北京市中关村中学2022-2023学年高二下学期期中调研数学试题

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2023年12月25日发(作者：)

北京市中关村中学2022-2023学年高二下学期期中调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列{a}中a=4,a+a=10那么a+a=（

）n24146A．17B．9C．10D．242．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a3=A．2B．41a2a4=1a=，，则6（

）4C．8D．163．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同244的牌照号码共有（

）个A．A261024B．A26A102414C．(C26)10214D．(C26)A1024．下列给出四个求导运算：xx2(xe)¢=e(x+1)；③(sinx)¢=cosx；④1x-1①(x-)¢=；②24xx2(x2-x-lnx)¢=(x-1)(2x+1).x其中运算结果正确的个数是（

）A．1B．2C．3D．45．如果把二次函数f(x)=ax2+bx+c与其导函数f¢(x)的图象画在同一个坐标系中，则下面四组图中一定错误的是（

）A．B．试卷第11页，共33页

C．D．6．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在各项均为正数的等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则a1a13的最大值是11159313n（

）254A．25B．C．5D．258．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.其通项公式为A(m,n){an}ìn2-1,n为奇数ïï如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行an=í22ïn,n为偶数ïî2中从左向右第n个数，则A(11,8)的值为（

）A．1984B．2048C．5724D．58329．如图是函数y=f(x)的导函数y=f¢(x)的图象，试卷第21页，共33页

给出下列命题：①-2是函数y=f(x)的极值点；②1是函数y=f(x)的极值点；③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零；④y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增.则正确命题的序号是（

）A．①③B．②③C．①④D．①③④10．已知函数f(x)=-x，g(x)=ex，若nÎN*，且存在x,x,x,L,xÎ[0,2]，使得123n+1f(x1)+f(x2)+L+f(xn)+g(xn+1)=g(x1)+g(x2)+L+g(xn)+f(xn+1)成立，则n的最大值为（

）（注：e=2.71828…为自然对数的底数）A．8B．9C．10D．11二、填空题11．用数字1，2，3，4组成的无重复数字的三位数的个数为______.（用数字作答）12．若函数y=ax-sinx是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是______.三、双空题π2235513．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”.它们可与“密率”7113用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强试卷第31页，共33页

343+47a率.由<π<，取3为弱率，4为强率，得a1==，故1为强率，与上一次的1+1211弱率3计算得a2=3+710a=，故2为强率，继续计算，…….若某次得到的近似值为强1+23率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知am=__.m=19______；a7=____，则6n14．数列{an}的前项和为S最大项的值为________.n=n2+n，nÎN*，则an=__________anü中，数列ìí2ýîn+9þx,x³a,15．已知f(x)=ìí3îx-3x,x-3的x的取值范围是____________.四、解答题16．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a=-3，S=S．125(1)求{a}的通项公式；n(2)设b=2an+4，求数列{b}的前n项和．nn17．已知函数f(x)=x3+ax2+bx，其中a,bÎR，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.条件①：函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-5；条件②：函数f(x)的单调递减区间为(-3,1)；试卷第41页，共33页

条件③：函数f(x)0的三个零点分别是、-3+35、-3-35.

22(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)在区间[-4,c]上的最小值为-5，求c的取值范围.18．如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，PB=PD=22，点E在PD上，且PE=1PD.3

(1)求证：PA^平面(2)求二面角ABCD；E-AC-D的余弦值；.BC上存在点F，使PF∥平面EAC，并求线段BF的长(3)证明：在线段22xy19．已知椭圆E：+=1(a>b>0)的短轴长为2，两个焦点与短轴的一个端点是22ab直角三角形的三个顶点，直线l:x+2y-2=0与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线¢平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线ll交于点P.证明：存在常数λ，使得PT2=lPA×PB，并求λ的值.试卷第51页，共33页

20．已知函数f(x)=ln(ax)-(a+1)x，其中aÎR且a¹0.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围.21．若无穷数列{a}满足：只要a=a(p,qÎN*)，必有ap+1=aq+1，则称{a}具有性nnpq质P.（1）若{an}具有性质P，且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{c}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，nb5=c1=81，an=bn+cn判断{an}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{bn}是无穷数列，已知a=bn+sinan(nÎN*).求证：“对任意a1,{an}都具有n+1性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.试卷第61页，共33页

