运用几何画板动态演示无限逼近思想的探讨

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2024年5月15日发(作者：)

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第２３卷第３期　

Ｖ０１．２３　Ｎｏ．３　

钦州学院学报　

２００８年６月　

Ｊｕｎｅ．，２００８　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＩＮＺＨＯＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　

运用几何画板动态演示　

无限逼近思想的探讨　

梁常东，檀木　巾／Ｊ、＇　’Ｉ且　／　大耀　ＦＥ　

（钦州学院数学与计算机科学系，广西钦州５３５０００）　

［摘要］　利用几何画板的迭代功能，动态演示数学的无限逼近的过程，搭建形象思维到抽象思维的桥　

梁，促进形象思维向抽象思维转化．　

［关键词］　无限逼近；动态演示；迭代　

［中图分类号］０２２３　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７３—８３１４（２００８）０３—００１１—０４　

果，例如，把一条线段　等分，事情虽然简单，却很　

容易误入歧途．一般的做法是：作一线段４曰一设　

定参数　一以点　为中心，将点曰缩小到原来的　

１／ｎ，得到点曰　一把点４迭代到点曰　．最后却发现　

线段的份数不对，长度也不相等．因此，有必要对　

在学习极限的概念、定积分的定义、定积分的　

应用等数学内容时，需要说明无限逼近的过程，传　

统的做法是利用静态的图形，依靠教材的描述，老　

师的讲解，让学生在大脑中去想象、去完成无限逼　

近的过程．随着信息技术的发展，我们可以利用数　

学教学软件平台实现无限逼近过程的动态演示．　

利用迭代功能进行　等分线段的关键技术作出说　

明．　

显然，动态的图象比静态的图象更能体现无限逼　

近思想的精髓，但老师们在制作动态的无限逼近　

方面的课件时感到制作难度大而且费时．下面从　

提高制作效率的角度，谈谈运用几何画板制作无　

２．１分离迭代不变量　

如果选择点Ｂ　为原象进行带参数的迭代，则　

点４的平移量由线段ＡＢ的长度和参数　确定，　

在迭代过程点４的位置会发生变化，因而线段ＡＢ　

的长度随之变化，迭代的结果并不是对线段ＡＢ　

限逼近类课件的简易方法，并给出原理解释．　

１　原理分析　

几何画板中，重复的图象或数据变换过程可　

进行ｎ等份，而是按比例分割，分割后得到的线段　

是ｎ＋１段而不是ｎ段（图１）．为实现线段ＡＢ的　

等份，可以在ＡＢ上任取一点Ｄ，将点Ｄ按向量　

ＡＢ　平移，得到Ｄ　，迭代次数设置为／／，一１，把点Ｄ　

迭代到点Ｄ　，这样能确保迭代过程中的平移量不　

变，从而达到／／，等份的效果．（图２）　

１　

以通过迭代或带参数的迭代功能实现．通过迭代　

功能对图象进行变换，一方面能够省去烦琐的重　

复操作过程，简化操作步骤；另一方面能够通过迭　

代次数变化来实现动态演示，使得无限逼近等思　

想方法得到更为直观形象的体现．　

ｎ＝５．００　－－１＝４．００÷：Ｏ．２Ｏ　

，‘　

２技术关键　

由于对迭代原理不了解，或对数学原理不熟　

Ａ　

Ｄ　

Ｂｆ　Ｂ　

悉，人们在使用迭代功能时往往得不到希望的效　

圈１　

［收稿日期］２００８—０４—１１　

［基金项目］新世纪广西高等教育教学改革工程“十一五”第一批立项项目（桂教高教［２００５］１６８号１７８）　

［作者简介］粢常东（１９６５一），男，广西灵山人，钦州学院数学与计算机科学系讲师．　

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１２　

１　

钦州学院学报　

案例２

Ｂ　

第２３卷　

动态演示割圆术　

ｎ＝５．ＯＯ　

Ａ　

Ｄ　

Ｂ　

Ｄ　

ｎ一１＝４．ＯＯ　一　０．２Ｏ　

船　

制作要求：圆内接正多边形的边数可以变化，　

计算圆内接正凡边形的面积，随着正多边形边数　

