几何画板教程_WORD版

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2023年12月22日发(作者：)

《几何画板》教程

作者：河北师范大学数学与信息科学学院 杨树元 cctvhb@

2007年9月制作

几何画板官方网站：

/sketchpad/

求师得《几何画板》论坛：

/bbs/?boardid=8

数学教育网《几何画板》论坛：

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第一章 用工具作图

第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍

1、启动几何画板：单击桌面左下角的【开始】按钮，选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后，启动几何画板。

如图1所示，是打开一个几何画板文件的截图。

菜单栏

工具框

工作区

状态栏

图1

几何画板的窗口是不是和其他Windows应用程序窗口十分类似？有控制菜单、最大/最小化以及标题栏，画板窗口的左侧是画板工具栏，画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。

画板的左侧是画板工具箱，把光标移动到工具的上面，一会儿就会显示工具的名称，看看它们分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直

尺工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。

和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点？几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形。而几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大，源远流长。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维中公里化思想是一脉相承的。

按住工具框的边缘，可随意拖动到画板窗口的任何位置，不同位置形状不同。试一试，能否拖到某一个地方，工具框变成图2所示的形状？

图2

顾名思义，猜测一下它们都有何功能？

- 1 -

：选择对象 这是它的主要功能，当然还有其他

：画点 可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。“线”可以是线段、射线、圆、轨迹、函数图像

：画圆 只能画正圆不能画椭圆，是不是有点遗憾?(几何画板也能画椭圆，请看第二章)

：画线 直尺工具当然用于画线段，还不仅仅如此！

：加标注（即说明性的文字）或给对象标标签

：自定义工具 如果你觉得上述工具不够（如：不能直接画正方形），你可以定义新的工具

选择某项绘图工具时，用鼠标单击一下该工具即可。

试一试 能否画出如图3所示的图形

图3

画点：单击【点工具】，然后将鼠标移动到画板窗口中单击一下，就会出现一个点。

画线：单击【直尺工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下，再拖动鼠标到另一位置松开鼠标，就会出现一条线段。

画圆：单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下（确定圆心），并按住鼠标拖动到另一位置（起点和终点间的距离就是半径）松开鼠标，就回出现一个圆。

画交点：单击【选择箭头工具】变成横向

示：

，然后拖动鼠标将光标移动到线段和圆相交处（光标由，状态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下，就会出现交点。如图4所图4

交点只能由线段（包括直线、射线）间、圆间、线段（（包括直线、射线））与圆之间点击构造。

- 2 -

绘图工具的使用是不是比操作直尺和圆规更容易？

如果你细心的话，你会发现【选择箭头工具】，和【直尺工具】的右下角都有一个小三角，用鼠标按住它约一秒，看看会发生什么？

【选择箭头工具】展开如图5所示，有三个工具，分别是：“移动”，“旋转”，“缩放”，其用途键下一节。

图5

【直尺工具】展开，也有三个工具，如图6所示，分别是：“线段”“射线”“和直线”。线段的画法，我们知道了，如何用它来画射线直线呢？

图6

画射线：移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线，如图7所示

图7

（在几何画板里是看不见射线上的箭头，它向一端是无限延伸的）

画直线：依样画葫芦，请你画如图8所示的一条直线。

图8

（在几何画板里同样也是看不见直线上的箭头，它向两端是无限延伸的）

你还会发现，用几何画板画出的线段、直线、射线和画圆，分别多了两点。一方面构造它们只要两点就够了，另一方面，它们可以被拖动。如，单击【选择箭头工具】按钮，移动光标到线段的端点处（注意光标会变水平）拖动鼠标，线段的长短和方向就会改变；正因为多出了“点”，才使它们有被改变的可能。

移动光标到线段的端点之间任何地方（光标成水平状）拖动鼠标，就可以移动线段。分别

- 3 -

拖动一下直线、射线的点和线，尝试改变它们一下。

试一试 画一个圆，看能否改变圆的大小和位置。

（提示：圆是由两个点来决定的，鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。分别拖动圆心和圆周上的点，可改变圆的大小，拖动圆周，可移动圆。）

所以说，你不觉得几何画板所画图形是动态的图形？

几何画板绘制的图形也非常容易加上标签。（你不妨和word的绘图比较一下）

单击文本工具，光标由前头变为手形然后分别移动鼠标，当光标移到对象处，变为单击鼠标，对象显示出标签。

请将图3中的所有对象添上标签。去掉标签也容易，只需对上图的每一个对象，单击，标签就没有了。在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时，系统会自动给您画的对象配标签。文本工具就是一个标签的开关，可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏。

第二节 用绘图工具绘制简单的组合图形

下面我们用绘图工具来画一些组合图形，希望通过一下范例的学习，你能够熟悉绘图工具的使用，和一些相关技巧。

例1、 三角形（一）

一、制作结果 如图所示，拖动三角形的顶点，可改变三角形的形状、大小

这个三角形是动态的三角形，它可以被拖成下列三角形之一，如图9所示。

图9

二、要点思路 熟悉“直尺工具”的使用，拖动图中的点改变其形状。

三、操作步骤 观察图10，你能明白三角形就是用【直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的图形。

图10

1、

2、

打开几何画板，建立新绘图

单击【直尺工具】，将光标移到在绘图区，单击并按住鼠标拖动，画一条线段，松开鼠标。

3、 在原处单击鼠标并按住拖动，画出另一条线段，松开鼠标。（注意光标移动的方向）

4、 在原处单击鼠标并按住拖动，画出第三条线段，光标移到起点处松开鼠标。（注意起点会变色）

5、将该文件保存为“三角形.gsp”

拓展：你也可以将光标移到在绘图区，单击并松开鼠标拖动，画一条线段，单击鼠标。在原处再单击鼠标并松开拖动，画出另一条线段，单击鼠标。在原处单击鼠标并松开拖动，画出第三条线段，光标移到起点处单击鼠标。

例2三角形（二）

- 4 -

一、制作结果 三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段，拖动三角形的顶点可以改变三角形的大小和形状，如图11所示。在讲解三角形的外角时，就可构造此图形。