参考答案：1．B【解析】由a4+a6=10得到等差数列的公差d，把首项和公差代入a2+a4=2a1+4d即可得到答案.【详解】设等差数列{an}的公差为d，Qa1=4,a4+a6=2a1+8d=10，d=14a2+a4=2a1+4d=9，故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，要熟练掌握.2．C【分析】设等比数列{a}的公比为q(q>0)，根据已知条件求得a1、q的值，由此可求得na6的值.【详解】设等比数列{a}的公比为q(q>0)，n11ììa1a3=a12q2=a1=ïï由已知条件可得í4，解得í4，24ïïîa2a4=a1q=1îq=21因此，a6=a1q5=´25=23=8.4故选：C.3．D【分析】先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．答案第11页，共22页

1【详解】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为C26()2，后接4个数字组1成的方法数为A10，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有C264()24A10个.故选：D．4．B【分析】对于①②③④直接利用函数的导数的运法则求出结果，即可做出判定.211x+1，故错误.【详解】解：①(x-)¢=1+=xx2x2②(xex)¢=ex+xex=ex(x+1)，故正确.③(sinxcosx，故错误.)¢=222④(x2-x-lnx)¢=2x-1-1=2x-x-1=(x-1)(2x+1)，故正确.xxx故选：B.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题型.5．B【分析】由f¢(x)的正负性与f(x)的单调性的关系可分析之.【详解】当f¢(x)>0时，f(x)单调递增；当f¢(x)<0时，f(x)单调递减.B中f¢(x)的零点与f(x)对称轴位置不一致，不符合要求.故选：B【点睛】本题考查了导函数分析单调性，考查了分析能力，属于基础题.6．C【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．答案第21页，共22页

解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．7．B【分析】由等比数列的性质，求得a6+a8=5，再结合基本不等式，即可求得a1a13的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得aa+2aa+aa=a2+2aa+a2=(a+a)2=25，868an>0又因为，所以a6+a8=5，所以aa=aa£æa6+a8ö=25，11368ç2÷4èø2当且仅当a6=a8=故选：B.5时取等号．2【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D【分析】首先根据题意得到A(11,8)表示数列的第108项，再计算其数值即可.【详解】由题意：前10行共有1+3+5+L+19=100，A(11,8)表示数列的第108项.所以a108故选：D9．C1082==5832.2答案第31页，共22页

【分析】根据导数的图象，结合导数的几何意义，以及函数的性质，即可判断选项.【详解】由图像可知，函数在x=-2两侧，导数变号，所以-2是函数y=f(x)的极值点；成立且为极小值点，故①正确；由图可知，1两侧，导数不变号，所以1不是极值点，故②错误；由图可知，f¢(0)>0，由导数的几何意义可知，y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，故③错误；由图可知，在y=f(x)在区间(-2,2)上f¢(x)³0，函数f(x)单调递增.故④正确.故选：C10．B【分析】构造函数h(x)=f(x)-g(x)，求得h(x)的值域，由此化简已知条件，通过列不等式来求得n的取值范围，进而求得n的最大值.【详解】令h(x)=f(x)-g(x)=-x-ex(xÎ[0,2])，则h(x)在xÎ[0,2]递减，所以h(x)的值域为é-2-e2,-1ù，ëû原问等价于存在x，x，…，xÎ[0,2]，n+112使得h(xn+1)=h(x1)+h(x2)+L+h(xn)，22ùë-2-e,-1ùû，h(x1)+h(x2)+L+h(xn)Îé由于h(xn+1)Îéë(-2-e)n,-nû，所以-2-e2£-n，即n£2+e2，所以n的最大值为9.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造函数，利用函数的单调性求得所构造函数的答案第41页，共22页

值域，从而问题求解，解题过程中，存在性问题的求解转化为最值问题来进行求解.11．24【分析】先从数字1，2，3，4选3个数字，再进行全排列可得答案．【详解】用数字1，2，3，组成无重复数字的三位数相当于从1，2，3，选3个数进44行全排列，所以共有C3A3=24个．

43故答案为：24.12．[1,+¥)【分析】由函数y=ax-sinx是R上的单调增函数，得y¢=a-cosx³0即a³cosx对任意xÎR恒成立，则可求实数a的取值范围.【详解】y¢=a-cosx，因为函数y=ax-sinx是R上的单调增函数，所以y¢=a-cosx³0即a³cosx对任意xÎR恒成立，xÎR时，cosxÎ[-1,1]，所以a³1.故答案为：[1,+¥)13．

5

258【分析】根据题意不断计算即可得出答案.a2【详解】因为3103+1013a为强率，由<π<可得，a3==>3.1415927，即3为强率；131+343133+1316a由<π<可得，a4==>3.1415927，即4为强率；141+45答案第51页，共22页

m=53163+1619a由<π<可得，a5=；=>3.1415927，即5为强率，即151+563+1922319a由<π<可得，a6==>3.1415927，即6为强率；161+673223+2225由<π<可得，a7===3.125<3.14159261+7817525故答案为：；．814．

