新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验

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2024年1月16日发(作者：)

第34卷第1期大学物理实验Vol.34

No.1Feb.20212021年2月PHYSICAL

EXPERIMENT

OF

COLLEGE文章编号:1007-2934(2021

)01-0087-05新冠疫情下“停课不停学”的大学物理

GeoGebra仿真单摆实验何秋静1,杨文韬2,王晓雅1,支启军1(1.贵州师范大学物理与电子科学学院，贵州贵阳550000；2.六盘水师范学院物理与电气工程学院，贵州六盘水553004)摘

要:基于GeoGebra的动态数学软件的技术路线，依此技术路线实施，制作单摆的仿真实验。此

仿真实验操作简单、调试方便、与真实实验融合度高，教师不仅可以拿来当作学生的预习实验，也可以用

来给学生讲解单摆的理论知识。关

键

词：GeoGebra

5.0软件;单摆;演示与仿真中图分类号：O4-39

文献标志码：A

D0l：10.14139/22-1228.2021.01.0232020年春,各高等学校积极响应“停课不停

单摆的原理,运用微分方程推导出摆球摆动的函

教、停课不停学”的要求，在疫情防控中充分利用

数关系式，提高仿真实验的可信度。学生在操作

过程中，可以更深入的掌握单摆的原理,甚至比真

已有课程积累和网络资源,积极开展线上授课和

线上学习等在线教学活动［1-3］。在此背景下，本

文采用GeoGebra

5.0软件开发了手机和电脑都可

实实验更加锻炼理论推导能力。以实现小球做单摆实验的过程。GeoGebra是为

小学到大学的教学而设计的开源动态数学软件,

GeoGebra针对不同的数学物件，提供不同的视

1实验原理单摆是理想的物理模型，由理想化的摆球和

区。不同的视区提供各自适用的工具列，包含了

特定的工具、指令以及内建函数与运算子,使用者

摆长组成,摆线的质量不计,不可伸缩［8］。(1)如图1,摆长为L,小球受力为：重力mg

和绳子的张力To将重力进行正交分解，重力mg

可以运用不同表征的数学物件,来创造动态结构。

根据GeoGebra软件的特点，用来做物理仿真实

可以分解为沿圆弧的切向和径向的两个力，L与验，可以作为物理教学的一个工具,下面以单摆为

例,利用GeoGebra软件实现单摆实验的演示与

仿真。如果把悬挂的小球(摆球)自平衡位置拉至

一边(摆角0<5°),然后释放，摆球即在平衡位置

左右做周期性摆动，这种装置称为单摆⑷。单摆

做简谐运动，单摆的周期与摆球质量无关,在振幅

较小时与振幅无关,但与摆长有关，摆长越长,周

期也越长［5-7］

o单摆原理在高中甚至大学物理中

占据着重要的地位,故弄清单摆的原理及特点是

非常重要的。本文利用GeoGebra

5.0软件制作了

小球做单摆的演示实验，在设计过程中严格遵循

收稿日期：2020-11-19图1单摆的受力分析图基金项目：教育部产学合作协同育人教学内容和课程体系改革项目(2)，教育部产学合作协同育人实践条件和实践基

地建设项目(2)

88大

学

物

理

实

验2021

年(2)根据牛顿第二定律，可以列出小球在切支点。再以点A为圆心，定义半径在0.2-1区间的

线方向上的运动方程:圆心c,作为摆长的长度范围。定义点B(1.3+0.1

lsin(

wt

),1.1-/),作为小球做简谐运动的状态，时

切线方向的微分方程为:FT

=

mgsin

0

=dv

d2

0—=-mL

—

c—(1)间t取0-80之间。定义圆频率3：

sqrt

L

(

g取

9.8)o

最后定义线段让(1.

3,1.1),(1.

