求数列前n项和的方法

2024-07-28 作者:

求数列前n项和的方法

发表时间：2009-07-22T11:30:31.467Z 来源：《新华教育研究》2009年第3期供稿 作者： 焦士汛[导读] 数列求和是历届高考所考查的重点内容之一。求数列前n项和的方法 焦士汛

作者简介：焦士汛（1972.9-），男，汉族，青海省民和县人。1996年7月毕业于青海师范高等专科学校,2007年元月在青海师范大学获得数学专业本科文凭,中教一级，校务委员、学校政教处主任。曾获果洛州第五届“教学能手”称号，青海省教育厅授予“青海省中小学优秀班主任”，青海省第六届青年数学教师(初中组)说课比赛二等奖，全国第六届青年数学教师(初中组)说课比赛三等奖，果洛州优秀教师称号。

【摘要】数列求和是历届高考所考查的重点内容之一。特别是近几年高考中有关数列求和的题型，难度大，题型活，是高考必考的难点之一，也是学生在复习中遇到的一个难点。对于数列的求和，要注意公式的应用范围和公式的推导过程，注意观察数列的特点和规律。在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。本人在教学和解题过程中，对遇到的前人的一些较好的有关数列的求和方法进行了归纳和整理，以便在以后的教学和复习中更好地运具体叙述如下：①直接相加法;②倒序相加法;③ 错位相减法;④分组转化法;⑤裂项相消法;⑥公式法求和。

【关键词】数列；求和；方法N for the former series and the method of Jiao Shixun

【Abstract】Series summation of all previous college entrance examination by one of the key elements to examine. In recent years,especially on the college entrance examination in the sum series questions, difficult questions of living, is one of the difficulties of acompulsory entrance examination, but also students in a review of the difficulties encountered. The sum of the series, it is necessary topay attention to the scope of application of the formula and the formula derived process, to observe the series of characteristics and in the analysis formula based on, or broken down into basic series summation, or transformation as the basic series summation. Iam in the teaching and problem-solving process, some of their predecessors encountered a better summation of the series method issummarized and collated in order to review the future of teaching and better transport specific as follows:①direct sum of the

Law;②reverse the sum of the Law;③dislocation of subtraction;④Sub-group transformation;⑤Cancellation of law crack;⑥Sum formula.

【Key words】series; sum; method数列求和是历届高考所考查的重点内容之一。特别是近几年高考中有关数列求和的题型，难度大，题型活，是高考必考的难点之一，也是学生在复习中遇到的一个难点。对于数列的求和，要注意公式的应用范围和公式的推导过程，注意观察数列的特点和规律。在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。本人在教学和解题过程中，对遇到的前人的一些较好的有关数列的求和方法进行了归纳和整理，以便在以后的教学和复习中更好地运具体叙述如下：

1直接相加法此方法是直接利用等差或等比数列的前ｎ项和公式求和。这种解题方法比较简单，是高中课本中有关数列求和的主要方法，利用它可以解决课本中出现的求数列前ｎ项和的题型，学生也容易掌握，在此不做过多说明。

2倒序相加法如：在等差数列｛ａｎ｝中，a1+a2+a3=－24，a18+a19+a20=78,此数列的前20项和等于() (A)160(B)180(C)200(D)220

解：由a1+a2+a3=－24，a18+a19+a20=78可知 a1+a2+a3+a18+a19+a20=54

由等差数列的性质可知a1+a20=a2+a19=a3+a18

所以a1+a20=18

则S20=a1+a2+…+a20=(a1+a20)+(a2+a19)+…(a10+a11)=10×(a1+a20)=10×18=180，故选(B)。

评注：本题主要是等差数列性质-“与首末两项距离相等的两项的和相等”的运用。这时可采用把正着写和与倒着写的和的两个式子相加，运用倒序相加法。此法常用于有关等差数列的求和问题。

3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项之积组成，可采用错位相减法。

如：设a≠0，求数列1，3a，5a2，…，(2n－1)an－1的前2004项的和。

解：设Sn =1+3a+5a2+……+(2n－1)an-1①

则aSn =a+3a2+…+(2n－3)an-1+(2n－1)an②

①－②得(1－a)Sn = 1+2a+2a2+……+2an-1－(2n－1)an

∴ 当a=1时，S2004=20042= 4016016

当a≠1时，S2004 =(1-a2004)(1-a)2－4007a2004(1-a)2

评注：本题各项之间存在着一个明显的特点，各项前面的系数成等差数列，后面的字母部分成等比数列。本题利用错位相减法求和较为简单。若用其它方法则较繁锁。若学生在对式子(1－a)Sn = 1+2a+2a2+……+2an－1－(2n－1)an进行求和时，由于 a为公比，而忽略了a≠1条件，从而导致求和出现漏洞和错误。因此等比数列求和时要注意对公比q=1与q≠1进行讨论。另外这种方法也是高中课本当中推导等比数列前ｎ项和公式的主要手段。