2n

13S1,n=1【分析】利用a=ì可求得ínîSn-Sn-1,n³2an=2n，然后利用基本不等式可求出数列ìanü中最大项的值.í2ýîn+9þ【详解】当n=1时，a1=S1=12+1=2；当n³222n-1)+(n-1)ù=2n.(时，an=Sn-Sn-1=n+n-éëû()a1=2适合an=2n，则对任意的nÎN*，an==32n221==£=时，等号成立，n2+9n2+9n+993，当且仅当2n×nnanü中最大项的值为1.因此，数列ìí2ý3în+9þ答案第61页，共22页

故答案为：2n1；.3【点睛】本题考查利用Sn求an，同时也考查了利用基本不等式求数列最大项，考查计算能力，属于中等题.15．

(-3,3]

(-1,+¥)【分析】(1)讨论a>0，a<0，a=0三种情况，结合零点的定义，解方程即可得到所求；（2）若a£-2，讨论x-3方能使方程有两个零点；若a>0，解得x=0，x=-3符合题意．可得a£3综上可得，a的范围是(-3,3]；（2）若x0，得f(x)为增，f(x)

若x-1³a，f(x)+f(x-1)>-3即为x+(x-1)>-3，解得x>-1．若a-1£x-1-3即有x+(x-1)3+3(x+1)>-3，整理得；x3-3x2+x+5>0令g(x)=x3-3x2+x+5，

由于a£-2且a£x0即g(x)在[a,a+1)为增，最小值为g(a)=a3-3a2+a+5而在a£-2时，a3-3a2+a+5递增，且值为负，不符合题意．综上可得a的取值范围是(-1,+¥)．【点睛】本题考查分段函数的运用：求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：判断单调性，考查化简整理运算能力，属于中档题．16．(1)a=n-4n(2)2n+1-2【分析】（1）由S2=S5得出a4=0，再结合a1=-3，即可求出公差d，根据等差数列通项公式即可求出an；（2）由（1）得出an+4=n，代入bn=2an+4，得出{bn}是等比数列，根据等比数列前n项和公式代入计算即可．答案第81页，共22页

【详解】（1）因为S2=S5，所以a3+a4+a5=0，所以3a4=0即a4=0，依题意设数列{an}是公差为d的等差数列，a1=-3，所以-3+3d=0，解得d=1，所以an=-3+(n-1)=n-4．（2）由an=n-4可得an+4=(n+4)-4=n，

所以b=2an+4=2n，nbn+12n+1=n=2，从而bn2可知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，n所以其前n项和为2(1-2)=2(2n-1)=2n+1-2．1-217．(1)f(x)=x3+3x2-9x(2)极大值为(3)[1,+¥)27，极小值为-5【分析】（1）根据所选条件得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数，即可得到x、f(x)与f¢(x)的关系表，从而求出函数的极值；（3）结合（2）中函数的单调性与极小值分c³1、-4

【详解】（1）选择条件①：因为f¢(x)=3x2+2ax+b，f¢(1)=0ì3+2a+b=0，解得ìa=3，依题意有ì，所以íííîf(1)=-5î1+a+b=-5îb=-9所以f(x)=x3+3x2-9x；选择条件②：因为f¢(x)=3x2+2ax+b，依题意，-3和1为方程3x2+2ax+b=0两根，ìa=3ì2a-=-3+1íïï3b=-9，所以í，解得îïb=-3´1ïî3所以f(x)=x3+3x2-9x；经检验满足题意；选择条件③：设f(x)=x(x2+ax+b)，x2+ax+b=0依题意，-3+35和-3-35为方程两根，

22ìa=3ì-3+35-3-35+íï-a=b=-9，ï22所以í，解得îïb=-3+35´-3-35ïî22所以f(x)=x3+3x2-9x.（2）f(x)=x3+3x2-9x的定义域是R，且f¢(x)=3x2+6x-9，令f¢(x)=0，解得x1=-3，x2=1，所以x、f(x)与f¢(x)在R上的情况如下：答案第101页，共22页

x(-¥,-3)-3(-3,1)-1(1,+¥)+f¢(+x)00f(单调递增x)极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)极大值=f(-3)=27，f(x)极小值=f(1)=-5.（3）由f(-4)=20及（2）中结论可知：当c³1时，函数f(x)在区间[-4,c]上的最小值为f(1)=-5，符合题意，

