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2024年5月11日发(作者：)
2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）
专练六、设辅助元（不定方程）
1．某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小
时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生
产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线
（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加
生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产
线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加
生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 134 件．
【解答】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产
线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条，
由题意可得：
4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10，
整理得：
3ma+8m＝18+4（x+y+z），
由题意得：x+y+z＝12，
代入上式整理可得：
m＝，
又因为m是正整数，
所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33，
结合0≤a≤6且a为正数，
可得3a+8＝11，即a＝1，
所以m＝6，
所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5
条生产线，
且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m
﹣4）（件）、（m﹣4）（件），
即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2
（件），
再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：
67，
可得＝，
化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300，
移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z，
而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z，
代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z，
整理得：z＝，
因为x、y、z均为非负整数，
所以454﹣49y一定能被整除，
所以454﹣49y的个位数字一定是0，
即49y的个位数字一定是4，
所以y＝6（条），
那么z＝4（条），
随即可得x＝2（条），
再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立．
最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：
20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）．
故答案为：134．
2．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊
腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数
量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻
居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精
品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量
达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之
比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，
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