(完整版)双星三星四星问题

双星模型、三星模型、四星模型

一、双星问题

1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、

周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：

m

1

r

1

＝

m

2

r

2

；

m

1

v

1

＝

m

2

v

2

；

m

1

a

1

＝

m

2

a

2

22

推导：根据两球的向心力大小相等可得，

m

1

ωr

1

＝

m

2

ωr

2

，即

m

1

r

1

＝

m

2

r

2

；等式

m

1

r

1

＝

m

2

r

2

两边同乘以角速度

ω

，得

m

1

r

1

ω

＝

m

2

r

2

ω

，即

m

1

v

1

＝

m

2

v

2

；由

m

1

ω

2

r

1

＝

m

2

ω

2

r

2

直接可得，

m

1

a

1

＝

m

2

a

2

。

Gm

1

m

2

Gm

1

m

2

Gm

1

＋

m

2

ω

2

L

3

222

(4)巧妙求质量和：

2

＝

m

1

ωr

1

①

2

＝

m

2

ωr

2

② 由①＋②得：＝

ωL

∴

m

1

＋

m

2

＝

2

LLLG

4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它

们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

22

②由

m

1

ωr

1

＝

m

2

ωr

2

知由于

m

1

与

m

2

一般不相等，故

r

1

与

r

2

一般也不相等。

二、多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为

R

的圆形轨道上运行(如图甲所示)．

②三颗质量均为

m

的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．

②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心

O

，外围三颗星绕

O

做匀速圆周运动(如图丁所示)．

三、卫星的追及相遇问题

1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路：

(1)根据

GMm

2

＝

mrω

，可判断出谁的角速度大；

r

2

(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。

在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，

他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算

等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：

F



F

，作用力的方向在双

星间的连线上，角速度相等，



1





2





。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固

定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m

1

、m

2

，做圆周运动的半径分别为r

1

、r

2

，角速度分别为ω

1

、ω

2

。根据题意有



1





2

①

②

r

1

r

2

r

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

m

1

m

2

m

1

w

1

2

r

1

2

r

③

G

m

1

m

2

2

mw

12

r

1

2

r

m

2

r

m

1

m

2

④

联立以上各式解得

r

1



⑤

根据解速度与周期的关系知



1





2



2



T

⑥

联立③⑤⑥式解得

4



2

3

m

1

m

2



2

r

TG

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测

双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由

可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线

上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G，由观

测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力F

a

可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量

分别为m

1

、m

2

，试求m′(用m

1

、m

2

表示).

(2)求暗星B的质量m

2

与可见星A的速率v、运行周期T和质量m

1

之间的关系式；

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m

s

的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10

5

m/s，

运行周期T=4.7π×10

4

s，质量m

1

=6m

s

，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（G=6.67×10

-11

N·m

2

/kg

2

，m

s

=2.0×10

30

kg）

解析：设A、B的圆轨道半径分别为

22

，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动

定律，有

F

A

m

1



r

1

，

F

B

m

2



r

2

，

F

A

F

B

设A、B间距离为，则

rr

1

r

2

由以上各式解得

r

m

1

m

2

r

1

m

2

3

m

1

m

2

mm

由万有引力定律，有

F

A

G

1

2

2

，代入得

F

A

G

2

2

r

(m

1

m

2

)r

1

令

F

A

G

m

1

m



r

1

2

m

2

，通过比较得

m





(m

1

m

2

)

2

3

m

1

m

2

v

2

（2）由牛顿第二定律，有

Gm

1

2

r

1

r

而可见星A的轨道半径

r

1



将

vT

2



3

m

2

v

3

T

代入上式解得



(m

1

m

2

)

2

2



G

3

m

2

v

3

T

（3）将

m

1

6m

s

代入上式得



2

2



G

(6m

s

m

2

)

m

2

代入数据得

3.5m

s

(6m

s

m2)

2

设

m

2

nm

s

(n0)

，将其代入上式得

3

m

2

3

n

m

s

3.5m

s

6

(6m

s

m

2

}

(1)

2

n

m

2

3

n

m

s

3.5m

s

6

(6m

s

m

2

}

(1)

2

n

m

2

可见，的值随的增大而增大，试令

n2

，得

2

(6m

s

m

2

)

3

n

6

(1)

2

n

m

s

0.125m

s

3.4m

s

可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B的质量

m

s

必大于

2m

s

，由此可得出结论：暗星B有可能是

黑洞。

【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半