图11

二、知识要点 学会使用【线段工具】、【直线工具】、【射线工具】以及它们相互之间的切换。

三、操作步骤

1、 打开几何画板，建立新绘图。

2、 选择画直线工具 将光标移动到【直尺工具】上按住鼠标键不放，移动光标到【直线工具】上，松开鼠标，如图12所示。

图12

3、

4、

画直线 将鼠标移动到画板中，按下鼠标键，向右拖曳鼠标后松鼠标键。

选择画射线工具 用鼠标对准【直线工具】，按下鼠标键并拖曳到【射线工具】处松鼠标，如图13所示。

5、

6、

图13

画射线 将鼠标对准定义直线的左边一点（在按下鼠标左键之前请注意窗口左下角的提示），按下鼠标键，向右上拖曳鼠标后松鼠标键。

选择画线段工具 用鼠标对准画线工具，按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标。如图14所示。

图14

画线段 将鼠标对准定义射线的右上一点C（注意窗口左下角的提示信息），按下鼠标键，向定义直线的右边一点B拖动（注意提示），匹配上这一点后松鼠标。

将该文件保存为“三线三角形.gsp”

7、

8、

例3、圆内接三角形

一、制作结果 如图15所示所示，拖动三角形的任一个顶点，三角形的形状会发生改变，但始终与圆内接。

图15

二、要点思路 学会使用画线工具在几何对象上画线段

三、操作步骤 如图16所示

- 5 -

图16

1、

2、

打开几何画板，建立新绘图。

画圆 单击【圆规工具】按钮，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标，就会出现一个圆。

3、 画三角形 单击【直尺工具】按钮，移动光标到圆周上（圆会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右移到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到圆周上线段起点处松开鼠标。

4、 将该文件保存为“圆内接三角形.gsp”

注意：画线段时，起点不要与圆周上的点重合；光标移动到圆上时，圆会变淡蓝色，注意状态栏的提示。

试一试：画一个过同一点的三个圆，并保存文件为“共点的三圆.gsp”（希望你能试一试，后面要用到）

例4、等腰三角形（画法一）

一、 制作结果 拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变，但始终是等腰三角形，如图17所示，这就是几何的不变规律。

二、

图17

要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰，如图18所示。

图18

三、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图。

2、画圆

3、画三角形 单击【直尺工具】按钮，移动光标到圆周上的点处（即画圆时的终点，此时点会变淡蓝色），单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆圆心处松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。

4、隐藏圆 按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。

5、将该文件保存为“等腰三角形”

例5 线段的垂直平分线

一、制作结果 如图19所示，无论你怎样拖动线段，竖直的线为水平线段的垂直平分线。

- 6 -

图19

三、 要点思路 学会使用【直尺工具】，画线段和直线，学会等圆的构造技巧，如图20所示。

图20

四、 操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图，画线段 。

2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住并拖动鼠标到线段的右端点，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。

3、画直线 选择【直线工具】，移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击后松开鼠标。（光标到两圆相交处，两圆会同时变为淡蓝色）

4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周和交点后，按“Ctrl+H”

5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp”

你能否由上述作法联想到等边三角形的作法？

拓展：等边三角形的画法（一）

一、 要点思路 学会等圆的构造方法，使用“同圆半径相等”构造等边，如图21所示。

图21

二、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图。

2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。

3、画三角形 在画线段时，光标移到两圆相交处，两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标。

4、隐藏两圆 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。

5、将该文件保存为“等边三角形”

例6、直角三角形（画法一）

一、制作结果 拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状，但始终是直角三角形。

- 7 -

拖动右边的点和三边可改变直角三角形的位置，如图22所示。

图22

二、要点思路 学会使用【画射线工具】；使用【选择工具】画交点；在圆上画线段；搞清楚画直角的原理是：直径所对的圆周角是直角

三、操作步骤

1、打开几何画板，建立新绘图

2、画射线：移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不

要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线，如图23所示。

图23

3、画圆及射线的交点：移动光标到射线和圆的交点处，单击，如图24所示。

图24

注意：光标到射线和圆的交点处，射线和圆都会变为淡蓝色，状态提示栏的提示是：“单击构造交点”。

4、画直角边 单击【直尺工具】按钮，移动光标到射线的端点处（端点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠标，如图25所示。

图25

5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”，如图26所示。

图26

6、画斜边 单击【直尺工具】，移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。

- 8 -

可能你会说，怎么这么繁，为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形，但这样画出的直角三角形，由于没有定义几何关系，拖动任一顶点和边，不能保证它始终是直角三角形。

7、将该文件保存为“直角三角形.gsp”

从以上几个实例不知你是否意识到：

1）用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。

2）点不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象（除“内部”外）上。线段和圆的起点和终点也如此，即不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象上，即构造“点”与“线”的几何关系。

3）【选择箭头工具】不仅用于选择，还可用来构造交点。

4）在画点（或画圆、、直线、线段、射线）时，光标移到几何对象（点和线）处，几何对象会变为淡蓝色，此时单击鼠标才能保证“点”、“点”重合，“点”在“线”上。

5）对于绘制图形的辅助线，一般情况下不能删除，要不然相关对象都被删除了。只能选定按快捷键“Ctrl+H”隐藏。

第三节 对象的选取、删除、拖动

前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。几何画板虽然是windows软件，但它的有些选择对象的选择方式，又与一般的windows绘图软件又不同，希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。也希望通过本节的讲解，你对此有比较系统全面的了解

一、选择

在进行所有选择（或不选择）之前，需要先单击【选择箭头工具】按钮，使鼠标处于选择箭头状态。

1、选择一个：用鼠标对准画板中的一个点、一条线、一个圆或其它图形对象，单击鼠标就可以选中这个对象。图形对象被选中时，会加重表示出来。如下图所示：

选择对象

过 程 描 述

选前状态

选后状态

一个点

用鼠标对准要选中的点，待光标变成横向时 ，

单击鼠标左键。

用鼠标对准线段的端点之间部分（而不是线段的端一条线

点），待鼠标变成横向的黑箭头时，单击鼠标左键。

用鼠标对准圆周（而不是圆心或圆上的点），待鼠标一个圆

变成横向的黑箭头时，单击鼠标左键。

2、再选另一个：当一个对象被选中后，再用鼠标单击另一个对象，新的对象被选中而原来被选中的对象仍被选中（选择另一对象的同时，并不需按住“Shift”键，与一般的windows软件的选择习惯不同）。

