普林斯顿微积分读本（修订版）

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编辑推荐

对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。

作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。

这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的人来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。

内容简介

本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

媒体推荐

对于学习微积分有困难的同学来说，这是一本难能可贵的参考书。

——《数学教师》杂志

班纳的写作风格引人入胜，一点儿也不古板或令人生畏，他努力阐释解题的所有步骤。因其独到的讲解，本书成为了广大微积分教师的“得力助手”。

——《美国数学月刊》网络版

本书语言平实，亲和力十足，是广大微积分学习者的良师益友。班纳的书写得非常到位，而且非常吸引读者。

——Gerald B. Folland，《高等微积分》作者

作者简介

阿德里安 · 班纳（Adrian Banner），澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002 年起任职于 INTECH 公司，现为 INTECH 公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

本书内容

译者序

对于大多数学生来说, 微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受挫折的一门课程了. 而本书, 不仅让学生能有效地学习微积分, 更重要的是提供了战胜微积分的必备工具.

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳的微积分复习课程. 他激励了一些考试前想获得优秀但考试结果却平平的学生.

对于任何单变量微积分的课程, 本书既可以作为教科书, 也可以用作学习指南, 对于全英文授课的教师来说更是一个得力助手. 作者班纳是美国普林斯顿大学的著名数学教授并担任新技术研究中心主任. 班纳教授的授课风格是非正式、有吸引力并完全不强求的, 甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性, 而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤.

作者独创的“内心独白”方式, 即写出问题求解过程中学生们应遵循的思考过程, 为我们提供了不可或缺的推理过程以及求解方案. 本书的重点在于培养问题求解的能力, 其中涉及的例题从简单到复杂并对微积分理论进行了深入探讨. 读者会在非正式的对话语境中体会到微积分的无穷魅力.

本书特点：

• 可作为任何单变量微积分教科书的学习指南;

• 非正式的、娱乐性的且非强求的对话语境风格;

• 丰富的在线视频;

• 大量精选例题 (从简单到复杂) 提供了一步一步的推理过程;

• 定理和方法有证明, 还有诸多实际应用;

• 详细探讨了诸如无穷级数这样的难点问题.

这样的一本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起. 对于每一个想要掌握微积分的学生来说, 本书都是极好的资源. 当然, 非数学专业的学生也将大大受益.

在翻译本书的过程中, 译者虽然尽最大努力尊重原文, 并尽可能避免直译产生的歧义, 但是由于才疏学浅, 难免存在翻译不当之处, 敬请广大读者批评指正, 以便再版时更正．

本书能得以顺利出版, 首先要感谢人民邮电出版社图灵公司的大力支持; 同时, 首都经济贸易大学华侨学院信管系的全体教师也给予了无私的帮助, 在此一并表示衷心感谢. 最后感谢我的家人在本书翻译过程中所给予的支持与鼓励, 尤其是爱女芮绮!

《普林斯顿微积分读本》
微笑着面对数学的世界
积累着超越无穷的力量
分化出化解疑难的翅膀
求解出优化问题的阳光
生成了数学天空的晴朗
秘籍 —— 放飞自己的理想

谨以此诗献给爱女芮绮以及喜爱数学的新生代!

　杨爽

首都经济贸易大学华侨学院信管系

前言

本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助.

写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南. 以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题.

这本书为什么这么厚？　我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述.

阅读之前, 我需要知道些什么？　你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识.

啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊？　接下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.

例题的求解过程在哪里？我所看到的只是大量的文字与少量的公式.　首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来. 我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答.

定理的证明哪儿去了？　本书中的大部分定理都以某种方式被验证了. 在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程.

主题没有次序! 我该怎么办呢？　学习微积分没有什么标准次序. 我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送电子邮件呢? 地址是 adrian@calclifesaver. 你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节 (也为下一版写, 如果有的话!).

你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的还是你的？　希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什么是对的吧.

页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢？　本书中有一点微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书[1]吧, 那才更有趣, 而且比零零散散的几句话更值得关注.