当-4

因此，c的取值范围是[1,+¥).18．(1)证明见解析(2)13(3)证明见解析，BF=1【分析】（1）根据已知，利用勾股定理、直线与平面垂直的判定定理进行证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式进行计算求解.（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算计算求解.【详解】（1）证明：QPA=AB=2，PB=22，PA2+AB2=PB2

PA^AB，同理PA^AD又ABÇAD=A，AB,ADÌ平面ABCD答案第111页，共22页

PA^平面ABCD.（2）

如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，24则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,,)33uuurr平面ACD的法向量为AP=(0,0,2)，设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)

Quuurruuuruuur24ìì2x+2y=0ìx=2ïn×AC=0AC=(2,2,0),AE=(0,,)ïr有：

í2，取ï33，由íruuuy=-2

4ín×AE=0ïîy+z=0ïïz=13î3îrn=(2,-2,1)，设二面角E-AC-Druuur1的平面角为，由图形可知，cosq=|rn×APuuur|=，|n|×|AP|3q二面角E-AC-D1的余弦值为.3（3）

答案第121页，共22页

假设存在点FÎBC，使PF∥平面EAC，令F(2,a,0)，(0£a£2)，rruuu，由∥平面，EACPFPF=(2,a,-2)n=(2,-2,1)，rruuuPF×n=0，即4-2a-2=0，解得a=1存在点F(2,1,0)，F为BC的中点，即BF=1.2x19．(1)+y2=1，T(1,2)22(2)证明见解析，l=1【分析】（1）利用待定系数法，根据已知建立方程求解.（2）利用直线方程、椭圆方程联立方程组以及韦达定理、两点间的距离公式计算求解.ìa=2x2ì2b=2+y2=1ïï2.【详解】（1）依题意有íb=c，解得íb=1，所以椭圆方程为ïa2=b2+c2ïc=1îî2ìx=1ìx+2y-2=0(1,)ïT2.联立ï，解得，所以点的坐标为ííx222+y=1ïy=ï2îî2（2）

l¢//OTl¢22-0y=x+m，直线OT的斜率2，因为直线，所以设直线的方程为22k==1-02答案第131页，共22页

P(x0,y0)设点ìì21222P(1-m,m+)x=1-my=x+mïï0ï22222，联立í，解得í，所以，ïx+2y-2=0ïy=1m+2î0ï22î又因为T(1,2)，所以|PT|2=(1-2m-1)2+(1m+2-2)2=3m2，222224A(x1,y1),B(x2,y2)设x2+2mx+m2-1=0ì2y=x+mïï2，联立í得，2ïx+y2=1ïî2依题意D=2m2-4(m2-1)>0，解得-20，-1£a<0和a<-1三种情况，讨答案第141页，共22页

论函数的单调性；（3）根据（2）的结果，由单调性确定函数的最值，根据函数无零点，确定a的取值范围.a=1【详解】（1）当时，f(x)=lnx-2x，所以f¢(x)=1-2，x因此切线的斜率k=f¢(1)=-2=-1，11又因为f(1)=ln1-2=-2，所以切点为(1,-2)，所以切线方程为y-(-2)=-1´(x-1),即x+y+1=0.f(x)（2）因为的定义域为(0,+¥)，f¢(x)=111-(a+1)x，×(ax)¢-(a+1)=-(a+1)=axxx①当a>0时，令f¢(x)=0，解得x=1，a+1因为a>0，所以1>0a+1当x变化时，f¢(x)、f(x)变化情况如下表：x11æö0,ç÷11+èa+aø0æ1ö,+¥÷çèa+1ø-f¢(x+)f(x)↗极大值时，↘1öæ1ö的单调增区间为æ,+¥÷ç0,÷，单调减区间为çèa+1øèa+1ø所以a>0f(x)②当-1£a<0时，f(x)的定义域为(-¥,0)，因为a+1³011，所以f¢(x)=-(a+1)<0，<0，xx答案第151页，共22页