3、选择多个：连续单击所要选择的对象（注意：在单击过程中，不得在画板的空白处单击（或按“Esc”键）。

4、取消某一个：当选中多个对象后，想要取消某一个，只需单击这个对象，就取消了对这个对象的选择。

5、 都不选中：如果在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键），那么所有选中的标记就都没有了，没有对象被选中了。

6、 选择所有：如果你选择了画板工具箱中的选择工具，这时在编辑菜单中就会有一个“选择所有”的项；如果当前工具是画点工具，这一项就变成选择“所有点”；如果是画线工具或画图工具，这一项就变成“选

- 9 -

择所有线段（射线、直线）或“选择所有圆”。它的快捷键是“Ctrl+A”（请注意和反复练习这种选择同类对象的方式）

7、 选择对象的父母和子女：选中一些对象后，选择【编辑】|【选择父对象】命令，如图27所示，就可以把已选中对象的父母选中。类似地，也可以选择子对象。如果一个对象没有父母，那么几何画板认为它自己是自己的父母；同样，如果一个对象没有子女，那么它自己是自己的子女。 所谓“父母”和“子女”，是指对象之间的派生关系。如：线段是由两点派生出来的，因此这两点的“子女”就是线段，而线段的“父母”就是两个点。

图27

注意：画板最后构造对象，是处于选择状态。在选择对象之前最好在在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键）

小技巧：选择多个对象还可以用拖框的方式，（和一般的windows软件相同）如图28所示：

图28

你想要画图快捷，最好熟悉这种选择方式。

选择对象的目的是为了对这个对象进行操作。这是因为在windows中，所有的操作都只能作用于选中的对象上，也就是说：必须先选择对象，然后才能进行有关的操作。在几何画板中，对选中的对象可以进行的操作有：删除、拖动、构造、测量、变换等。 在这里，我们先介绍删除和拖动操作。

二、删除

删除就是把对象（点、线或圆）从屏幕中清除出去。方法是：先选中要删除的对象，然后再选择“编辑”菜单中的“清除”项，或按键盘上的“Delete”键。请注意，这时与该对象有关的所有对象均会被删除，和一般的windows软件又不同，和数学思想倒很相近，“皮之不存，毛将附焉”。

三、拖动

用鼠标可以选择一个或多个对象，当你用鼠标拖动已经选中的对象在画板中移动时，这些对象也会跟着移动。由于几何面板中的几何对象都是通过几何定义构造出来的，而且几何画板的精髓就在于“在运动中保持几何关系不变”，所以，一些相关的几何对象也会相应地移动。

当你拖动画板中的图形时，可以感受到几何画板的动态功能。请注意：在拖动之前，请按“Esc”键，或点击【选择箭头工具】后，选定要移动的对象。

试一试 按下面的步骤进行拖动操作，注意观察图形变化的情况。

- 10 -

1

拖动前的图形

拖动操作

向下拖动点B

拖动后的图形

解 释

线段受点B控制，所以要随着

运动。

线段的方向不变，位置发生改变，由于点A、B是

线段的父母，必须保持相应关

系，所以两点也随之运动。

点B是圆的父母，所以圆的大小随着点B的移动而

变化。由于点A是自由的，不受点B控制，所以点A位置保

持不变。

点A是圆的父母，所以圆的大小和圆心的位置随着

点A的移动而变化。由于点B是自由的，不受点A控制，所以圆总保持过点B。

由于点C是圆的子女，受圆的控制，所以，这个点只能在圆上运动。

2

拖动线段AB

3

拖动点B

4

拖动点A

5

圆由AB两点定义，点C为圆上另一点，拖动点C。

画两条相交线段，用选择工具画出它们的交点（请注意状态条的提示），

之后拖动线段CD。

6

当两线段不相交后，交点就不显示了（此时交点无数学意义）。

在前面学习中，你是不是用画圆工具画了三个过同一点的圆，并把它保存为“共点的三圆。gsp”的文件。现在请大家把这个文件调出来（选择【文件】|【打开】命令，选中文件名后，按【确定】按钮）。 请大家任意选中一个圆随意拉动，看这三个圆是否还能“过同一点”？ 拖动结果可能如图29所示：

图29

为什么图形会“散架”，可能作图过程是这样的（下面列出最典型的初学者“画三个过一点的圆”的方法，可能受传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响），如图30所示。

- 11 -

图30

在拖动过程中，几何画板能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么，你思考一下，上述方法在画圆时，到底给定了什么样的几何关系？

我们知道，圆是由两个点来决定的，鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。

而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共一个圆，六个自由点）。根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。这就表明：在几何画板中，不能再象在黑板上那样，随手画出图来，而每时每刻都得考虑几何关系。

那么怎么能保证它们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看？

步过 程 描 述

作图结果

骤

1

选择画圆工具。

（无）

2

画第一个圆：圆心为A，圆上一点为B。

画第二个圆；在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心

3

C，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并

在B点松开鼠标，即圆上的点为B。

画第三个圆：在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心

4

D，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并

在B点松开鼠标，即圆上的点为B。

现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。

很显然，在这种做法中，由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B，因此不管如何拖动这三个圆，它们都会经过点B。

这就是几何关系！这就是保持几何关系！这就是在动态中保持几何关系！

第四节 对象的标签

在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时，系统会自动给您画的对象配标签。一般情况下，点的标签为从A开始的大写字母；线的标签是从j开始的小写字母；圆的标签是从c1开始的，小写字母c带数字。

- 12 -

如何为对象显示标签呢？前面我们已介绍过用【文本工具】对象的标签，即用鼠标单击画板工具箱中的文本工具后，用鼠标（空心小手形状）对准某个对象变成黑色小手形状后单击，如果该对象没有显示标签就会把标签显示出来，如果该对象的标签已经显示就会把这个标签隐藏起来。 还有其他方式显示标签吗？有，那就是用菜单命令。

