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Agenda
- 1. 矩阵matrix
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- 1.1 矩阵运算matrix operations
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- 1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication
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- 1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilitate computation)的方式：分块(block multiplication)
- 1.1.2 矩阵运算的一些性质some propoerties of matrix operations
- 1.1.3 矩阵的逆inverse of a matrix
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- 1.1.3.1 矩阵的逆的性质
- 1.1.3.2 如何计算矩阵的逆
- 1.1.4 矩阵的转置transpose
- 1.2 行列式determinants
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- 1.2.1 如何计算行列式
- 1.2.2 行列式的性质
- 1.3 伴随矩阵adjoint of a matrix
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- 1.3.1 如何求伴随矩阵
- 1.3.2 用伴随矩阵求矩阵的逆
- 1.4 相似矩阵similar matrix
- 1.5 实对称矩阵real symmetric matrix
1. 矩阵matrix
1.1 矩阵运算matrix operations
1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication
这个也是我们非常熟悉的，矩阵A和B相乘要求A的列数等于B的行数。
1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilitate computation)的方式：分块(block multiplication)
1.1.2 矩阵运算的一些性质some propoerties of matrix operations
- 分配律distributive law: A ( B + C ) = A B + A C A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC, ( A + B ) C = A C + B C (A+B)C=AC+BC (A+B)C=AC+BC
- 结合律associative law: A ( B C ) = ( A B ) C A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C
- 交换律commutative law❌
1.1.3 矩阵的逆inverse of a matrix
1.1.3.1 矩阵的逆的性质
- 唯一性unique：矩阵的逆如果存在的话，就一定是唯一的。
- ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1：这个proposition是经常遇到的。注意这里的矩阵都是方阵，并且假设他们都是可逆的。
1.1.3.2 如何计算矩阵的逆
一般求矩阵的逆有以下几种方法：
- 根据定义，可以假设矩阵的逆的元素，然后去求解矩阵的逆中的元素。
- 初等变换法：如果要求A的逆矩阵，可以写成 [ A ∣ B ] [A|B] [A∣B]的形式，然后对这个新的矩阵作初等行变换。目标是将A变换成单位阵，然后B最后经过初等变换后得到的C就是矩阵A的逆矩阵。有三种初等变换法
– 某一行乘以一个非0的常数
– 任意两行交换
– 某一行+其他行乘以一个非0常数
初等变换法为什么work？首先初等变换矩阵都是可逆的，我们可以写一个很简单的式子来证明为什么C是A的逆矩阵。假设我们经过 E 1 , E 2 . E 3 E_1,E_2.E_3 E1,E2.E3这三个初等变换矩阵，A变成了单位阵，那么有 E 3 E 2 E 1 A = I E_3E_2E_1A=I E3E2E1
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