高中数学选修2-3全册综合能力测试题含解析人教版

2024-07-28 作者:

高中数学选修2-3全册综合能力测试题

（含解析人教版）

高中数学选修2-3全册综合能力测试题（含解析人教版）

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()

A．12种B．18种C．36种D．54种

[答案]B

[解析]由题意，不同的放法共有C13C24＝18种．

2．(2014四川理，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()

A．30B．20

C．15D．10

[答案]C

[解析]x3的系数就是(1＋x)6中的第三项的系数，即C26＝15.

3．某展览会一周(七天)内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法的种数是()

A．210B．50

C．60D．120

[答案]D

[解析]首先安排甲学校，有6种参观方案，其余两所学校有A25种参观方案，根据分步计数原理，安排方法共6A25＝120(种)．故选D.

4．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率()

A．(2,4]B．(0,2]

C．[－2,0)D．(－4,4]

[答案]C

[解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．

5．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表

示变量V与U之间的线性相关系数，则()

A．r2r10B．0r2r1

C．r20r1D．r2＝r1

[答案]C

[解析]画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r10，U与V是负相关，相关系数r20，故选C.

6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()

A．152B．126

C．90D．54

[答案]B

[解析]先安排司机：若有一人为司机，则共有C13C24A33＝108种方法，若司机有两人，此时共有C23A33＝18种方法，故共有126种不同的安排方案．

7．设a＝0π(sinx＋cosx)dx，则二项式(ax－1x)6展开式中含x2项的系数是()

A．192B．－192

C．96D．－96

[答案]B

[解析]由题意知a＝2

∴Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1x)r＝Cr626－r(－1)rx3－r

∴展开式中含x2项的系数是C1625(－1)＝－192.故选B.

8．给出下列实际问题：

①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物冶疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有()

A．①②③B．②④⑤

C．②③④⑤D．①②③④⑤

[答案]B

[解析]独立性检验主要是对事件A、B是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事物的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．

9．在一次独立性检验中，得出列联表如下：

AA

合计

B2008001000 B

180a180＋a

合计380800＋a1180＋a

且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是()

A．200B．720

C．100D．180

[答案]B

[解析]A和B没有任何关系，也就是说，对应的比例aa＋b和cc＋d基本相等，根据列联表可得2001000和180180＋a基本相等，检验可知，B满足条件．故选B.

10．从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用ξ表示摸出的黑球个数，则P(ξ≥2)的值为()

A.110B．15

C.12D．25

[答案]C

[解析]根据条件，摸出2个黑球的概率为C23C13C36，摸出3个黑球的概率为C33C36，故P(ξ≥2)＝C23C13C36＋C33C36＝12.故选C.

11．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙极格的概率为710，三人各答一

次，则三人中只有一人及格的概率为()

A.320B．42135

C.47250D．以上都不对

[答案]C

[解析]利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×1－35×1－710＋1－45×35×1－710＋1－45×1－35×710＝47250.故选C.

12．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()

A．－4B．－3

C．3D．4

[答案]B

[解析]解法1：(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的一次项为：

C06C24(x)2＋C26(－x)2C04＋C16(－x)C14(x)＝6x＋15x－24x＝－3x，

所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.

解法2：由于(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2的展开式中x的一次项为：

C14(－x)C02＋C04C22(－x)2＝－4x＋x＝－3x，

所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

[答案]0

[解析]本题主要考查二项展开式．a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.

14．已知ξ的分布列为：

ξ1234

P14

13

16 14

则D(ξ)等于____________．

[答案]179144

[解析]由已知可得E(ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，代入方差公式可得D(ξ)＝179144.

15．对于回归方程y＝4.75x＋2.57，当x＝28时，y的估计值是____________．

[答案]135.57

[解析]只需把x＝28代入方程即可，y＝4.75×28＋2.57＝135.57.

16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．

[答案]35

[解析]本题考查了排列组合知识与概率的求解.6节课共有A66种排法，按要求共有三类排法，一类是文化课与艺术课相间排列，有A33A34种排法；第二类，艺术课、文化课三节连排，有2A33A33种排法；第三类，2节艺术课排在第一、二节或最后两节，有C23C12A22C13A33种排法，则满足条件的概率为

A33A34＋2A33A33＋C23C12A22C13A33A66＝35.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知x＋2xn的展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10

1，求展开式中含x的项．

[解析]T5＝C4n(x)n－42x4＝C4n24xn－122，T3＝

C2n(x)n－22x2＝C2n22xn－62，所以C4n24C2n22＝101，即C4n22＝10C2n，化简得n2－5n－24＝0，所以n＝8或n＝－3(舍去)，所以Tr＋1＝Cr8(x)8－r2xr＝Cr82rx8－3r2，由题意：令8－3r2＝1，得r＝2.所以展开式中

含x的项为第3项，T3＝C2822x＝112x.

18．(本题满分12分)某电脑公司有6名产品推销员，其中5名的工作年限与年推销金额数据如下表：

推销员编号12345

工作年限x/年35679

推销金额Y/万元23345

(1)求年推销金额Y关于工作年限x的线性回归方程；

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

[解析](1)设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，

则b^＝i＝15xi－xyi－yi＝15xi－x2＝1020＝0.5，

a^＝y－b^x＝0.4.

所以年推销金额Y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.

(2)当x＝11时，

y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．

所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

19．(本题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方

式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

(2)试问休闲方式是否与性别有关？

[解析](1)2×2列联表为

性别看电视运动合计

女432770

男213354

总计6460124

(2)由χ2计算公式得其观测值 χ2＝124×43×33－

27×21270×54×64×60≈6.201.

因为6.201＞3.841，所以有95%的把握认为休闲方式与性别有关．

20．(本题满分12分)某研究机构举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：

版本人教A版人教B版苏教版北师大版

人数2015510

(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

[解析](1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225.

选出2人使用版本相同的方法数为C220＋C215＋C25＋C210＝350.

故2人使用版本相同的概率为：P＝3501225＝27.

(2)∵P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，

P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为

ξ012

P317

60119 38119

21.(本题满分12分)(2014陕西理，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量(kg)300500

概率0.50.5

作物市场价格(元/kg)610

概率0.40.6

(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

[解析](1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，

由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，

∵利润＝产量×市场价格－成本，

∴X所有可能的取值为

500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，

300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，

P(X＝4000)＝P(A－)P(B－)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝2000)＝P(A－)P(B)＋P(A)P(B－)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，

P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

所以X的分布列为

X P0.30.50.2

(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，

由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，

P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，

3季的利润均不少于2000元的概率为

P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；

3季中有2季利润不少于2000元的概率为

P(C－1C2C3)＋P(C1C－2C3)＋P(C1C2C－3)＝3×0.82×0.2＝0.384，

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为

0．512＋0.384＝0.896.

22．(本题满分14分)学校校园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

①摸出3个白球的概率；

②获奖的概率．

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．

[解析](1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件

Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝C23C25C12C23＝15.

②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝C23C25C22C23＋C13C12C25C12C23＝12，

且A2，A3互斥，

所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝1－7102＝9100，

P(X＝1)＝C127101－710＝2150，

P(X＝2)＝7102＝49100.

所以X的分布列是

X012

P9100

2150 49100

X的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.