用鼠标选中一些没有显示标签的对象，选择【显示】|【显示标签（L）】命令，如图31所示，就可以显示这些对象的标签。如果所选中一些对象的标签都已经显示，那么单击这个菜单项后，这些对象的标签就会隐藏起来。 （注意其快捷键“Ctrl+K”这是一个使用频率较高的键）

图31

标签的位置还可以适当移动：用鼠标选中【文本工具】(或【选择工具】)后，当如果用鼠标对准某个对象的标签，鼠标变成带字母A的小手形状后，按下鼠标键拖曳鼠标，可以改变标签的位置。

标签可以根据我们的需要改变 ，如果用带字母A的小手形状鼠标双击某一个标签，就会出现了这个标签附着对象的属性框。用这个属性框可以根据需要，随意改变标签的字体，字号，粗体，斜体，下划线，颜色等。标签可以是英文、汉字、数字等，还可以有下标。

例1、逐个对象的标签。

HEDABFCG

HGEDFC

a b c

图32

AB

1、 显示顶点标签 单击【文本工具】，单击正方体的的每一个顶点。标签显示如图32b所示。

2、 调整标签位置 当如果用鼠标对准某个对象的标签，鼠标变成带字母A的小手形状后，按下鼠标键拖曳鼠标，可以改变标签的位置，如图32c所示。

3、

改变标签文字和加下标 用带字母A的小手形状鼠标双击点E的标签，就出现了点E的属性对话框，如图33所示。把“E”改为“A[1]”后按“确定”按钮。

在这里输入A[1]

- 13 -

图33

4、 同样在点F、G、H的属性对话框中分别改标签为B[1]、C[1]、D[1]，最后效果如图34所示。

D1C1B1DCA1A图34

B

5、 改变标签的颜色 单击点A属性框的“样式（T）” 按钮，打开标签样式的对话框，如图35所示。

图35

6、 单击【颜色】下拉框，选中红色，如图36所示，单击【确定】按钮，再按属性对话框的【确定】按钮。A点的标签就变为红色，如图37所示。

D1C1B1A1DC

例2：批量改变对象的标签（与有关等边三角形的课件为例）

pnAB

图36 图37

kolmj

a 图38 b

1、快速隐藏线段的标签 （如图38a所示）：

1）选择所有线段 单击【直尺工具】按钮，按快捷键“Ctrl+A”可选择工作区中所有的线段（这种选取同类对象的方式，希望引起你的注意）。

- 14 -

2） 隐藏线段的标签 按快捷键“Ctrl+K”隐藏所选线段的标签，如图38b所示。

2、快速显示点的标签

B'C'AB图39

1） 选择所有点 单击【点工具】按钮，按快捷键“Ctrl+A”可选中工作区中所有的点。

2） 显示点的标签 按快捷键“Ctrl+K”显示所有点的标签，如图39所示。按住标签，把标签移动到适当的位置（注意：在文本工具或选择工具被选的情况下）。

3）改变标签的字号和颜色 选中所有的点，在文本栏（如图40所示）里改变字号和颜色。如仅是改变标签的大小，选中标签所附的对象后，按快捷键“Alt+>”或“Alt+<”。C

图40

说明：标签不能直接被选取，只能选取他所附的对象，对象隐藏，标签也隐藏。显示或隐藏文本栏的方法是：按快捷键“Shfit＋Ctrl+T”。或单击菜单 显示→显示（或隐藏）文本工具栏，文本工具栏可以被拖动。

例3：让系统自动为所画的点标上标签

步骤：

选择【编辑(E)】|【参数选项（F）„】命令，就会出现【参数选择】的对话框，单击文本按钮后，在【所有新建的点】的前面打“√”，如图41所示，然后按【确定】按钮。

图41

不管你是是新手还是老手，在用几何画板进行绘画时，都会出现错误。在几何画板中，有几

种修改错误的方法。一般来说，用户都比较熟悉的方法就是“删除”。但在几何画板中删除必须十分小心。因为，如果删除一个对象，那么这个对象的子女对象就同时被删除。建议你使用“撤消”功能。你可以用【编辑】菜单中的【撤消】功能取消刚刚画的内容，复原到前次工作状态；并可以一步一步复原到初始状态（空白画板，或者本次打开画板的状态）。这个功能的快捷键是“Ctrl+Z”。如果这时又不想“撤消”了，可以使用“重复”功能。快捷键为“Ctrl+R”

如果按下拉菜单之前，按下 Shift键，则“撤消”命令就变成了“全部撤消”。快捷键是“Shift+Ctrl+Z”。这是获得一个空白画板文件的快速方法，俗称“擦黑板”。

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如果有一个对象希望删除而又影响其他对象，那么就应当采用隐藏的方法。隐藏的方法是：先选中要隐藏的对象，然后选择【显示】|【 隐藏对象（H）】命令，如图42所示。或按快捷键“Ctrl+H”（这是一个使用频率比较高一个快捷键）。

图42

【本讲小节】在这一讲中我们主要学习了几何画板工具箱中的几种工具使用方法，您应该熟练的运用【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】画出一些几何图形，并能用工具构造相关对象的交点，掌握等圆，直角的构造技巧。能熟练的运用【文本工具】进行文本输入，学会几何对象标签的显示和隐藏的技巧并掌握标签的修改方法。理解几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系。在本讲中我们一起用工具构造了等腰三角形、等边三角形、线段的中垂线、直角三角形等几何图形，但用工具按尺规作图的方法去构造图形是很麻烦的，更简捷的方法是直接使用构造菜单进行图形构造，关于构造菜单的运用我们将在下一讲中一起学习。

第二章 用构造菜单作图

通过第一章的学习，您是否明白用【工具框】中的工具作图，几乎可以作出所有欧几里德图形，实质上和传统的尺规作图没什么两样（只不过电脑作出的图形是动态的，拖动点和线，能保持几何关系不变，黑板上的图形是静态的，不能拖动），但仅靠【工具框】中的工具作图实在太慢了，例如，我们想要作一条线段的中点，仅用工具作图，您想一想，通常要几步？