3

+

0.1/sin

方程两边消去质量m得:(wt

),1.1-/)]，连接点A跟点B,作为摆线,单摆的

(2)d2

0Lsin0=0dt2(3)当单摆的摆角0很小时,sin0

=

0,0〜lx可得

d202

+gg

0

=

0

(4)dt2

L在切线方向小球仅受切向力，由(2-1)式可知FT

=

mgsin0

=

mg

xg=

m

—^x(5)由

FT= ma

T可得aT=

L

xLt(6)由圆周运动公式可知:a

T

=

3

2

x则：32=

LtL，代入(2-4)得：d20dt+32

0

=

0

(7)(2-7)式即简谐运动的微分方程解微分方程得：0

=

00sinwt,或

0

=

00cos3t

(8)

综上所述,单摆的摆动近似是简谐运动[9]

O2用GeoGebra仿真单摆实验过程2.1单摆仿真实验的动态平面设计GeoGebra是一款专门为理科生设计的动态

数学软件,GeoGebra软件类似于几何画板式的几

何工具，它结合“几何、代数、微积分”，可在上面

画点、向量、线段、多边形、圆锥曲线、甚至函

数[10]。通过单摆原理的理论推导，可知圆频率3

与摆长L有关，因此在设计过程中定义小球的数

学函数是关键。首先打开GeoGebra5.0软件的绘图区，在平面

坐标系中定义线段

f[(1,0),(1.5,0)]、g[(1.13,

0),(1.13,1.5)]、h[(1.14,1.1),(1.4,1.1)],绘制铁

架台。在线段h中定义点A(1.3,1.1),作为摆线的

动态平面效果图如图2所示。»绘圈区4-1=1t=0•

J-2-//If

11g

1//0■0

彳

f

3

3图2单摆的动态平面效果图在3D绘制区中，基于单摆在平面坐标系的

设计步骤，可绘制出单摆摆动的立体效果，单摆

3D

效果图如图

3

所示。2.2单摆仿真实验的正弦函数设计单摆的摆角很小时，质点的运动可以近似的

看作简谐运动，简谐运动的状态可以用正弦函数

来描述。首先定义向量u[(0,-2)

,(3,-2)],作为时

间t轴，再定义向量v[

(0,-2.

5),(0,-0.

5)],作

为

y

轴。定义动点

D

(0.04t,-2+0.2/sin

(

3t)),作

为小球的运动情况。定义时间11：t

1=0.01

to最后

定义曲线

j

[0.04t

1,-2

+

0.2lsin(

3t

1),

11,0,

t

],作

为正弦曲线。单摆的正弦函数图像如图4所示。

第1期何秋静，等:新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验893仿真实验的分析与总结在GeoGebra平台上设计单摆实验的过程不

仅要掌握单摆摆动的简谐运动规律的理论知识,

还要具备数学的逻辑能力。在制作仿真单摆实验

的过程中总结出了

GeoGebra5.0软件作为辅助教

学的一些优点。3.1操作简单，调试方便GeoGebra

5.0软件是定义数学物件来创造动

态结构,平常所用到的线段、圆、曲线等，可直接用

中文输入代数区，中文输入后就会显示所对应的

数学格式，在绘制过程中只需把数字插入即可。

在工具栏上的滑动条,可根据所设置的变量，在区

间内随意调试，这样可看见不同情况下的实验效

果,进而可以记录所对应的数据,这与真实实验收

集多组数据的操作是一致的，且导出手机后可随

时观看实验效果，可见GeoGebra平台有平易近人

的特点。3.2仿真实验与真实实验融合度高在2.1单摆仿真实验的平面设计步骤中，设

置圆c的半径的滑动条，目的是可以随时改变摆

线的长度,且半径最大为1,这与大学物理真实实

验中单摆实验的摆长约取1m是一致的。这时单

摆的周期为2s,半周期为1

s,这在GeoGebra平台

上仿真的效果也是符合的，如图5所示，小球摆动

1个周期时,时间滑动条上的时间显示为0.5,小

球摆动半个周期时，时间滑动条上的时间显示

为1o图5小球摆过4和1个周期的时间图在单摆实验中最关键的就是控制摆角小于

5°,在真实实验实验中运用工具是比较容易实现

的，在GeoGebra平台上如何保证小球的摆动幅度

在5°以内呢？经研究讨论,结合单摆的摆动的理

论知识，单摆的摆角与摆长有关,且由(8)式可知

摆角是关于时间的正弦函数，故可在2.1单摆仿

真实验的平面设计步骤中，起初定义点B的坐标

为(1.3

+

0.2lsin(et)

