代数(sequence)

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2024年1月21日发(作者：)

代数(序列)

 Generate and describe sequences

7年级

Use, read and write, spelling correctly: sequence, term, nth term, consecutive, rule, relationship,

generate, predict, continue… increase, decrease… finite, infinite…

1. 知道:

(1) 一个 “数列”是一组按照一定的次序排列的数;

(2) 数列中的每一个数称为 “项”;

(3) 挨在一起的两项称为是 “连续的”, 各项之间用逗号隔开.

2. 知道数列可以有有限项, 也可以有无限项. 并能够举出简单的例子. 如

(1) 自然数序列: 1,2,3,4,5,…是无限的;

(2) 两位偶数组成的数列: 10,12,14,16, … , 98是有限的.

3. 给出数列的简单例子.

(1) 根据一个容易描述的规则. 如平方数, 3的倍数等;

(2) 根据一个较为复杂的规则. 如每天日出的时间;

(3) 根据一个不规则的模式. 如每天的最高温度;

(4) 由一些随机的数组成. 如彩票中奖的号码.

4. 探究数列的规律.

(1) 8, 16, 24, 32, 40, …

(2) 5, 13, 21, 29, 37, …

(3) 89, 80, 71, 62, 53, …

8年级

Use vocabulary from previous year and extend to: difference pattern, general term, T(n)… flow chart…

linear sequence, arithmetic sequence…

1. 利用流程图产生一个数列.

开始

写下2

加3

写下结果

否

结果大于30

是

停止

2. 通过乘以或者除以一个常数产生一个数列.

3. 知道: 除非有明确的规则, 否则仅由数列的前几项可得到多种数列. 如

由1, 2, 4, …, 可得1, 2, 4, 8, 16, …; 也可得1, 2, 4, 7, 11, …

9年级

(空白)

7年级

Generate and describe sequences (continued)

Generate and describe simple integer sequences and relate them to geometrical patterns. For example:

1. 奇数列和偶数列.

1 3 5 7 9 …

2 4 6 8 10 …

知道: 之所以称为奇数的原因是总有一个不成对;

之所以称为偶数的原因是永远可以配成对

2. 3的倍数

3 6 9 12 …

知道3的倍数可以排列成宽为3的长方形.

3. 平方数

1 4 9 16 …

4. 三角形数

1 3 6 15

8年级

Generate and describe integer sequences, relating them to geometrical patterns. For example:

1. 2的指数幂.

2 4 8 16

2. 增长长方形.

1×2 2×3 3×4 4×5 5×6

3. 知道什么是 “算术数列”: 从一个数a开始, 以后的每一项都加上一个常数d. 如

4, 2, 0, -2, -4, …

 Generate terms of a sequence using term-to- term and position-to-term definitions of the sequence,

on paper and using ICT

7年级

Generate terms of a sequence given a rule for finding each term from the previous term, on paper and

using ICT. For example:

1. 写出下列数列的前几项, 并用语言描述.

第1项 规则

10 加3

100 减5

2 加倍

5 乘5

2. 现在有一条组成数列的规则: 每一个数都在前一项上加3. 符合这条规则的数列有许多,

你能找到其中满足下面的条件的数列吗?

(1) 所有的数都是3的倍数;

(2) 所有的数都是奇数;

(3) 所有的数都是9的倍数;

(4) 没有一个数是整数.

用图像计算器进行探究.

3. 已知数列的通项, 写出数列的前5项.

(1) 数列的第n项是n + 3.

(2) 数列的第n项是105 - 5n .

4. 知道有两种方法产生一个倍数数列:

(1) 加上同一个数, 如6, 6+6, 6+6+6, 6+6+6+6, …

(2) 乘以自然数, 如 6×1, 6×2, 6×3, 6×4, …

5. 将数列的项和项数对应起来, 如

项数: 1 2 3 4 5 … n

项: 3 6 9 12 15 … 3n

8年级

Generate terms of a sequence given a rule for finding each term from the previous term, on paper and

using ICT. For example:

1. 产生和描述下面的数列.

第1项 规则

8 减4

1 从3开始, 加上连续的奇数

28 减半

1 000 000 除以10

1, 2, 每一项都等于前两项之和

2. 用 “加上一个常数”的规则, 选择第1项, 和适当的常数, 使得组成的数列满足:

(1) 都是偶数;

(2) 都是奇数;

(3) 是3的倍数;

(4) 个位数都相等.

利用图像计算器进行探究.

3. 写出用通项公式表示的数列的前几项.

(1) T(n) = 5n + 4;

(2) T(n) = n + 1/2;

(3) T(n) = n×0.1.

4. 利用图像计算器或者电子数据表发现数列中的某一项.

(1) 在数列: 13, 26, 39, …找到是13的24倍的一项.

(2) …

5. 将项和项数对应起来, 如

项数 1 2 3 4 5 … n

项 3 6 9 12 15 … T(n)

差 3 3 3 3 3 … 3

6. 数列的公差对奇偶性的影响, 如

(1) 2n – 1 产生的是奇数列, 因为它的每一项都是一个偶数减1;

(2) 2n – 6 产生的是偶数列, 因为它的每一项都是一个偶数减去一个偶数.