例：如图2-1所示，用作图工具作一条线段AB的中点C，通常需要以下几步。

DACBE

图2-1

用作图工具作线段的中点，几乎和传统的尺规作图一样，至少要经过3步：

第一步 作两圆及交点：

分别以点A点B为圆心，AB为半径画圆；用【选择箭头工具】D、E。

第二步 作线段DE：

过两圆的交点作一条线段DE。

，单击两圆相交处,作出两圆的交点

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第三步 作中点C：

用【选择箭头工具】下：

作法：

1、选择【直尺工具】，单击线段AB和DE相交处，得线段中点C

有没有更简单的方法呢？有，只要您选中了线段，按快捷键Ctrl+M，电脑就构造好了中点。具体步骤如，在工作区中画出线段AB，如图2-2-1所示。

图2-2-1

2、选择【选择箭头工具】，单击线段AB，线段AB被选中，如图2-2-2所示

图2-2-2

3、选择【构造】|【中点】命令，（或直接按快捷键Ctrl+M），得到线段AB的中点。如图2-2-3所示。

图2-2-3

由上面的作法，您是否想到，用【工具箱】中工具画出基本元素（即“点” 和“线”），选取它们，用菜单命令或快捷键，就能让电脑自动快速作出一些我们想要的基本图形，减少很多仅凭工具作图的重复劳动。

您不妨先思考一下，中学数学教材里有关尺规作图的基本问题都有哪些？是不是有“作一条线段的中点”；“作一个角的平分线”；“过一点作已知直线的垂线（或平行线）”，几何画板也考虑到了这些，其实还不仅仅这些。

用鼠标单击一下【构造】菜单，让我们具体看一下【构造】 菜单里都有哪些基本构造。如图2-3所示：四条菜单分隔线，把构造菜单分为五组：点型、直线型（线段、直线、射线）、圆型（圆、圆弧）、内部、轨迹。

图2-3

它们是不是包括了我们常见的基本作图？但它们全都是灰色的，也就是说，此时还不能对电脑下达命令（即菜单命令此时无效），因为您没有选取适当的点和线，具体操作看下面的叙述。

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第一节 点的作法

如图2-4所示：几何画板的点作法分为三类：对象上的点、中点、交点。

图2-4

1、对象上的点的作法：选定任何一个“对象”或多个“对象”，选择【构造】|【对象上的点】命令，电脑根据您选取的对象，构造出相应的点，点可以在对象上自由拖动。这里的对象是可以是【线（线段、射线、直线、圆、弧）】、【内部】、【函数图像】等，但不能是“点”，点上当然不能再构造点。这是一个动态的菜单，选取的对象是“线段”，这时菜单显示的是【线段上的点】，选取的对象是“轨迹”，这时菜单显示的是【轨迹上的点】„„。

小技巧：一般情况下，除【内部外】，用【点工具】准对象单击），这样更快。

2、中点：选取一条线段，选择【构造】|【线段的中点】命令，电脑就构造出所选线段的中点

例1作三角形的中线

1) 画△GHF：选择【直尺工具】直接在对象上画出点（在画点状态下，用鼠标对，在工作区中画一个三角形，选择【文本工具】，单击三角形的顶点给顶点标上字母，如图2-5所示。

图2-5

2) 选定边GH：选择【选择箭头工具】，单击线段GH，线段GH被选中，如图2-6所示。

图2-6

3）作线段GH的中点：选择【构造】|【中点】命令（或按快捷键Ctrl＋M），做出线段GH的中点I，如图2-7所示。

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图2-7

4） 连接FI：用画线工具对准F点，拖动鼠标到I点后松开鼠标，得到中线FI，如图2-8所示。

图2-8

小技巧：为了方便快捷，允许您选取一条以上的线段，可同时画它们的中点，您不妨作下面的练习。

练习：画三角形的中位线和中点三角形（连续单击线段后，按快捷键Ctrl＋M），如图2-9所示。

图2-9

造】|【交点】命令，得两线的交点。

3、交点：选取两条（当且仅当选取两条）呈相交状态的线（线段、射线、直线、圆、弧）后，选择【构小技巧：一般情况，在选择状态下，用【选择箭头工具】单击两线相交处，即得交点。您不妨练习一下：

画三角形的重心（1、画出一个三角形；2、画出三角形的中线；3、用鼠标直接点击中线相交处，得重心，即如图2-10所示，这样作是不是更快捷？）

图2-10

第二节 直线型的构造

如图2-11所示：直线型的构造包括：线段、射线、直线、平行线、垂线、角平分线。

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图2-11

线段、直线、射线的构造：

想一想 线段、射线、直线的确定需要几点？您不会忘记“两点确定一条线段（射线、直线）”吧！

作法：选取两点，选择【构造】|【线段】（或“射线”“直线”）命令，电脑就构造一条线段（或一条射线或直线）。

注意 1）如选取的点是画射线，第一个点为射线的端点

2）使用快捷键Ctrl＋L能快速画线段，但也只能画线段。射线、直线没有快捷键。

3）如果是过两点画直线（或射线或线段）的话，在选取相应工具的状态下，用鼠标对准一个点，按下鼠标移动到另一点，松开就得直线（或射线或线段）。

4）选取两点以上也能画线段（射线、直线）

例、快速画中点四边形

作法：

1) 画出四点并选定：按住Shift键，用点工具画出四点（或，用点工具画出四点后，在选择状态下，用鼠标拉出一个矩形框，框住这四点），如图2-12所示。

图2-12

2）顺次连接四点：按Ctrl＋L，效果如图2-13所示。

图2-13

3）中点四边形：按“Ctrl＋M” 后，作出四边中点，如图2-14所示。

图2-14

4）再按快捷键Ctrl＋L连接中点，得中点四边形，如图2-15所示。

图2-15

1、 平行线或垂线的作法：即过一点作已知直线（或线段或射线）的垂线或平行线，您想一想，作垂

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线或平行线，需要选定什么？选定点和直线：1)选定一点和一直线；或选定几点和一直线；或选定一点和几条直线，菜单变成如下状态：单击菜单命令“平行线”“垂线”就能画出过已知点且平行或垂直已知直线的平行线或垂线。

