分期付款模型及其应用举例

分期付款模型及其应用举例

作者：***

来源：《今日财富》2020年第32期

摘要：分期付款是生活中常见的消费方式，通过分析建立分期付款的数学模型，然后使用

matlab计算分期付款的月利率。本文给出了分期付款模型在生活情景中的应用，探讨了分期付

款的提前还款公式，最后给出了在利率一定情形下的“个性化”分期付款还款方案。

关键词：分期付款;利率;提前还款;“个性化”还款方案

中图分类号：F830.5;O122; ;文献标识码：A

分期付款是一种常见的消费方式，大到买房、买车，小到购买手机、笔记本电脑，都可以

进行分期付款。使用分期付款是要付出“代价”的，这个“代价”就是使用分期付款所要支付的利

息，而利息的大小又是相对的（依赖于分期付款的本金），所以我们通常使用利率来衡量一笔

分期付款“代价”的大小。

分期付款能减少了一次性付款的压力，再加上“互联网+金融”的迅猛发展，各种分期消费

的APP层出不穷，分期付款消费市场发展速度很快，但鱼龙混杂，良莠不齐。消费者对于各

类分期付款的套路诸如“无息贷款”、“零首付”、“月费率”等名词的概念混淆不清，导致消费者

办完分期付款之后依然不清楚这笔分期付款的利率是多少，所以我们建立分期付款的数学模

型，再利用matlab等数学软件求解分期付款的利率。

1、分期付款背景

利率分单利和复利。假设你有1万元长期不用，到银行存5年定期，年利率为4.75%，到

期后得到的本金加利息为元，这样计算的利息称为单利。如果想灵活一点取用，存1年定期，

年利率为3%，并申报若到期不取则自动转存，那么一年后的本息和为元，扔按年利率3%再

存一年，若如此共存5年，得到的本息和为元，这样计算的利息称为复利，俗称“利滚利”。上

述按照复利算出的结果比单利还少，是因为年利率不同造成的。如果用同一利率计算，存期

为，那么单位本金按照单利计算的本息是，而按照复利计算的本息是，显然后者大于前者。目

前银行的“零存整取”业务是按单利计算的，而各类商业贷款如房贷、车贷、装修贷等通常按照

复利计算，所以下文中涉及到的利率都按复利计算。

利率根据计量的期限标准不同，有年利率、月利率、日利率之分。一般来说，它们的换

算关系如下：

年利率=月利率*12=日利率*365.

在日常生活中，顾客与商家进行分期付款时会达成一份协议，这个协议通常会约定顾客还

款的时间和金额。设是顾客达成分期付款协议的日期也是借款日期，是约定的还款期数，是约

定的还款日期，由于分期付款往往是每月定期还款一次，所以距离借款日期的时间为个月，是

还款日时的还款金额（单位：元）。还款日期向量和还款金额向量在分期付款协议好之后就确

定下来了。

生活中的分期付款多数都是定额定期分期付款，即相邻两个还款日和之间相差一个月、任

意两个还款日的还款金额相等，也有一部分是不定额分期付款。

2、建立分期付款模型

首先考虑最简单的分期付款模型，即还款期数.假设月利率为，借款一个月之后一次性把

贷款结清，若还款金额为元钱，则借款本金是多少？答案是元。若是借款三个月之后一次性把

贷款结清且还款金额为元钱，则借款本金元。一般地，在月利率为的情况下，借款个月之后一

次性把贷款结清，若还款金额为元钱，则有借款本金.

其次考虑还款期数的分期付款。假设月利率为，借款一个月和三个月时需要分别还款元

钱，则借款本金是多少。这种情况可以看做是两个还款期数的分期付款之和，于是有：

3、分期付款情景应用

案例一：某汽车4S店为顾客提供“无息贷款”以帮助客户购车。具体操作如下：客户在支

付车款首付之后剩余6万元分期付款，期限为36个月，每月还款金额为60000元÷36=1666.67

元，但办理此项分期付款需要事先支付“金融服务费”11000元，则该“无息贷款”的年利率是多

少？

案例二：某银行为客户装修房子提供“装修贷”。具体操作如下：假设贷款10万元，贷款

期限为36个月，每月基本还款额为10万元÷36=2777.78元，又该分期付款的“月费率”为

0.31%，即每月还需要支付10万元×0.31%=310元，所以每月还款金额为3087.78元，则该“装

修贷”的年利率是多少。

在案例二中，贷款本金元，，元，根据模型使用matlab的fsolve函数计算得出该分期付款

的月利率约为0.58%，相应的年利率为6.96%，

案例三：某金融机构提供贷款服务，某客户贷款23万元，分36期每月定期偿还，“先息

后本”还款：前35期每月还款3720元，第36期偿还本金23万元，请问这笔分期付款的年利

率是多少。这是一个不定额定期分期付款的案例，月利率应该满足如下方程：

利用matlab中的fsolve函数求解得出月利率为0.0158，相应的年利率为18.96%。

4、提前还款问题

分期付款公式的一个重要应用就是“提前还款”。例如消费者提出在第期提前还款（），是

原定的还款期数。这意味着第1期到第期都是正常履约的，设在第期提前还款需要支付的金额

为元。虽然消费者选择了提前还款，但是分期付款的月利率不能因提前还款而改变，所以根据

分期付款公式，有

在现实生活中当消费者提出要“提前还款”时，商家一般会要求消费者按之前的约定一次性

支付剩余的款项，即在第期提前还款（）共需要支付元，消费者往往会认为这样的计算方式

“没什么问题”，实际上并非如此。

上述不等式的成立意味着消费者多支付了钱，这部分钱自然是被商家赚走了。

5、分期付款的“个性化”还款方案

分期付款模型的另一个重要应用是商家可以在相同的借款总额、相同的还款期数和相同利

率的情况下向顾客提供分期付款的“个性化”还款方案。客户可以在总还款期数为的分期付款方

案中，任意选择期，这期的还款金额可以由顾客“个性化”的决定还多少，剩下的一期由商家来

决定。那么在相同的借款总额、相同的还款期数和相同利率的情况下，商家可以根据分期付款

公式来计算剩下的一期客户应该还款的金额。这样得到的“个性化”分期付款方案可以保證客户

在“利率尺度”上是公平的。即使“利率尺度”一样，不同的分期付款方案的利息一般而言是不一

样的。

方案一是我们生活中的“等额本息”还款方式，方案二是我们生活中的“等额本金”还款方

式，方案三是我们生活中的“先息后本”还款方式，方案四是一个“个性化”的分期付款还款方

案。以上四种还款方案在“利率尺度”下是无差别的，因为它们的具有相同的月利率，但是它们

的还款总额并不相同。

6、结语

我们生活中遇到的分期付款大多数都是定额定期分期付款，结合分期付款公式，利用数学

软件解方程可以很快得出分期付款的利率。本文给出了分期付款模型在实际生活中应用的案

例，并进一步探讨了分期付款中“提前还款”的情形，给出了提前还款的计算公式。最后讨论了

在利率一定情形下的“个性化”分期付款还款方案。