我们学校可以用这本书作为教材吗？　这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.

这些录像是什么？　在网站 www.calclifesaver 上, 你可以找到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部) 本书的章节和例题.

如何使用这本书备考

如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你的处境, 因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的那张表会标出本书的要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列图标会出现在书中页边空白处, 让你快速识别什么是重要内容.

• 例题求解过程始于此行.

• 这里非常重要.

• 你应当自己尝试解答本题.

• 注意：这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限, 就请跳到下一节.

两个通用的学习小贴士

• 把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽说数学不死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自己写得出来. 好记性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加强你对所学知识的理. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因. 如果你自己做, 那将会更有价值.

• 尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看书, 不打手机, 不发电子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完成之后, 再看看你是否可以到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮你评阅.

考试复习的重要章节 (按主题划分)

主题	子主题	节
微积分基础	直线 其他常用图像 三角学基础 [0, π/2] 以外的三角函数 三角函数的图像 三角恒等式 指数函数与对数函数	1:5 1:6 2:1 2:2 2:3 2:4 9:1
极限	三明治定理 多项式的极限 导数伪装的极限 三角函数的极限 指数函数与对数函数的极限 洛必达法则 极限问题的总结	3:6 第 4 章全部 6:5 7.1(跳过 7.1.5) 9:4 14:1 14:2
连续性	定义 介值定理	5:1 5:1:4
微分	定义 求导法则(例如, 乘积法则/商法则/ 链式求导法则) 求切线方程 分段函数的导数 画导函数图像 三角函数的导数 隐函数求导 指数函数与对数函数求导 取对数求导法 双曲函数 反函数 反三角函数 反双曲函数 求导定积分	6:1 <1> 6:2 6:3 6:6 6:7 7:2; 7:2:1 8:1 9:3 9:5 9:7 10:1 10:2 10:3 17:5
导数的应用	相关变化率 指数增长与指数衰变 求全局最大值与全局最小值 罗尔定理/中值定理 临界点的分类 求拐点 画图 最优化 线性化/微分 牛顿法	8:2 9:6 11:1:3 11:2; 11:3 11:5; 12:1:1 11:4; 12:1:2 12:2; 12:3 13:1 13:2 13:3
积分	定义 基本性质 求面积 估算积分 平均值/中值定理 基本例子 换元法 分部积分法 部分分式 三角函数的积分 三角换元法 积分技巧的总结	16.2(跳过 16.2.1) 16:3 16:4 16.5, 附录 B 16:6 17:4; 17:6 18:1 18:2 18:3 19:1; 19:2 19.3(跳过 19.3.6) 19:4
运动	速度与加速度 负常数加速度 简谐运动 求位移	6:4 6:4:1 7:2:2 16:1:1
反常积分	基本知识 求解技巧	20:1; 20:2 第 21 章全部
无穷级数	基本知识 求解技巧	22:1:2; 22:2 第 23 章全部
泰勒级数与幂级数	估算和误差估算 幂级数/泰勒级数问题	第 25 章全部 第 26 章全部
微分方程	可分一阶 一阶线性 常系数 建模	30:2 30:3 30:4 30:5
其他话题	参数方程 极坐标 复数 体积 弧长 表面积	27:1 27:2 28:1 ~ 28:5 29:1; 29:2 29:3 29:4

除非特殊说明, 标明“节”的一栏包括其下所有小节. 例如, 6.2 节包括从 6.2.1 到 6.2.7 的所有小节.

---

[1] 对微积分历史感兴趣的读者, 可参阅《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》(人民邮电出版社, 2010). —— 编者注

致谢

感谢所有在我写作本书过程中给予我支持和帮助的人. 我的学生们长久以来在给我教益、喜悦和快乐, 他们的意见使我受益匪浅. 特别感谢我的编辑 Vickie Kearn、制作编辑 Linny Schenck 和设计师 Lorraine Doneker, 感谢他们对我的所有帮助和支持, 还要感谢 Gerald Folland, 他的很多真知灼见对本书的改善有很大的贡献. 此外, 感谢 Ed Nelson、Maria Klawe、Christine Miranda、Lior Braunstein、Emily Sands、Jamaal Clue、Alison Ralph、Marcher Thompson、Ioannis Avramides、Kristen Molloy、Dave Uppal、Nwanneka Onvekwusi、Ellen Zuckerman、Charles MacCluer 和 Gary Slezak, 本书中的很多修正都得益于他们的意见和建议.