7. 在数列T(n) = 3n + b中, 如果b是3的倍数, 那么这个数列的所有项都是3的倍数.

8. 在数列T(n) = 10n + b中, 如果b是一个在0-9之间的数, 那么b就是这个数列每一项的个位数.

9. 说明这样产生一个递减的数列.

9年级

Generate terms of a sequence given a rule for finding each term from the previous term, on paper and

using ICT. For example:

1. 复习线性数列an + b的一般性质.

2. 数列也可以通过下面的规则产生: 第1项目T(1) = a + b, 规则: 在前一项上加a. 于是T(2)

= a + T(1) , …

3. 如果加上的常数是正数, 那么称数列为 “递增的”; 如果加上的常数是负数, 那么称数列为 “递减的”.

4. 用 “加上一个常数”的规则, 选择第1项, 和适当的常数, 使得组成的数列满足:

(1) 每隔一项是整数;

(2) 每隔四项是整数;

(3) 恰好由10个两位数组成;

(4) 每隔四项是5的倍数.

用图像计算器进行探究.

5. *数列的第n项是T(n) = 2n + (n – 1 )(n – 2 )(n – 3 )(n – 4 ). 求这个数列的前5项.

6. *一个数列的产生规则 “除2加3” 可表示为 x→x/2 + 3.

(1) 将数列的极限6和方程x = x/2 + 3的解联系起来;

(2) 利用图像计算器画出y = x 和 y = x/2 + 3的图像.

7. 写出下面数列的前10项.

T(n) = n2 T(n) = 2n2 + 1 T(n) = n2 – 2

8. 一个数列的第n项是n/ (n2 + 1), 第1项是1/2, 求这个数列的前三项. 并用电子数据表产生更多的项.

9. *编一个计算机程序, 去产生下面的数列:

第1项 第一次差 第二次差

(1) 1 1 1

(2) 58 -1 -3

(3) 7 18 -2

(4) 100 -17 5

10. *考察下面的数列, 如发现其中的某一项, 比较不同项之间的差异等.

(1) 3n2 +2 (2) 4 – 3n2 (3) n2 +n (4)n(n +1)/2 (5)4n – 6 (6) n2 +4n – 6

11. *证明: 一个首项是T(1) = a + b + c, 通项是T(n) = an2

+ bn + c的数列的第二阶差是常数2a.

12. *求数列的通项:

6, 15, 28, 45, 66, … (其中, T(1) = 6, T(n) = T(n – 1 ) + 9 + 4(n – 2 ))

13. *探究下面的分数数列.

(1) ½, ¼, 1/8, 1/16, …, 2-n，…

(2) ½, 2/3, ¾, 5/3, …, n/(n+1), …

(3) 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, … (Fibonacci数列)

14. 在一张半径为1米的圆桌的中心有一只跳蚤, 它正沿一条半径的方向向桌子的边缘跳去.

第一次它跳到了离桌边一半距离的地方, 第二次跳到剩下距离的一半的地方, 以后也都如此. 考察它跳过的距离, 需要多少次它才能跳到桌边?

 Find the nth term, justifying its form by referring to the context in which it was generated

7年级

1. 从一个简单的实际背景中产生一个数列, 写出它的前几项和通项. 如

(1) 火柴棒正方形.

(2) 十子架序列

(3) 用1p, 2p和3p的邮票可以组成的不同的面值数.

总数 1p 2p 3p 4p 5p 6p …

方式 1 2 3 4 5 7 …

8年级

Generate sequences from practical contexts.

• Find the first few terms of the sequence; describe how it continues using a term-to-term rule.

• Describe the general ( nth) term, and justify the generalisation by referring to the context.

• When appropriate, compare different ways of arriving at the generalisation.

1. 增长三角形.

2. “金字塔” 正方形.

3. 考察围绕一个矩形所需要的小正方形数.

2×3的矩形需要 1×5的矩形需要

14个小正方形 16个小正方形

将上述结果一般化: 长宽各为l, w的矩形需要的小正方形数是2l + 2w + 4.

4. 开始用线性表达式来描述算术数列的通项. 如

(1) 7, 12, 17, 22, 27, … 2 + 5n

(2) 100, 115, 130, 145, … 15n + 85

(3) 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, … (4n + 1)/2

9年级

Generate sequences from practical contexts.

• Find the first few terms of the sequence; describe how it continues using a term-to-term rule.

• Use algebraic expressions to describe the nth term, justifying them by referring to the context.

• When appropriate, compare different ways of arriving at the generalisation.

1. 给定直线最多的交点数.

直线数 1 2 3 4

交点数 0 1 3 6

进而讨论这个数列的发展趋势, 如新加入的直线必须和已有直线全部相交, 并且交点必须和原有交点不同.

2. 点之间的连线数.

