

1



tan

x

,

y

2



2



x





，所以

y

1

,y

2

都关于点



,0



对称，

2





2





π



则所有的切点关于



,0



对称，



2





1003π1005π



,

当

x









时共有

502

对切点，每对和为

π

，故所有切点的横坐标之和为

22



502π

，故

D

正确；

故选：

ACD

【点睛】关键点点睛：

（

1

）复合函数的零点即为使函数等于零时方程的根；

（

2

）带参数的函数不等式恒成立问题求参数范围时，可分离参数后构造函数求导，求

出函数的最值与参数比较即可；

（

3

）对于求曲线的切线方程时可求导后代入切点的横坐标求其斜率，由点斜式写出直

线方程，再根据点在切线上代入切线方程得出具体的切线方程

.

试卷第9页，共20页

三、填空题

12

．直线

3x4y30

的一个方向向量是



3



【答案】



1,



（答案不唯一）



4



.

【分析】

由直线方向向量的定义求解

.

【详解】因为直线

3x4y30

的斜率为



3



是



1,



.



4





3



故答案为：



1,



（答案不唯一）



4



3

，所以直线

3x4y30

的一个方向向量

4

13

．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为

“

三局两胜

”

制

.

如果每局比赛中甲获

1

2

胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率

3

3

为

【答案】

【分析】

.

2

/0.4

5

利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛

进行了

3

局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率

.

【详解】设甲获得冠军为事件

A

，比赛共进行了

3

局为事件

B

，

则

AB

表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了

3

局，

P



A





2221212220



，

3333333327

2121228



，

33333327

P



AB





8

P



AB



27

2



.

所以

P



B

|

A





20

5

P



A



27

故答案为：

2

.

5

14．已知函数

f(x)

及其导函数

f



(x)

的定义域均为

R

，记

g(x)f



(x)

，若

f(2x1),g(x2)

均为偶函数，且当

x[1,2]

时，

f(x)mx

3

2x

，则

g(2024)

【答案】

6

【分析】

.

试卷第10页，共20页

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