感谢下列普林斯顿大学数学系的教员和工作人员对我的大力支持：Eli Stein、Simon Kochen、Matthew Ferszt 和 Cott Kenny. 我也要感谢我在 INTECH 的同事们给予的支持, 特别是 Bob Fernholz、Camm Maguire、Marie D'Albero 和 Vassilios Papathanakos, 他们提出了一些优秀的审读建议. 我还要感谢我高二、高三的数学老师 ——William Pender, 他绝对是世界上最好的微积分老师. 这本书中很多方法都是从他的教学中获得了启发. 我希望他能原谅我曲线不画箭头, 所有的坐标轴上没有标注, 以及在每一个 +C 后都没有写 “对于任意一个常数 C”.

我的朋友和家人都给了我无私的支持, 尤其是我的父母 Freda 和 Michael、姐姐 Carly、祖母 Rena, 还有姻亲 Marianna 和 Michael. 最后, 我要特别感谢我的妻子 Amy 在我写书过程中对我的帮助和理解, 她总是陪伴在我身边. (还要感谢她为我画的 “爬山者图标”.)

第 1 章　函数、图像和直线

不借助函数却想去做微积分, 这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一. 如果微积分也有其营养成分表, 那么函数肯定会排在最前面, 而且是占一定优势. 因此, 本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质. 本章包含对下列主题的回顾：

• 函数, 其定义域、上域、值域和垂线检验;

• 反函数和水平线检验;

• 函数的复合;

• 奇函数与偶函数;

• 线性函数和多项式的图像, 以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾;

• 如何处理绝对值.

下一章会涉及三角函数. 好啦, 就让我们开始吧, 一起来回顾一下到底什么是函数.

1.1　函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域的集合.

来看一些函数的例子吧.

• 假设你写出 f (x) = x2, 这就定义了一个函数 f , 它会将任何数变为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域, 我们不妨假设它们都属于 , 即所有实数的集合. 这样, 你就可以将任何实数平方, 并得到一个实数. 例如, f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4, 将 1 变为 1. 最后一个变换根本没有什么变化, 但这没问题, 因为转变后的对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f (2) = 4 的时候, 这实际上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是, f 是一个变换规则, 而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f (x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.

• 现在, 令 g (x) = x2, 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的数称为非负的).它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同, 因为各自的定义域不同. 例如, f (-1/2) = 1/4, 但 g (-1/2) 却是没有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 g 和 f 有相同的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的.

• 仍然令 f (x) = x2, f (马) 会是什么呢？这显然是无定义的, 因为你不能平方一匹马呀. 另一方面, 让我们指定 “h (x) = x 的腿的数目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来, 我们就会得到 h (马) = 4, h (蚂蚁) = 6, h (鲑鱼) = 0. 因为动物腿的数目不会是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便问一下, h (2) 会是什么呢？当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在 h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何意义. 你或许也可以认为 h (椅子) = 4, 因为多数椅子都有四条腿, 但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义域中. 也就是说, h (椅子) 是没有定义的.

• 假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症. 它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j (x) = Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”, 其中 j 的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效, 我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜色 (假设是红色的吧). 如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的, 那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.

现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象; 转变后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复, 但这也没什么.

那么, 为什么值域和上域不是一回事呢？值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 下面给出上述函数的值域.

• 如果 f (x) = x2, 其定义域和上域均为 , 那么其值域是非负数的集合. 毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数. 那你又如何知道值域是所有的非负数呢？其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所有的非负数. 例如, 平方 (或 ), 结果都是 2.

