数学运算软件Mathematica

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2024年6月25日发(作者：)

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第一章 绪论

随着电子计算机的普及，数学软件也相继发展，选择一个合适的数学软件，以辅助庞

大的数学运算也变得日益重要。被美国Macworld杂志誉为“不只是一套软件，更是一次划

时代的革命”的Mathematica，将改变我们对数学学习的感受，对日后数学及其它学科和工

程计算的发展也将有深远的影响。

对Mathematica而言，它不仅可以轻松地应付数值计算的任务，而且还能进行符号式的

运算与有关图形的绘制。除了一般的计算之外，Mathematica还能做微分、积分、包括微分

方程在内的方程和方程组的求解、数学式的化简和展开、因式分解、数据分析等等，从前

被人们认为极为困难的数学问题都能在Mathematica的辅助之下轻易解决。

国际上众多大学、研究所早已有计划地全面推广Mathematica教学，国内也有多家大学

做了这方面的尝试，将Mathematica的学习加入到高等数学的学习中。Mathematica的独特

功能和相对于Matlab等软件较小的内存占用空间，使其在数学软件领域有很强的竞争力。

本讲义是基于Mathematica4.1版写成的，在各章节中均有相应的例题，供读者练习。

Mathematica涉及的数学领域很多，本书的编写是为已经学习了高等数学和数值分析课程的

非数学和计算机专业的研究生提供一本入门的教材。因此，如果将来工作需要，同学们可

以选读其它介绍更详细的书籍。

§1.1 数值计算与符号计算

计算机的诞生源于数值计算，“计算（Calculation）”一词在过去仅仅是数值计算的意思。

现在的计算机除了传统的数值计算外，还可以进行数学符号的演算，Mathematica的运算类

型就包含了这两类计算，即数值计算（numerical calculation）和符号计算（symbolic

calculation）。如果计算过程和计算结果不包含任何未知数（代数），而是以具体的数值形式

进行的，则称这一计算为数值计算，反之，如果运算过程中包含有代数的运算，则为符号

计算。对于符号计算，计算机处理的对象是符号（数学表达式）。所谓符号，可以是字母、

公式，也可以是数值，数值是表达式的最简单的形式。通过计算机的符号运算功能，人们

可以完成数学演算、数学推理甚至数学证明，故也将符号计算称为计算机代数。联系我们

以往学习过的数学分析和数值分析，可以认为：符号计算的功能与数学分析的相同，是以

解析的方法进行有关的计算；而数值计算的功能与数值分析的相同，是以数值的形式进行

有关计算，得到的分别为解析解和数值解。数值计算可以求解符号计算所不能求解的一些

问题。前者更适工程计算的需要，而后者更适合理论推导的需要。

例如，对于简单的定积分



sin(x)dx

，解析解或用Mathematica进行符号计算的结果为

0

1

1cos(1)

，用数值计算的结果为0.459698。

需要指出的是，为了使一些符号计算的结果给我们量的概念，可以将其转换成数值的

1)

对于我们只是一个符号，如果把它化为近似形式。如对于上例，符号计算的结果

1cos(

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的数值

1cos(1)

0.459698，就可以给我们以量的概念了。Mathematica可以轻松地完成这

样的工作。

我们可以根据所要解决的数学问题的类型，决定所要使用的计算类型和计算结果的形

式。

§1.2 数学计算软件简介

目前应用的数学计算软件有30多个，就软件进行数学处理的原始内核而言，可分为两

大类：一类是数值计算型软件，如MATLAB、Xmath、Gauss、MLAB等，它们对大批数据

具有较强的管理、计算和可视化能力，运行效率高；另一类是数学分析型软件，如

Mathematica、Maple、Macsyma等，它们以符号计算见长，并可以得到符号解析解或任意精

度解，但处理大量数据时运行效率较低。两类软件均既可以进行数值计算，也可以进行符

号计算，只是侧重点不同。

按1995年IEEE Spectrum排行，居数值型软件的前两位是MATLAB和Xmath，而符号

型软件的前三位是Maple、Mathematica和Macsyma。下面对主要的软件加以简要的介绍。

1. Maple

Maple是用C语言编写的，由加拿大Waterloo大学符号计算研究小组从1980年开始开

发的。1985年推出了第一个商业版本Maple3.3，Maple系统每年都有更新，以吸收最好的

算法。现在在加拿大的Waterloo和瑞士的Zuris设有研究中心，继续进行软件的开发研究。

国内目前常见的是Maple Release 5.1版本。

Maple系统由三部分组成：用户界面（Iris）、代数运算器（Kernel）、外部函数库（External

library）。它的特点是它的帮助菜单非常丰富，简单易学，拥有大量的软件包，很适合初学

者使用。它的输出有多种形式，如Latex、Fortran、C，也可由Scientific Word等接受。

2. MATLAB

上世纪70年代后期，身为美国新墨西哥大学计算机科学系系主任的Cleve Moler在给

学生开线性代数课程时为学生编写了使用方便的程序，取名MATLAB，意为“矩阵实验室

（Matrix laboratory）。1984年MathWorks公司成立，把MATLAB推向市场。1993年第一个

Windows版本MATLAB3.5K问世。同年，从Maple引进了符号计算工具箱。2000年又推

出了适用于网络的MATLAB6版本。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令形式与数学、工程中的常用形式十分相近。

例如，矩阵方程b=Ax，在MATLAB中被写成b=A*x。如果已知A和b，求x，即求线性方

程组的解，只需输入x=Ab即可。完全不需要编写程序。

目前，在欧美的各高等院校中MATLAB已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理

统计、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生、

硕士生、博士生必须具备的基本技能。

§1.3 Mathematica简介

Mathematica是由美国Wolfram Rearch公司开发的一套专门用于数学计算的计算机软

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