的增加，能观察到正多边形及其面积逐步逼近的　

趋势．　

图２　

一

般地，进行带参数的迭代，如果要求迭代过　

程中的旋转量、平移量等保持不变，只需把决定旋　

转量、平移量的对象独立出来，不参与迭代，即不　

制作步骤：　

（１）建立参数建立参数凡＝６，计算凡一１，计　

作为迭代的原像或初像．　

２．２同步技术　

分离迭代不变量后，迭代从点Ｄ开始，而实　

际要求是从点Ａ开始，因此，需要拖动点Ｄ，使之　

与点Ａ重合，实现同步演示．　

３　应用举例　

案例１　动态演示数列极限的几何意义　

制作要求：数列的项数可以变化，绘制出各项　

在　轴上的对应点，随着项数的增加，能观察到数　

列的项及其对应点逐步逼近的趋势．　

制作步骤：　

（１）选择数列不妨以数列｛［凡＋（一１）　】／ｎ｝为　

例．　

（２）建立参数建５Ｙ＿ｊ￣数凡＝１，ｍ＝１０；计算凡　

＋１；　

（３）绘制点绘制点（凡，０）一计算口　＝［（凡＋　

１）＋（一１）‘　一　］／凡—　绘制点（口　，０）　

（４）迭代依次选择点（凡，０）、参数ｍ，并按住　

Ｓｈｉｆｔ键不放，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】　

功能打开迭代对话框，把（凡，０）的初象置为（口　，　

０），进行迭代（图３）；　

（５）动态演示数列极限的几何意义隐藏不必　

要显示的对象，选择参数ｍ，按“＋”号或“一”号　

改变参数的值，观察图形的变化一考察　足够大　

时数列的项及其对应点的变化趋势．（图３）　

船　船＋１　

：

１．ＯＯ　

说　

Ｏ　２　０Ｏ　Ｇ．５Ｇ　

＋１＝２．０　

选择参数ｍ　

１　３．　Ｏ　１．３３　

２　４．０Ｏ　Ｇ．７Ｓ　

＝０。００　

按下”＋”　

３　５．　０　１Ｉ２Ｏ　

或“一”健，　

４　６　Ｏ　Ｇｒ８３　

ａ＝Ｏ．５Ｏ　

观察口　和图　

５　７，０Ｏ　１．１４　

ｍ＝８．０ｏ　

象的变化　

Ｓ　８　０　Ｇ　８８　

７　９．００　１　１１　

８　１８．ＯＧ　０　９８　

…

｛…＿｝…　…叶…＋　・｝・…｝…｛……　＋…　…十…｛一　｝　……　｛…峰　

Ａ　０．５　１　１．５　

图３　

算３６０。／ｎ；　

（２）作圆：作圆０；　

（３）作圆内接正多边形的一边在圆０上任取　

一

点Ｂ一以Ｄ为旋转中心，将点Ｂ旋转３６０。／ｎ，得　

到点Ｃ一连结Ｂ、Ｃ一填充ＡＡＢＣ的内部；　

（４）作圆内接正多边形依次选择点Ｂ参数　

凡，并按往Ｓｈｉｆｔ键，通过【变换】菜单的【带参数的　

迭代】功能打开迭代对话框，把Ｂ的初象置为Ｃ，　

进行迭代；　

（５）计算面积计算圆的面积Ｓ　＝凡・Ｓ　。．　

（６）动态演示割圆术隐藏不必要演示的对　

象，选择参数凡，按“＋”号或“一”号改变参数的　

值，观察图形的变化一考察凡足够大时正多边形　

及其面积的变化趋势．（图４）　

＝Ｓ　Ｉ＝５　Ｏ０　

３Ｓ　

说明　

６０∞。　

选择参数　，按　

“

面积矗ＯＣＢ＝３．７４厘米２　

＋”或“一”键，观察　

图象和面积的变化。　

Ｓ　，（蘅织矗ＯＣＢ）＝２２．４３厘米　

△Ｄａ；　＾面锻矗Ｄ∞）　

３　厦　２　２２４３厦岽２　

３　７４蓬　２　２２４３厦米２　

３了４厦米２　２２，４３鏖米２　

３弘磨　２　２２￣４５匾岽２　

３　７ｄ攫　２　２２　３照辩　

３　７４厦米２　２２４３攫岽２　

图４　

案例３　动态演示定积分的几何意义　

制作要求：（１）曲边梯形的分割次数可以变　

化，随着分割次数的增加，能观察到图形逐步逼近　

的趋势；（２）对于不同的分割，能计算出用来近似　

曲边梯形的各小矩形的面积和，作为曲边梯形面　

积的近似值．　

制作步骤：　

（１）设定曲边梯形：建立坐标系一设定函数：　

不妨取－厂（　）＝口　，其中口为新建参数，打开参数属　

性对话框，把口的键盘调节值设为０．１一设定区　

间：在　轴上作线段Ａ　一绘制函数图象在设定区　

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第３期　梁常东，檀大耀：运用几何画板动态演示无限逼近思想的探讨　１３　