例1、

作法：

1、 用画线工具画出平行四边形的邻边，并用标签工具标上字母，如图2-16所示。

画平行四边形

图2-16

2、 仅选取点A和线段BC，选择【构造】|【平行线（E）】命令，画出过A点且与线段BC平行的直线；同样画出另一条过点C且与线段AB平行的直线；在两条直线的相交处单击一下（注意：在选择状态下）得交点，如图2-17所示。

图2-17

3、 隐藏直线：选取两条直线，选择【显示】|【隐藏 平行线】命令，如图2-18所示。 （提示：可以使用快捷键：Ctrl＋H）

图2-18

4、 连接AD和CD（可以用画线工具或菜单命令），如图2-19所示。

图2-19

例2、 三角形的高

作法：

1、 画出△ABC，如图2-20所示。

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图2-20

2、 作垂线：仅选定点A和线段BC，选择【构造】|【垂线（D）】命令，就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处，得垂足点D，如图2-21所示。

图2-21

3、 隐藏垂线：选定垂线后，按快捷键Ctrl+H，如图2-22所示。

图2-22

4、 连接AD，如图2-23所示。

图2-23

例3、

作法：

1、 画线段AB并在选择状态下，拖出一个框，选中点A和线段AB，如图2-24所示。

直角三角形的画法

图2-24

2、 选择【构造】|【垂线（D）】命令，得到过点A垂直于线段AB的直线，如图2-25所示。

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图2-25

3、 作斜边：在画线段的状态下，对准B点单击，松开左键，移动光标到垂线单击，如图2-26所示。

图2-26

4、 隐藏垂线：选中垂线，按快捷键Ctrl+H，隐藏垂线，如图2-27所示。

图2-27

5、连接AC，得到直角三角形，如图2-28所示。

图2-28

例4、三角形的角平分线

作法：

1、 画出三角形ABC：用画线工具画出△ABC，并用标签工具标上字母，如图2-29所示。

图2-29

2、 画出∠BAC的平分线与线段BC的交点D：选定点A、点B、点C(注意，角的顶点一定要第二个选取)，选择【构造】|【角平分线】命令，在“选择状态”下用鼠标对准角平分线与线段BC的相交处单击，如图2-30所示。

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图2-30

3、 隐藏角平分线：在选择状态下，先用鼠标在空白处单击一下后，单击角平分线，再按快捷键Ctrl＋H（等效菜单命令：【显示】|【隐藏】），如图2-31所示。

图2-31

4、 连接A点和D点：选定A点和D点后，按快捷键Ctrl+L（等效菜单命令：【构造】|【线段】），得到三角形的角平分线，如图2-32所示。

图2-32

练习：作出三角形的内心

第四节 图形内部的构造

1、 多边形内部的构造：选定三点或三点以上后，就可构造多边形内部了，如三角形内部的构造：选定三点后，选择【构造】|【三角形的内部】命令，就可以绘出由这三点决定的三角形的内部，如图2-44所示。

图2-44

2、 选定一个圆（或几个圆）：选定一个圆（或几个圆）后，选择【构造】|【圆内部】命令，就可以绘出这个圆的内部，如图2-45所示。

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图2-45

3、 扇形（弓形）内部的构造：选定一段弧（或几段弧）：选定一段弧（或几段弧）后，选择【构造】|【弧内部】|【扇形内部】命令，或选择【构造】|【弧内部】|【弓形内部】命令，就可以绘出这段弧所对扇形或弓形的内部如图2-46所示。

图2-46

说明：这是一个动态的菜单，如选定的是四点，则此菜单显示的是“四边形的内部”；如选定的是五点，则此菜单显示的是“五边形的内部”；如果选定的是圆，则此菜单显示的是“圆内部”；如果选定的是弧，则此菜单显示的是“弧内部”。

注意：“内部”的快捷键是Ctrl+P，但“弓形内部”没有快捷键。

第三节 圆型线的构造（圆、圆弧）

一、圆的绘制

1、 选定两点（有顺序）：选定两点后，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令，如图2-33所示，就可以构造一个圆，圆心为第一个选定的点，半径为选定两点的距离。和【圆规工具】等效。

图2-33

2、 选定一点和一条线段（没有顺序）：选定点和线段后，【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，如图2-34所示，就可以构造一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度。

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图2-34

3、 等圆的画法：选定多点和一条线段（没有顺序）：选定多点和线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点，半径为选定的线段的长度。

例、 正三角形的快速画法（试一试，能否仅看图就能知道作图思路？）

画一条线段1) 用【直尺工具】

画出一条线段，按Esc键，取消画线状态。用鼠标拖出一个框，使线段和端点全在框里，如图2-35所示。

图2-35

2) 选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，画出两个等圆，如图2-36所示。

图2-36

3) 画三角形的另两条边 选择【直尺工具】，光标对准线段左端点单击，松开左键，移动光标到两圆相交处单击（注意状态栏），松开左键，移动光标到线段右端点单击，如图2-37所示。

图2-37

4) 隐藏两圆 按Esc键，取消画线状态，选中两圆，按快捷键Ctrl+H.，隐藏两圆，得到等边三角形,如图2-38所示。

图2-38

4、 同心圆的画法：

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选定一点和多条线段（没有顺序）：选定一点和多条线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，就可以构造多个同心圆，圆心为选定点，半径分别为选定的线段的长度。如图2-39所示。

结果如下：

图2-39

注意：上述选定作为半径的线段可以用【带有长度单位的数值】代替，即半径可以是线段，也可以是带有长度单位的数值，如图2-40所示。

结果如下：

图2-40

二、弧的绘制：

1、 选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：选定一个圆和圆上的两点后，选择【构造】|【圆上的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧，如图2-41所示。