• 如果 g (x) = x2, 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数 , 那么其值域还是非负数的集合. 当平方每一个非负数时, 结果仍然会包括所有的非负数.

• 如果 h (x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合. 我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动物, 以及一些有更多条腿的小动物. 如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的数加入其值域. 不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰. 要想了解真实的答案, 你或许得是一位生物学家.

• 最后, 如果 j (x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色. 我很怕去想它们会是什么样的, 但或许亮蓝色不在其中吧.

1.1.1　区间表示法

在本书剩余部分, 函数总有上域 , 并且其定义域总会尽可能和 差不多 (除非另有说明). 因此, 我们会经常涉及实轴的子集, 尤其是像 { x : 2 ≤ x < 5} 这样的连通区间. 像这样写出完整的集合有点儿烦, 但总比说 “介于 2 和 5 之间的所有数, 包括 2 但不包括 5” 要强. 使用区间表示法会让我们做得更好.

我们约定, [a, b] 是指从 a 到 b 端点间的所有实数, 包括 a 和 b. 所以 [a, b] 指的是所有使得 a ≤ x ≤ b 成立的 x 的集合. 例如, [2, 5] 是所有介于 2 和 5 之间 (包括 2 和 5) 的实数的集合. (它不仅仅包括 2、3、4 和 5, 不要忘记还有一大堆处于 2 和 5 之间的分数和无理数, 比如 5/2、 和 π.)像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.

如果你不想包括端点, 把方括号变为圆括号就行了. 所以 (a, b) 指的是介于 a 和 b 之间但不包括 a 和 b 的所有实数的集合. 这样, 如果 x 在区间 (a, b) 中, 我们就知道 a < x < b. 集合 (2, 5) 表示介于 2 和 5 之间但不包括 2 和 5 的所有实数的集合. 像 (a, b) 这种形式表示的区间称作开区间.

你也可以混和匹配：[a, b) 指的是介于 a 和 b 之间、包括 a 但不包括 b 的所有实数的集合; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).

还有一个有用的记号就是 (a, ∞), 它是指大于 a 但不包括 a 的所有数; [a, ∞) 也一样, 只是它包括 a. 此外还有三个涉及 -∞ 的可能性. 总而言之, 各种情况如下.

1.1.2　求定义域

有时候, 函数的定义中包括了定义域. (例如, 1.1 节中的函数 g 就是如此.) 然而在大多数情况下, 定义域是没有给出的. 通常的惯例是, 定义域包括实数集尽可能多的部分. 例如 , 其定义域就不可能是 中的所有实数, 因为不可能得到一个负数的平方根. 其定义域一定是 [0, ∞), 就是大于或等于 0 的所有实数的集合.

好了, 我们知道取负数的平方根会出问题. 那么还有什么会把问题搞糟呢？以下是三种最常见的情况.

(1) 分数的分母不能是零.

(2) 不能取一个负数的平方根 (或四次根, 六次根, 等等).

(3) 不能取一个负数或零的对数. (还记得对数函数吗？若忘了, 请看看第 9 章!)

或许你还记得 tan(90°) 也是一个问题, 但这实际上是上述第一种情况的特例. 你看,

tan(90°) 之所以是无定义的, 实际上是因为其隐藏的分母为零. 这里还有一个例子： 如果定义

那么 f 的定义域是什么呢？当然, 为了使 f (x) 有意义, 以下是我们必须要做的.

• 取 (26 - 2x) 的平方根, 所以这个量必须是非负的. 也就是说, 26 - 2x ≥ 0. 这可以写成 x ≤ 13.

• 取 (x + 8) 的对数, 所以这个量必须是正的. (注意对数和平方根的区别：可以取 0 的平方根, 但不能取 0 的对数.) 不管怎么说, 我们需要 x + 8 > 0, 所以 x > -8. 到现在为止, 我们知道 -8 < x ≤ 13, 所以其定义域最多是 (-8, 13].