4分组转化法此法是把数列的每一项分拆成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其分别转化为等差数列、等比数列或已知数列，然后求和。

如：已知数列｛an｝的通项公式an=2n+1，bn=1n(a1+a2+…+an)，求数列｛bn｝的前n项和。

解:∵ an = 2n+1

bn=1n(a1+a2+……+an)=［3+5+7+……+(2n+1)］ =n+2

即bn=n+2

∴Sn=b1+b2+……+bn=(1+2)+(2+2)+……+(n+2) =(1+2+……+n)+(2+2+……+2)=n(n+2)2

评注：本题主要考查数列的基础知识和有关概念，对数列通项的考查是本题的重点，同时也考查了学生思维能力和运算能力。解题的关键在于求出数列｛bn｝的通项，而有的同学通常用Sn=b1+b2+……+bn分别求出b1、b2、……、bn，从而归纳得出bn=n+2，而没有对所得结论给予证明。本题在求前n项和Sn时将作和之项分为两部分：一部分构成等差数列，另一部分构成等比数列(常数数列)加以解决，利用了分组转化法。

5裂项相消法此法是通过观察、分析，把数列各项都 拆成两项之差，在求和时正、负项相互抵消，和式变成首末若干少数项之和。

如：求数列11×2×3，12×3×4，13×4×5，14×5×6…的前n项和。 解：由题可知

an=1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)－1(n+1)(n+2)

所以Sn=1211×2－12×3+12×3－13×4+13×4

－ 14×5+…＋1n(n+1)－1(n+1)(n+2)

=1211×2－1(n+1)(n+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2)

评注：此题主要考查数列求和的裂项相消法。在裂项的过程中，有效地培养了学生的观察能力、运算能力和分析能力。本题容易出错的地方在于对an=1(n+1)(n+2)不会正确地裂项，导致此题无从下手。因此如何合理裂项是解题的关键。在平时的学习中多积累、多观察，多归纳，特别是要分析数列的通项公式an，如求数列an=1(2n-1)(2n+1)的前n项Sn时，an=1(2n-1)(2n+1)可分裂成1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1－12n+1) 等。这些只有在平时的学习中多观察、多积累，才能准确、合理地进行裂项。

6公式法求和除等差数列、等比数列的前n项和公式外，还要熟记以下常用的公式：

①12+22+32+……+n2 =16n(n+1)(2n+1)

②13+23+33+……+n3=14n2(n+1)2

如：已知数列6、9、14、21、30、……，其中相邻 两项之差成等差数列，求它的前n项和。

解：由题可知a2－a1=3，

a3－a2=5， a4－a3=7， ……

an－an－1=2 n+1 (n≥2)

两边叠加

（ a2－a1）+（a3－a2）+（a4－a3）+……+（an－an－1）=3+5+7+……+（2n+1）

∴ an－a1= n2－1 (n≥2)

则an=n2+5(n∈N+)

∴ Sn=a1+a2+……+an = (12+5)+(22+5)+……

+(n2+5)=(12＋22…+n2) +5ｎ

=n(n+1)(2n+1)6＋5ｎ

评注：此题学生在求得an－an－1=2n+1后不知该如何求an，在此用叠加法(求通项的一种有效方法)求出通项an；再者在利用叠加法求通项an 的过程中，对于n的取值没有进行讨论而导致该题出错，所以在解题过程中必须要注意，解题思路清晰，讨论问题全面等特点。在求和中首先运用分组转化法，又在分组后运用了特殊公式。可见本题是求数列前n项和的一道综合题。

综上所述：数列求和问题是一种复杂、灵活的题型，是数列知识的一个难点，在具体的解题过程中要根据题目的实际，选择合适的方法；同时，在平时的学习中还要注意多观察、多归纳、多整理，积累更多的有关数列的知识，对于数列求和，只有方法得当，思路清晰，分析全面，才能准确地进行。参考文献

［1］绿色通道2005(数学).北京师范大学出版社

[2]2005高考红皮书.北京大学出版社