结果如下：

图2-41

2、 选定特殊的三点（第一点为，另两点为端点的线段的中垂线上的点）：选定三点后，选择【构造】|【圆上

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的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧，第一个点为弧所在圆的圆心，如图2-42所示。

结果如下：

图2-42

3、 选定不在同一直线上的三点：选定三点后，选择【构造】|【过三点的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧，如图2-43所示。

结果如下：

图2-43

第五节 点的轨迹的构造

让我们先看一道常见的数学题：如图2-47所示，P为圆上任意一点，则线段OP中点M的轨迹是什么？

图2-47

选定P点，选择【显示】|【生成点的动画（A）】命令，如图2-48所示。

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图2-48

结果如下：可以观察到点P在圆上运动，M也跟着运动，如图2-49所示。

图2-49

要知道M的轨迹，先单击【运动控制台】的停止按钮，停止动画，然后选定M点后，按快捷键Ctrl+T，跟踪点P。仅选定P点后，再按【运动控制台】的播放按钮，就可观察到点M的轨迹是什么，如图2-50所示。

图2-50

但这样的轨迹按Esc键就能清除掉，还不能保存。如何才能真真构造出点M的轨迹呢？

作法：选定点P和点M（没有先后），选择【构造】|【轨迹（U）】命令，如图2-51所示。（注意：在作轨迹以前最好按Esc键清除掉M的暂时轨迹）

结果如下：

图2-51

您再按Esc键试试，看能否清除点M的轨迹？M还可以是OP上任意一点，您试试？看它的轨迹是什么？

构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。

例1、 椭圆的画法（一）

先观察，如图2-52所示，您能分析出作图步骤吗？能知道E点的轨迹是椭圆的原因吗？

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图2-52

作法：

1、 画一个圆和一条线段 线段的画法是：在画线段的状态下，把光标移到圆内，单击一下，松开左键，把光标移到圆周上，单击一下，则得线段CD，如图2-53所示。

图2-53

2、 作线段CD的垂直平分线和直线AD 直线AD的作法是：在直线状态下，对准A点单击，松开左键，移动到点D单击，如图2-54所示。

图2-54

3、 交点 在选择状态下，单击两直线的交点处，得交点E，如图2-55所示。

图2-55

4、 构造轨迹 选定E点和D点，选择【构造】|【轨迹（U）】命令，得到轨迹，如图2-56所示。

图2-56

5、 隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点E、D、B后按快捷键Ctrl＋H隐藏所选对象，保留椭圆的轨迹，如图2-57所示。

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图2-57

试一试：把C点拖到圆外，看轨迹有什么变化？

第三章 用变换菜单作图

在前两章我们一起学习了用【工具箱】中的工具和【构造】中的作图命令构造一些基本图形， 在本章我们一起来学习如何用【变换】菜单作图.

观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的。

求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换。

数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。

几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是我们现在要学习的下图中的变换菜单。

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一、学习目标

1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;

2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；

3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象；

4、会基于“标记的镜面”（对称轴）作轴对称；

5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。

说明：【变换】菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。另外，对于【旋转】、【缩放】，要基于一个标记中心，对于【反射】，要先【标记镜面】。如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量。

不过，在4.0x版中，还有一些比较另类的用法，即使你事先没有标记中心，仍然可以选中对象，在弹出【旋转】或【缩放】对话框后，再在工作区中单击一点，此点可以被标记为中心，这种方法也可以用于改变事先标记好的中心；同样，标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现；标记距离就比较特殊，如果事先没有标记，在弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值来标记；标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条线段（单击的顺序会影响比值）等方法来立即标记一个比。

每个菜单项的详细使用方法见附录，在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方法

（一）旋转对象

例1 画一个正方形

运行结果：

画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。

基本思路：

本例将学习按固定的角度来旋转对象，

1、画一条线段，用来做正方形的一边；

2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；

3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；

4、连结出第四条边。

操作步骤：

1、画线段AB。

2、双击点A，点A被标记为中心。

3、依次单击点B和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图3-1所示的设置。

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图3-1

4、双击点B，标记新的中心。

5、依次单击点A和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图3-2的设置。

图3-2

6、连结上方两个顶点得第四边。

拓展应用：

1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。

2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。

3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。

例2 中心对称

运行结果：如图3-3所示

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图3-3

拖动点F，使∠DEF从0°到180°变化，如图3-4所示。

图3-4

最后结果，如图3-5所示。

图3-5

基本思路：

本例将在前面学习的基础上，学习【按标记的角】旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。

1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；

2、画一个角并标记这个角；

3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；

4、拖动标记的角为0°，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从0°到180°，可以看到旋转180°后重合的过程。

操作步骤：

1、准备工作，完成到如图3－6所示。

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图3-6

2、用选择工具双击点O，标记为中心。

3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转180°，如图3-7所示。

图3-7

4、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，选择【变换】|【标记角】命令，可以看到所标记的角闪烁。

5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的对话框中作如图3-8所示的设置。

图3-8

6、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图3-9所示。

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图3-9

7、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合。

说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。

标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。

练习：

1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？

（二）平移对象

平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。

几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。

在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图3-10所示。

图3-10

在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图3-11所示。

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图3-11

按标记的向量平移有一种方法，如图3-12所示。

图3-12

例3 画一个半径为2cm的圆

运行结果：

得到一个半径为2cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。

基本思路：

根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距2cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。

操作步骤：

1、画一个点A。

2、单击点A，选择【变换】|【平移】命令， 在弹出的对话框中作如图3-13的设置，平移后效果如图3-14所示。

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A图3-13

3、顺次单击点A和点A’，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令。

4、最后效果如图3-15所示，无论如何移动，圆的半径固定为2cm。

图3-15

例4 全等三角形

运行结果：如图3-16所示。

图3-16

拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：

本例学习根据标记的向量平移对象，

1、画好一个三角形。

2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。

3、在线段上画一点。

4、标记线段左端点到线段上一点的向量。

5、将三角形按标记的向量平移。

操作步骤：

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A'

