定义、定理、引理、推论、定律

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2024年6月24日发(作者：)

定义、定理、引理、推论、定律

定义（Definition）

定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范

一个词或一个概念的意义；被定义的事务或者物件叫做被定义项，其

定义叫做定义项。

对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说

明。相当于数学上的对未知数的设定赋值，比如“设某未知数为已知

字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象，

则有利于交流中的识别及认同。

命名和定义总是相伴而生，用已知的熟知的来解释和形容未知的

陌生的事物并加以区别，这是一个理论界的真理。

命名和定义是理论的前提。命名和定义是展开理论的前提。

定理（Theorem）

是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只

有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定

理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可

以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经

过证明后便是定理。

猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来

的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理

引理（Lemma）

引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，

其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。

一个引理可用于证明多个结论。引理和定理没有严格的区分。

推论（也称为系, 系理）（Inference）

推论是指能够“简单明了地”从前述命题推出的论断。

推论往往在定理后出现; 如果命题 B 能够被简单明了的从命题 A 推

导出，则称B 为A 的推论。

“推论”, “定理”, “命题”等术语的使用区别往往是比较主观

的。因为“简单明了”这个定义本来同作者及上下文相关。

当然，推论一般被认为不如定理重要。

定律（Law）

为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假

设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客

观事实经验累积归纳而成的结论。

科学定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的

现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论

可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。

公理（Axiom）

在传统逻辑中，公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个

命题。因此，其真实性被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其

他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明时，因果关系毕竟不能

无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单，且符

合直觉，如“a+b=b+a”。

不同的系统，会预计不同的公理。

在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理

不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它

就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为

定理了。

逻辑公理通常是被视为普遍为真的陈述（如(A ∧B) →A），而非

逻辑公理（如a + b = b + a）则实际上是在一特定数学理论（如算术）

中的定义性的性质。在后者的意思之下，公理又可被称为“公设”。

理论（Theory）

理论又称学说或学说理论，指人类对自然、社会现象，按照已有

的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说，经由一

般化与演绎推理等等的方法，进行合乎逻辑的推论性总结。

接近科学的学说是科学的，反之则是违背科学的或者说伪科学；

任何自然科学的产生，源自对自然现象观察。人类借由观察实际存在

的现象或逻辑推论，而得到某种学说。任何学说在未经社会实践或科

学试验证明以前，只能属于假说。如果假说能借由大量可重现的观察

与实验而验证，并为众多科学家认定，这项假说就可被称为科学理论。

wikipedia

定理，是经过受逻辑限制的证明为真的陈述（一般在数学中，只

有重要或有趣的陈述才叫定理）。

——梁启超《近世文明初祖倍根笛卡儿之学说》：“凡一现象之

定理，既一旦求而得之，因推之以徧，按其同类之现象，必无差谬，

其有差谬者，非定理也。”

定律，是由不变的事实规律所归纳出的结论，是对客观事实的一

种表达形式，是通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。

——定理属于理论。定律属于规律。理论和规律的区别，能明白

吧？规律不考察其中涉及到的原理/机理/理论依据。——两个“定”

字表达的是“一定条件下确定的”。

理论，是按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经

过验证的假说，经由一般化与演绎推理等等的方法，进行合乎逻辑的

推论性总结。

——不考察是否经过检验、是否确定为真，只考察是否合乎逻辑。

跟定理的区别，明白吧，定理是经过检验（一定条件下）确定为真的。

概念，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关

系的范畴或类的实体。

——一个东西“是什么”，一件事“是怎么回事”，这些看法/理

解就是概念。

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