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2024年6月24日发(作者：)
剩余定理简单公式
摘要：
一、剩余定理简介
1.剩余定理的定义
2.剩余定理的意义
二、剩余定理公式
1.欧拉定理
2.费马小定理
3.威尔逊定理
三、剩余定理应用
1.整数分解
2.循环编码
3.密码学中的应用
正文：
一、剩余定理简介
剩余定理，又称同余定理，是数论中的一个重要定理。它研究了两个整数
除以一个整数的余数之间的关系。该定理揭示了整数之间的循环规律，为数论
研究奠定了基础。
二、剩余定理公式
1.欧拉定理
欧拉定理是剩余定理的一个著名公式，它表明：若 a、n 为整数，a 与 n
互质（即最大公约数为 1），则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。其中，φ(n) 表示欧拉
函数，即小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。
2.费马小定理
费马小定理是另一个著名的剩余定理公式，它指出：若 p 为质数，a 为
整数，a≠p，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。该定理是法国数学家费马于 17 世纪
提出的，对于质数 p，它提供了一种快速计算模 p 剩余的方法。
3.威尔逊定理
威尔逊定理是剩余定理的另一个重要公式，它表明：若 n 为正整数，a
为整数，a 与 n 互质，则 a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)。该定理是由英国数学家威
尔逊于 19 世纪提出的，它进一步拓展了欧拉定理的应用范围。
三、剩余定理应用
1.整数分解
剩余定理在整数分解问题中有着广泛的应用。例如，我们可以利用欧拉定
理快速求解大整数的模运算。此外，费马小定理还可以用于简化模 p 剩余的
计算。
2.循环编码
循环编码是一种基于剩余定理的编码方法。在这种方法中，信息位被映射
到循环冗余校验（CRC）码，然后与数据一起发送。接收方可以通过计算 CRC
码的剩余定理来检测数据传输中的错误。
3.密码学中的应用
剩余定理在密码学中也有广泛应用，例如在 RSA 加密算法中，欧拉定理
被用于快速计算模运算。
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