3-14 图

1、画△ABC。

2、画线段DE，在DE上画一点F；

3、顺次单击点D和点F，选择【变换】|【标记向量】命令，标记从点D到F的向量。

4、选取△ABC的三边和三个顶点，选择【变换】|【平移】命令，在弹出的对话框中作如图3-17的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。

图3-17

5、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。

例 平行四边形的画法

前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。

本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。

操作步骤：

1、新建一个几何画板文件。

2、用【直尺工具】画出线段AB和AD，如图3-18所示。

图3-18

3、用【选择箭头工具】按顺序选取点A、B，选择【变换】|【标记向量】命令，标记一个从点A指向点B的向量。

4、确保只选中线段AD和点D，选择【变换】|【平移】命令，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图3-19所示。

图3-19

5、作出第四条边，改第四顶点标签为C，如图3-20所示。

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图3-20

（三）缩放对象

缩放是指对象关于【标记的中心】按【标记的比】进行位似变换。

其中标记比的方法有：

（1）选中两条线段，选择【变换】|【标记线段比例】命令（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出【缩放对话框】后依次单击两条线段来标记。

（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），选择【变换】|【标记比例系数】命令，可以标记一个比。在弹出【缩放对话框】后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。

（3）选中同一直线上的三点，选择【变换】|【标记比例】命令，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。

例5 相似三角形

运行结果：

通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响：

基本思路：

1、由在同一直线上的三个点标记一个比。

2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。

3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。

操作步骤：

1、画△ABC。

2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图3-21所示。

图3-21

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3、在直线上画三个点D、E、F，用【选择箭头工具】依次选取点D、E、F，选择【变换】|【标记比例】命令，标记一个比。

4、选取三角形的三边和三个顶点，选择【变换】|【缩放】命令，弹出缩放对话框后如图3-22所示进行设置。

单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，

图3-22

5、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。

（四）反射对象

反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。

例6 轴对称

运行结果：

从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。

基本思路：

1、画一条直线并标记它为镜面；

2、在直线的一旁画一个三角形；

3、选取这个三角形的全部，进行反射；

4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。

操作步骤：

1、用画直线工具画一条直线。

2、选中这条直线，选择【变换】|【标记镜面】命令，标记这条直线为对称轴。

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3、在直线的一旁画一个△ABC，结果如图3-23所示。

图3-23

4、选取△ABC的全部，选择【变换】|【反射】命令，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图3-24所示。

图3-24

例 用对称变换画一个等腰三角形。

本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。

操作步骤：

1、新建一个几何画板文件。

2、先用工具完成到如图3-25所示。

图3-25

3、双击线段AD，标记为镜面。

4、确保只选取了点B和线段AB，选择【变换】|【反射】，效果得如图3-26所示。

图3-26

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5、隐藏点D和线段AD，按Ctrl+H，隐藏这两个对象。

6、画出第三条边，并改第三个顶点的标签为C，如图3-27所示。

图3-27

任意拖动三个顶点之一，可以看到，无论形状如何改变，△ABC始终是等腰形。

五）迭代与深度迭代

问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是【迭代】。

例1、正十七边形的画法

操作步骤：

3601、画两个点，让B点围绕点A旋转17得B，连接BB如图3-28所示。

图3-28

2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭代”，出现【迭代】对话框，如图3-29所示。

图3-29

3、单击B，工作区中的变化如图3-30所示，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。（想一想，应让计算机重复画几条线段？）

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图3-30

4、重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代规则数变为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化，如图3-31所示。

图3-31

5、单击【迭代】按钮，正十七边形构造完毕，如图3-32所示。

图3-32

迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。

迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2

例2、正n边形的画法

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运行结果：

如图3-33所示，选定参数n，按小键盘上的“＋”或“－”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出的）。

图3-33

基本思路：

1、画两个点，标记其中一个点作为正n

边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；

2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；

3、选取圆心角后【标记角度】，让第一顶点绕中心按【标记的角度】旋转,得第二顶点；

4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的【深度迭代】；

5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以改变参数，得到动态的正n边形。

操作步骤：

一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）

1、按“Alt＋＝”键，调出计算器，输入“360°÷”（“°”由单位按钮输入），如图3-34所示。

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图3-34

2、单击计算器的【数值】按钮，选择【新建参数】命令，弹出【新建参数对话框】，如图3-35所示。

图3-35

3、将新建参数的对话框进行如图3-36所示的设置。

图3-36

4、单击新建参数的对话框的【确定按钮】后，单击计算器上的【确定按钮】，再调出计算器，计算n－1。画出点A和点B，如图3-37所示。

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图3-37

360605、让B点绕点A旋转“n”，得B，连接BB。如图3-38所示：

图3-38

二、深度迭代

1、同时选取点B、“n－1＝5”；

2、按住Shift键不放，选择【变换】|【深度迭代】命令，弹出如图3-39所示的迭代对话框；

图3-39

说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正n边形，必须用深度迭代。

3、单击工作区中的点B，使图3-39中“初象”下面框中的问号变成B，单对话框中的“迭代”按钮。

4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、－”键可以改变n的大小。

说明：参数可以减少到2以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学

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习到控制参数大于或等于3的技巧。

如图3-40所示，为当n=6时的图形。

图3-40

【本章小结】

通过本章学习，大家可以看到，利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些特点。前面章节的方法中，主要是根据图形本身的定义来作图，作图过程需要用的辅助对象较多，步骤较繁。运用变换菜单作图，大多是根据图形的几何性质来作，这样做的优势在于，作图速度快，可以精确作图。

第四章 动作按钮的制作

我们在制作课件时总是希望自己能够控制对象的运行，例如对象的显示和隐藏，图形的移动和动态效果的实现，页面的跳转和链接的控制等等。这些在几何画板中都可以通过按钮实现的。在几何画板4。x版本中的【操作类按钮】有【隐藏/显示】、【动画】、【移动】、【系列】、【链接】、【滚动】共六个能生成可操作按钮的命令，如图1所示。通过这些命令制作出具有相应功能的按钮，再通过这些按钮对相关对象进行操作。下面就让我们通过一些实例来学习这些按钮的制作。

（图1）

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本文标签： 工具对象线段鼠标选择