间上的图象：在ＡＢ上任取一点ｃ，度量点Ａ、Ｂ、ｃ　

（５）分割曲边梯形：计算凡一１，然后依次选择　

的横坐标　、　、　。，通过【图表】菜单的【绘制点】　点Ｄ、参数ｓ。、参数凡一１，并按住Ｓｈｉｆｔ键，通过【变　

功能，得到点（　，口　）、（　，口　）、（　，口叼），选择　

换】菜单的【带参数的迭代】功能打开迭代对话　

点ｃ和点Ｃ　（　。，口”），通过【作图】菜单的【轨迹】　

框，把Ｄ的初象置为Ｄ　，参数　。的初象置为　，进　

功能，作出函数在设定区间的图象（如图５）；　

行迭代一拖动点Ｄ，使之与点Ａ重合（图７）；　

（２）作小曲边梯形：隐藏点ｃ、ｃ　，在线段ＡＢ　

（６）观察图象与曲边梯形面积近似值的变　

１　

上任取一点Ｄ，新建参数凡，计算出　，以Ａ为中　

化：隐藏不必要演示的对象，选择参数凡或口，按　

，　

“＋”号或“一”号改变参数的值，观察图形的变化　

１　

心，　为定比，对点Ｂ进行缩放，得到点Ｂ　，标记　

一

观察由各小矩形合并在一起而组成的多边形的　

，　

特点，并考察凡足够大时多边形的面积的变化趋　

向量ＡＢ　，按标记向量对点Ｄ进行平移，得到点Ｄ　

势．　

一绘制函数图象上的点Ｅ、Ｆ（如图５），连接ＤＥ、　

案例４动态演示旋转体的体积　

Ｄ　Ｆ，得到小曲边梯形Ｄ　Ｄ　Ｆ　Ｅ（如图５）；　

制作要求：（１）动态演示用两个垂直于旋转　

（３）作小曲边梯形的近似矩形：绘制点日，得　

轴的平面去截旋转体所得的一段切片；（２）将旋　

到矩形Ｄ　Ｄ　Ｈ　Ｅ，用某种颜色填充其内部（图６）；　

转体分割分凡份，分割份数可以变化，计算出用来　

近似旋转体的各小圆柱的体积和，作为旋转体的　

１　

体积的近似值．　

一＝

０．１０　

制作步骤：　

ｎ№＝１．７０　

（１）选择母线：以＿厂（　）＝ｓｉｎｘ在［０，订］上的一　

。＝２．０１　

段图象为母线，并将母线反射到旋转轴的另一侧；　

。＝

２．３８　

（图８）　

．＝

３．１３　

（２）设置参数：建立参数ｎ＝５，作为分割次　

数，计算￣ｒ／ｒｔ，单位设为厘米；　

图５　

（３）构造切片：在旋转轴ＡＢ上取点ｃ，构造　

点Ｄ（　。，　（　。）一利用自定义工具中的椭圆工　

具，选择中心和顶点类型，构造椭圆∞一将点ｃ　

１　

一＝

０．１０　

按水平方向平移￣ｒ／ｒｔ厘米，得到点　，构造点Ｆ　

（　，　））一构造椭圆ＥＦ一将椭圆ＣＤ按水平　

口　１．７０　

方向平移￣ｒ／ｒｔ厘米．　

ｎ～２．０１　

（４）计算体积的近似值建立参数　＝０一　

。　

２．３８　

计算仃・（ＣＤ）　・衄一计算　＝　＋仃・（ＣＤ）。　

ｎ．＝

３．１３　

・

ｃ　一依次选择点Ｃ、参数　、参数凡一１，并按下　

Ｓｈｉｆｔ键，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】功能　

图６　

打开迭代对话框，把Ｃ的初象置为　，参数　的　

初象置为　，进行迭代一拖动点Ｃ，使之与点４重　

ｎ　ｌ萄积Ｄ。Ｄ芷　＋（雌攫Ｄ　ＤＥｌｌ　

合（图９）；　

篓　』——　…　

１ｌ　０　７７攫术　２　

　ｌ：篓壁　Ｉ　：　——　

说明　

３ｌ－２Ｚ厘米　ｉ　３４０　

４ｌ’２７厦戢　ｉ　４　６７　

（　）・ｌ厘米＝ｏ．６３厘米　

１．拖动点以，观察　

５ｌ　１铺目涨　Ｉ　８１７　

切片的运动变化；　

ｓ；Ｔ　７蜃采　ｆ　７９４　

忍＝５．００　

ＸＡ＝０．Ｏ０　

７｝２∞曩举　；　１。。３　

２．选择参数ｎ，按“＋　或　

Ｘ￡：１

“

一

８；２４７　求　；　１２４９　

ｎ一１　４．００　

．

２４　

”键改变参数，观察　

０｛２§１鹰辩　ｌ　１５．４１　

　＝０　９４　

切片的运动变化　

图７　

Ｘ＝Ｏ．６１　

越

Ｆ　

ｆ（Ｘｃ）　０．５７　

Ｂ　

（４）设置曲边梯形面积近似值的累加器：度　

量矩形Ｄ　Ｄ　日　的面积，新建ｓ。＝０，计算ｓ　＝ｓ。＋　

图８　

面积ＤＤ　ＦＥ．　

（下转第１７页）　

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第３期　王远干：多目标线性规划模型的模糊数学解法　１７　

［１１］李学全，李辉．多目标线性规划的模糊折衷算法［Ｊ］．中南　

大学学报（自然科学版），２００４，３５（３）：５１４—５１７．　

［１２］王嫣，张志宏．模糊线性规划的最优解分析［Ｊ］．北京工商　

大学学报（自然科学版），２００７，２５（５）：６７—６９．　

Ｏｎｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ。Ｍｕｌｔｉ－Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　Ｍｏｄｅｌ　、　

ｗｉｔｈ　Ｆｕｚｚｙ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　

ＷＡＮＧ　Ｙｕａｎ—ｇａｎ　

（　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｑｉｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｚｈｏｕ　５３５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ｏｆｔｅｎ　ｂｅｅｎ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎ—　

ｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｃｏｎｔｅｓｔ　ｉｎ。Ｍｏｄｅｌｉｎｇ．Ｉｔ　ｒｅｑｕｉｒｅｓ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｖａｌｕｅ　ａｔ　