点数 1 2 3 4 …

连线数 0 1 3 6 …

3. 多边形的对角线数.

边数 1 2 3 4 5 6 7 …

对角线数 - - 0 2 5 9 14 …

说明: 从第三项开始, 每一项分别加上2, 3, 4, 5, …, 并由此推导通项的一般公式.

4. 利用线性表达式描述算术数列.

(1) 求数列的通项: 21, 27, 33, 39, 45, 51, …

(2) …

5. 探究三角形数列和平方数列的空间模式.

1 = 1×(1+1)/2 3 = 2×(2+1)/2 6 = 3×(3+1)/2 10 = 4×(4+1)/2

2由此推出一般的结论: T(n) + T(n) = n×(n + 1), T(n - 1) + T(n) = n,1+3+5+7+…+(2n-1)

2= n, 等.

6. 考察下面图像中的小正方形数.

1 5 13 25

将这个问题一般化.

 Express functions and represent mappings

7年级

Use, read and write, spelling correctly: input, output, rule, function, function machine, mapping…

Express simple functions at first in words then using symbols(表示一个简单的函数, 开始用文字,

然后用符号)

1. 探究简单的 “函数机”:

(1) 输入不同的(x), 输出相应的(y);

(2) 对于不同的输出值, 发现相应的输入值.

如:

x 乘2 加8 y

当输入5时, 输出值是多少?

当输出值是40时, 输入的是什么数?

并写出函数的表达式, 以及列表表示.

2. 如果把上面的 “函数机”的程序倒过来会发生什么情况?

3. 发现隐含的法则. 如

已知一组对应值, 求函数(线性)的表达式.

4. 通过输入和输出值, 求函数的表达式. 如

(1) 利用单一函数机发现法则:

2,1,7,4→ ? →8,4,28,16 (乘以4)

(2) 利用双重函数机发现法则:

0,6,2,5 → ? → ? → 3,6,4,5.5 (除2加3)

5. 通过逆运算求输入值.

(1) 给定输出值和法则, 求输入值. 如

? → 减6 → 乘3 → 9,3,15,6

(2) 制造其他的函数机. 如

1,2,3,4,5→ 加3 → 乘2 → ? → ? →1,2,3,4,5

6. 开始认识简单函数的性质.

(1) 一个函数有时可用多种形式表示. 如

红色的数→(红色的数 - 1)×2

或者 红色的数→红色的数×2 - 2

(2) 一个函数有时可用简单的形式的表示, 如

红色的数→红色的数×2×5

可表示为 红色的数→红色的数×10

(3) 一个函数有时可以反过来, 如

如果 (红色的数 – 1) ×2→绿色的数

那么 绿色的数÷2 + 1 →红色的数

8年级

Use vocabulary from previous year and extend to: linear function…

1. 利用函数机或者电子数据表产生一系列的对应值(线性函数).

(略)

2. 画一个简单函数的对应图. 如 x → 2x + 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

并进一步扩展上面的对应图:

(1) 从-10到0的情况;

(2) 分数值的情况.

3. 知道各种映射图的性质. 如

(1) 函数x → x + c的映射图由一组平行线组成;

(2) 函数x → 2x 的映射图是一组共点的直线. 见下图:

4. 给定输入值和输出值, 求函数表达式. 如

(1) 发现法则.

2,3,5,1,4→ ? → ? → 5,7,11,3,9

重组数据:

输入: 1 2 3 4 5

输出: 3 5 7 9 11

差: 2 2 2 2

猜测: x → 2x + c

由一对特殊值, 确定c = 1.

验证其他对应值.

5. 知道函数表达式中的某些运算可进行组合. 如

(1) 两个加法, 两个减法或者一个加法和一个减法可以简化为一个加法或者一个减法.

(2) 两个乘法, 两个除法或者一个乘法和一个除法可以简化为一个乘法或者一个除法.

(3) 一个函数可用多种形式表示.

(4) 改变运算的次序通过也会改变函数.

(5) 两次运算的逆是先化成逆运算, 再把次序逆过来.

9年级

Use vocabulary from previous years and extend to: identity function, inverse function, quadratic

function… inverse mapping… self-inverse…

1. 知道x → x 称为 “恒等函数”. 它的映射图是一组和自身对应的平行线. 如图

…

2. 知道反函数的映射图是原函数映射图的方向的反转. 如函数x → 3x的反函数是x →x/3.

x → 3x

x → x/3

3. 求下列线性函数的反函数.

(1) x → 3x + 1;

(2) x → 5x – 4 ;

(3) x → 2(x – 7 );

(4) x → ½ x + 20.

4. 知道函数x → c – x 是 “自反”的, 如x → 10 – x的反函数仍是x → 10 – x, 其映射图是:

5. *在同一个坐标系中(或者利用ICT)描出函数及其反函数的图像. 如

y y = 2x

y = x/2

x

知道它们关于y = x对称.

6. 利用图像计算器探究函数的简单性质. 如求二次函数的对称轴和最大(小)值.

本文标签： 函数产生利用常数