所以f(x)在定义域(-¥,0)上单调递减，所以-1£a<0时，f(x)没有单调增区间，单调减区间为(-¥,0)，③当a<-1时，f(x)的定义域为(-¥,0)，令f¢(x)=0，解得x=1，a+1因为a<-1，所以1<0，a+1当x变化时，f¢(x)、f(x)变化情况如下表：x11öæ-¥,ç÷aa++11èø0æ1ö,0÷çèa+1ø-f¢(x+)f(x)↗极大值时，↘f(x)所以a<-11öæ1ö的单调增区间为æ,0÷，ç-¥,÷，单调减区间为ça+1øèèa+1øf(x)综上所述，a<-1时，1öæ1ö，的单调增区间为æ，单调减区间为-¥,,0ç÷ç÷a+1øèèa+1ø-1£a<0时，f(x)没有单调增区间，单调减区间为（-¥）,0，a>0f(x)时，1öæ1ö的单调增区间为æ，单调减区间为0,,+¥÷；ç÷çèa+1øèa+1ø（3）由第（2）问的结论知，①当a>0时，f(x)1öæ1ö在区间æ,+¥÷上单调递减，ç0,÷上单调递增，在区间çèa+1øèa+1ø1öa所以[f(x)]max=fæ=ln-1，ç÷a+1èa+1ø答案第161页，共22页

因为a>0，所以00时，函数f(x)没有零点，符合题意；②当-1£a<0时，f(x)在定义域（-¥）,0上单调递减，f(-1)=ln(-a)+(a+1)a+1a+1æ1ö，fç÷=ln1-=->0，aaèaø下面证明f(-1)£0：构造函数g(x)=ln(-x)+(x+1),xÎ[-1,0)，因为g¢(x)=11(-x)¢+1=+1，-xx当-1£x<0时11£-1，g¢(x)=+1£0，xx所以g(x)在[-1,0)上单调递减，所以g(a)£g(-1)=ln1+(-1)+1=0，即ln(-a)+(a+1)£0，因为f(x)f(-1)£0（-¥）,01ö在定义域上单调递减，fæ，，>0ç÷èaø因此当-1£a<0时，函数f(x)恰好有1个零点，不符合题意；a<-1f(x)③当时，1öæ1ö上单调递减，在区间æ上单调递增，在区间-¥,,0ç÷ç÷a+1øèèa+1øa+11æ1æ1ööfç÷=-<0且Îç,0÷，aaèa+1øèaøae；-1<0，解得a<-a+1e-11öa所以[f(x)]max=fæ=ln-1，注意到ç÷a+1èa+1øf(x)所以要使函数没有零点，必须有[f(x)]max=ln答案第171页，共22页

又因为a<-1，所以a<-e；e-1即：当a<-f(x)e1ö1ö时，在区间æ上单调递增，在区间æ-¥,,0÷上单调递减，ç÷çe-1a+1øèèa+1ø[f(x)]max=æ1öfç÷<0，èa+1ø故函数f(x)没有零点，符合题意；eö综上所述，实数a的取值范围为æ(0,+¥).ç-¥,-÷Ue-1øè【点睛】关键点睛：本题考查导数与函数性质，零点问题的综合应用，本题第二问，不仅要考虑讨论a，同时还需注意定义域的变化，第三问的关键在第二问讨论的基础上，也需分情况讨论函数的最值，由函数无零点，证明不等关系.21．（1）a=16．（2）{a}不具有性质R．（3）见解析．3n【详解】试题分析：（1）根据已知条件，得到a6+a7+a8=a3+3+2，结合a6+a7+a8=21求解即可．（2）根据{bn}的公差为201，{cn}的公比为，写出通项公式，从而可得3an=bn+cn=20n-19+35-n．通过计算a1=a5=82，a2=48，a6=304，a2¹a6，即知{an}不具有性质R．3（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．

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试题解析：（1）因为a5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2．于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因为a6+a7+a8=21，解得a3=16．120（2）{bn}的公差为，{cn}的公比为，3n-1所以bn=1+20(n-1)=20n-19，c=81×æ1ö=35-n．nç÷è3øan=bn+cn=20n-19+35-n．a1=a5=82，但a2=48，a6=304，a2¹a6，3所以{an}不具有性质R．[证]（3）充分性：当{b}为常数列时，an+1=b1+sinan．n对任意给定的a1，只要ap=aq，则由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{b}不是常数列，则存在kÎN*，n使得b1=b2=×××=bk=b，而bk+1¹b．下面证明存在满足an+1=bn+sinan的{an}，使得a1=a2=×××=ak+1，但ak+2¹ak+1．设f(x)=x-sinx-b，取mÎN*，使得mπ>b，则f(mππ0)=m-b>，f(-mππ0)=-m-b<，故存在c使得f(c)=0．取a1=c，因为an+1=b+sinan（1£n£k），所以a2=b+sinc=c=a1，答案第191页，共22页

依此类推，得a1=a2=×××=ak+1=c．但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc¹b+sinc，即ak+2¹ak+1．所以{an}不具有性质R，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a1，{an}都具有性质R”的充要条件为“{b}是常数列”．n【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.答案第201页，共22页

本文标签： 单调考查函数求解能力