ｈｅｔ　ｓａｍｅ　ｔｉｍｅ，ＳＯ　ｉｔ　ｍａｋｅｓ　ｈｅ　ｔｓｏｌｖｉｎｇ　ｏｆ　ｈｅｔ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｍｏｒｅ　ｄｉｆｉｃｕｌｔｌｙ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｆｅｘｉｂｌｅ　ｉｎｄｅｘｅｓ　ａｎｄ　ｌｅｔ　ｅｖｅｒｙ　ｓｕｂ—ｏｂｊｅｃｔ　ｆｕｚｚ—　

ｉｎｇ，ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｕｚｚｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ：ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ｗｅ　ｃａｎ　ｔｕｒｎ　ｔｈｅ　

ｍｕｌｔｉ．ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ。ｉｎｔｏ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ａｎｄ　ｇｅｔ　ｈｅｔ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｅａｓｉｌｙ　ｗｉｈ　ｔｔｈｅ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｔｏｏｌｓ　ｓｕｃｈ　ａｓ，Ｍａｔ—　

Ｌａｂ，Ｌｉｎｇｏ，ｅｔｃ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｏｎｅ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｉｌｌｕｍｉｎａｔｅ　ｈｏｗ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｆｕｚｚｖ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｓｕｉｔａｂｌｅ　ｆｏｒ　ｕｓｉｎｇ　ｉｎ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｃｏｎｔｅｓｔ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ；Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ。ｐｒｏｂｌｅｍ；Ｆｕｚｚｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；Ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｉｎｄｅｘｅｓ　

［责任编辑江元杪］　

（上接第１３页）　

ｎ　５。００　说明　

ｎ　

［参考文献］　

［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版（上））［Ｍ］．高等教育　

出版社，２００７．　

１．拖动点ｃ，观察　

Ｏ　Ｏ．ＯＯ　

ｎ一１＝４　００切片的运动变化；　

１　Ｏ．６８　

２．选择参数　，按“＋”　

２　２　４７　

ｏ＝Ｏ。ＯＯ　或“一”键改变参数，　

３　４．２５　

Ｏ。ＯＯ　观察切片的运动变化。　

４　４．９３　

图９　

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　Ｕｓｉｎｇ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｓｋｅｔｃｈｐａｄ　

ＬＩＡＮＧ　Ｃｈａｎｇ—ｄｏｎｇ．　ｒＡＮ　Ｄａ—ｙａｏ　

（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｑｉｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｚｈｏｕ　５３５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ　ｈｅ　ｉｔｔｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｓｋｅｔｃｈｐａｄ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ａｂｏｕｔ　

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｕｉｌｄｉｎｇ　ｂｒｉｄｇｅｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｔｏ　ａｂｓｔｒａｃｔ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ，Ｔｏ　ｐｒｏｍｏｔｅ　ｔｈｅ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｂｓｔｒａｃｔ　

ｔｈｉｎｋｉｎｇ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｉｎｉｆｎｔｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；Ｄｙｎａｍｉｃ　ｄｅｍｏ；Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　

［责任编辑卢明德］　

本文标签： 迭代参数演示动态逼近