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2024年5月3日发(作者：)
伽马函数公式总结
伽马函数是数学中的一种特殊函数，由欧拉在18世纪末引入。
它在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。伽马函数的
定义如下：
[ Gamma(x) = int_0^infty e^{-t} t^{x-1} dt ]
伽马函数的定义域为实数集的正半轴，即x > 0。它在实数集上是连
续的，且在(0, +∞)上是无穷次可微的。
伽马函数具有许多重要的性质。下面是一些常见的性质总结：
1. 伽马函数满足函数方程：[ Gamma(x+1) = x Gamma(x) ] 这个性
质可以通过分部积分证明。
2. 伽马函数的特殊值：[ Gamma(1) = 1 ] 和 [ Gamma(1/2) =
sqrt{pi} ] 这些值可以通过直接计算或利用函数方程得出。
3. 伽马函数的对数：[ ln(Gamma(x)) = ln(x-1)! ] 这个性质可以
通过对伽马函数取对数后利用斯特林公式得出。
4. 伽马函数的乘积表达式：[ Gamma(x) = frac{e^{-gamma x}}{x}
prod_{n=1}^infty frac{e^{x/n}}{1+x/n} ] 其中，[ gamma ] 表示
欧拉常数。
5. 伽马函数的递推关系：[ Gamma(x+1) = x Gamma(x) ] 这个性质
可以通过积分换元法证明。
伽马函数在各个领域都有广泛的应用。在数学分析中，它在积分计算、
级数展开、特殊函数定义等方面发挥重要作用。在概率论和统计学中，
伽马函数常用于描述连续随机变量的概率密度函数和累积分布函数。
总之，伽马函数是数学中一种重要的特殊函数，具有许多重要的性质
和应用。熟悉伽马函数的基本性质对于深入理解数学分析和应用领域
中的问题非常有帮助。
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