透视正确插值Perspective Correct Interpolation

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线性插值的问题

OpenGL在进行光栅化时，对于每个fragment shader的input attribute作插值，这个插值默认情况下perspective correct的。插值默认是screen space进行的，如果使用简单的线性插值，对于texture mapping会得到错误的结果，来看下图（图片取自《Graphics Shaders 2nd》）。

可以明显地看到采用线性插值的quad中两个triangles的边界。

Perspective Correct Interpolation的简单推导

OpenGL 4.5 spec 14.6 p456中给出地插值公式如下

f = a f a / w a + b f b / w b + c f c / w c a / w a + b / w b + c / w c ( 1 ) f = \frac{af_a/w_a+bf_b/w_b+cf_c/w_c}{a/w_a+b/w_b+c/w_c}\quad (1) f=a/wa​+b/wb​+c/wc​afa​/wa​+bfb​/wb​+cfc​/wc​​(1)

其中 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)为fragment对应的重心坐标， f i f_i fi​为顶点处地attribute， w i w_i wi​为顶点齐次坐标地最后一个分量。

为了简化讨论，我们这里在2D中进行讨论，结论对3D同样有效。

考虑上图中的线段AB，投影后的线段为A’B’，其中A’B’的中心 x = 0 x=0 x=0。我们可以容易地发现，A’B’中心并不对应AB中心，所以直接使用 0.5 0.5 0.5对AB属性进行线性插值会得到错误的结果。容易想到，如果我们通过screen space的插值系数，得到camera space的插值系数，那么就可以得到perspective correct的interpolation。

假设screen space的点P的插值系数为 t t t，A为 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)，B为 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1​,y1​)，near plane y = 1 y=1 y=1（不影响结果，为1可以简化讨论），可知

A x ′ = x 0 y 0 , B x ′ = x 1 y 1 A'_x = \frac{x_0}{y_0}, B'_x = \frac{x_1}{y_1} Ax′​=y0​x0​​,Bx′​=y1​x1​​

计算 O P OP OP与 A B AB AB的交点，我们可以得到camera space的插值系数为 s s s为

s ( t ) = t y 1 ( 1 − t ) 1 y 0 + t 1 y 1 s(t) = \frac{\frac{t}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} s(t)=(1−t)y0​1​+ty1​1​y1​t​​

若我们在A处属性为 a a a，B处属性为 b b b，那么使用 s ( t ) s(t) s(t)进行插值，结果为

P ( s ) = ( 1 − s ) a + s b = ( 1 − t ) a y 0 + t b y 1 ( 1 − t ) 1 y 0 + t 1 y 1 ( 2 ) P(s)=(1-s)a+sb=\frac{(1-t)\frac{a}{y_0}+t\frac{b}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \quad(2) P(s)=(1−s)a+sb=(1−t)y0​1​+ty1​1​(1−t)y0​a​+ty1​b​​(2)

如果使用标准透视矩阵，那么 ( 1 ) (1) (1)中的 w i = − z i w_i=-z_i wi​=−zi​，我们可以看出公式 ( 2 ) (2) (2)与 ( 1 ) (1) (1)是一致的。

公式 ( 2 ) (2) (2)可以进一步表示为线性插值

P ( s ) = ( 1 − p ) a + p ⋅ b p = t 1 y 1 ( 1 − t ) 1 y 0 + t 1 y 1 \begin{aligned} P(s)&= (1-p)a+p \cdot b \\ p&=\frac{t\frac{1}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \\ \end{aligned} P(s)p​=(1−p)a+p⋅b=(1−t)y0​1​+ty1​1​ty1​1​​​

gl_Position

也许有人会有疑问，我们能不能在vertex shader中进行透视除呢？即对于齐次坐标 ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)，手动进行透视除，得到 ( x w , y w , z w , 1 ) (\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1) (wx​,wy​,wz​,1)并赋值给gl_Position。我们可以将 w = 1 w=1 w=1代入 ( 1 ) (1) (1)，得到

f = a a + b + c f a + a a + b + c f b + a a + b + c f c = a f a + b f b + c f c \begin{aligned} f&=\frac{a}{a+b+c}f_a+\frac{a}{a+b+c}f_b+\frac{a}{a+b+c}f_c \\ &=af_a+bf_b+cf_c \end{aligned} f​=a+b+ca​fa​+a+b+ca​fb​+a+b+ca​fc​=afa​+bfb​+cfc​​

显然这退化成为了screen space的线性插值，所以必然最后结果是不正确的。在Unity中作一个简单的实验就可以看到结果

上图是未进行透视除的结果，下图是进行透视除的结果。

测试代码如下

Shader "Unlit/VertexColor"
{
	Properties
	{
		_MainTex ("Main Texture", 2D) = "white" {}
		[Toggle] _ManualPerspectiveDivision ("Manual Perspective Division", Float) = 0
	}
	SubShader
	{
		Tags { "RenderType"="Opaque" }
		LOD 100

		Pass
		{
			GLSLPROGRAM

			#include "UnityCG.glslinc"

			#ifdef VERTEX

			uniform int _ManualPerspectiveDivision;

			out vec2 vST;

			void main()
			{
				vST = gl_MultiTexCoord0.st;
				gl_Position = gl_ModelViewProjectionMatrix * gl_Vertex;
				if (_ManualPerspectiveDivision != 0) {
					gl_Position /= gl_Position.w;
				}
			}

			#endif

			#ifdef FRAGMENT

			in vec2 vST;
			uniform sampler2D _MainTex;

			void main()
			{
				gl_FragColor = texture(_MainTex, vST);
			}

			#endif
			
			ENDGLSL
		}
	}
}

结论

1. 要进行perspective correct interpolation，不能直接在screen space利用重心坐标直接进行插值。
2. 齐次坐标的 w w w对于进行perspective correct interpolation至关重要，不能在vertex shader中手动进行透视除。

本文标签： 透视正确插值InterpolationCorrect