,1.1-l),但发现当

l

取很小

时,摆度过大，已经不是单摆过程，从仿真来看,小

球已经离开圆c运动，或者说圆轨迹运动与直线

运动的简谐振动已经不重合，如图6对点B定义

的效果图(a)所示。经研究讨论后定义点B的坐

标为(1.3

+

0.1lsin(et

),1.1-l),这样可以始终保

证小球的摆动幅度在5°之内，如图6对点B定义

的效果图(b)所示。(a)

90大

学

物

理

实

验2021

年4

结

语本文利用

GeoGebra

5.0

软件实现了小球单摆

实验的演示与仿真,对本实验中摆角的控制以及

单摆的正弦曲线进行了巧妙设计,这将有助于学

生加深对小球做单摆运动规律的理解。此外,

GeoGebra

5.0软件在小学至大学中作为一种辅助

(b)图6对点B定义的效果图3.3提高数学的逻辑思维能力由于GeoGebra5.0软件是用数学公式来指令

动态结构,所以在GeoGebra平台上做仿真实验

时，要具备数学的逻辑思维。例如,在做单摆仿真

实验的正弦函数设计时，小球摆动的时间为80

时,正弦函数图很长,不能体现小球摆动的实际运

动情况，且影响美观，如图7所示。-2

厂图7单摆的正弦函数图由于正弦函数图像太长，即x坐标太长。解

决的方法就是压缩，怎么压缩函数？这就要运用

数学方面知识以及逻辑思维能力，单摆绘制的正

弦曲线采用参数方程绘制，将x的参数乘以一个

小于1的倍数,y坐标不变就可以把函数图像的x

轴压缩，从而把很长的时间压缩到一个较短的坐教学工具,在未来有很大的发展前景。不管是教

师将

GeoGebra

5.0

软件制作的动画用于教学,

还

是学生拿来作为课前预习的实验,这对于物理概

念和物理规律的掌握以及运用都有很大的帮助。参考文献：[1]

张君君•“停课不停学”背景下高校线上教学的探索

与实践[J]

•文学教育(下),2020(

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2019,40(3)

：6-12.

第1期何秋静，等:新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验91University

Physics

GeoGebra

Simulation

Pendulum

Experiment

under

the

New

Crown

Epidemic

SituationHE

Qiujing1

,YANG

Wentao2,WANG

Xiaoya1

,ZHI

Qijun1(e

of

Physics

and

Electronics,

Guizhou

Normal

University,

Guiyang

550001,

China；

of

Physics

and

Electrical

Engineering,Liupanshui

Normal

University,Liupanshui

553004,China)Abstract:

Based

on

the

technical route

of

dynamic

mathematical software

of

GeoGebra,

the

simulation

experiment

of

simple

pendulum

is

made

according

to

the

technical

route.

This

simulation

experiment

is

easy

to

operate,easy

to

debug,and

highly

integrated

with

the

real

experiment.

Teachers

can

not

only

use

it

as

a

preview

experiment

for

students,but

also

can

be

used

to

explain

the

theoretical

knowledge

of

pendulum

to

students.

Key

words:

GeoGebra

5.0

software；pendulum；demonstration

and

simulation(上接第78页)参考文献：[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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进[J].物理实验,2020(2)

：59-61.董彩华•惯性现象演示实验的改进一一全国第五届

自制教具评选获奖作品之四[J].物理通报，2001

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：28-30.汪鹏,蔡学军•运动独立性原理的演示[J].高等函授

学报(自然科学版),2002(15)

：32-33.(4)

：

Inertial

Phenomenon

Demonstration

DeviceGONG

Hanli,DAI

Wei(

College

of

Physical

and

Spacial

Science,China

West

Normal

University,Nanchong

637002,China)Abstract:

The

law

of

inertia,

also

known

as

Newton' s

first

law,

is

one

of

the

most

important

laws

in

classical

physical

mechanics.

Static

objects

have

inertia

,

and

moving

objects

also

have

inertia.

The

newly

designed

demonstration

device

of

inertia

phenomenon

of

moving

objects

drives

the

screw

slide

table

to

move

horizontally

through

a

speed

regulating

DC

motor.

The

metal

ball falling

device

installed

on

the

sliding

table

can

demonstrate

static

and

moving

well.

All

objects

have

inertia.

The

instrument

is

simple

in

structure,

easy

to

operate

and

intuitive

in

words

:

inertia

law；static；motion；inertia；demonstration

device

本文标签： 单摆实验小球软件