• 分母不能为 0, 这就是说 (x - 2) ≠ 0 且 (x + 19) ≠ 0. 换句话说, x ≠ 2 且 x ≠ -19. 最后一个条件不是问题, 因为我们已经知道 x 处于 (-8, 13] 内, 所以 x 不可能是 -19. 不过, 我们确实应该把 2 去掉.

这样就找到了其定义域是除了 2 以外的集合 (-8, 13]. 这个集合可以写作 (-8, 13] \ {2}, 这里的反斜杠表示 “不包括”.

1.1.3　利用图像求值域

让我们来定义一个新的函数 F , 指定其定义域为 [-2, 1], 并且 F (x) = x2 在此定义域上. (记住, 我们看到的任何函数的上域总是所有实数的集合.) 同时又是对于所有的实数 x, f (x) = x2. 那么 F 和 f 是同一个函数吗？回答是否定的, 因为两个函数的定义域不相同 (尽管它们有相同的函数规则). 正如 1.1 节中的函数 g, 函数 F 是由限制 f 的定义域得到的.

现在, F 的值域又是什么呢？如果你将 -2 到 1 之间 (包括 -2 和 1) 的每一个实数平方的话, 会发生什么呢？你应该有能力直接求解, 但这是观察如何利用图像来求一个函数的值域的很好机会. 基本思想是, 画出函数图像, 然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向 y 轴水平地射入两束亮光. 曲线会在 y 轴上有两个影子, 一个在 y 轴的左侧, 另一个在 y 轴的右侧. 值域就是影子的并集; 也就是说, 如果 y 轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里, 那么它处于函数的值域中. 我们以函数 F 为例来看一下这是怎么运作的吧.

图　1-1

图 1-1 中左侧的影子覆盖了 y 轴从 0 到 4 (包括 0 和 4) 的所有点, 也就是 [0, 4]; 另一方面, 右侧的影子覆盖了从 0 到 1 (包括 0 和 1)的所有点, 也就是 [0, 1]. 右侧的影子没有贡献更多, 全部的覆盖范围仍然是 [0, 4]. 这就是函数 F 的值域.

1.1.4　垂线检验

在上一节中, 我们利用一个函数的图像来求其值域. 函数的图像非常重要：它真正地展示了函数 “看起来是什么样子的”. 在第 12 章, 我们将会看到绘制函数图像的各种技巧, 但现在, 我很想提醒你注意的是垂线检验.

你可以在坐标平面上画任何你想画的图形, 但结果可能不是一个函数的图像. 那么函数的图像有什么特别之处呢？或者说, 什么是函数 f 的图像呢？它是所有坐标为 (x, f (x)) 的点的集合, 其中 x 在 f 的定义域中. 还有另外一种方式来看待它. 我们以某个实数 x 开始. 如果 x 在定义域中, 你就画点 (x, f (x)), 当然这个点在 x 轴上的点 x 的正上方, 高度为 f (x). 如果 x 没有在定义域中, 你不能画任何点. 现在, 对于每一个实数 x, 我们重复这个过程, 从而构造出函数的图像.

这里的关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上. 要不然, 你又将如何知道在点 x 上方的两个或多个不同高度的点中, 哪一个是对应于 f (x) 的值呢？这样就有了垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话, 那它就不是函数的图像; 反之, 如果没有一条垂线和图像相交多于一次, 那么你的确面对的是函数的图像. 例如, 以原点为中心, 半径为三个单位的圆的图像, 如图 1-2 所示.

图　1-2

这么普通的对象应该是个函数, 对吗？不对, 让我们进行如图所示的垂线检验. 当然, 在 -3 的左边或 3 的右边都没有问题 (垂线甚至都没有击中图像), 这很好. 就连在 -3 或 3 上, 垂线和图像也仅仅有一次相交, 这也很好. 问题出在 x 落在区间 (-3, 3) 上时. 对于这其中的任意 x 值, 垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次, 这就坏事了. 你不知道 f (x) 到底是对应上方的点还是下方的点.

最好的解决方法是把圆分成上下两个半圆, 并只选择上一半或者下一半. 整个圆的方程是 x2 + y2 = 9, 而上半圆的方程是

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