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2024年7月31日发(作者：)
陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题
一、单选题
1.
已知中，，，，点
P
为边
AB
上的动点，则的最小值为（
）
A
．
-4
2.
若双曲线
B
．
-2
的渐近线与圆
C
．
2D
．
4
无交点，则的离心率的取值范围为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3.
给出下列命题：
①
“
幂函数
；④
的图象不经过第四象限
”
的逆命题、否命题、逆否命题中只有个是真命题；②
是函数在其定义域上为奇函数的充要条件．
，；③，
其中真命题的个数是
( )
A
．
4.
已知直线与圆：
B
．
相交于、两点，则
“
C
．
”
是
“”
的（
）
D
．
A
．充分不必要条件
C
．充要条件
B
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
，，侧面积为
72
，则该正四棱
5.
斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为
台的体积为（
）
A
．
56
B
．
C
．
D
．
6.
已知函数
，则
，的定义域均为，且
（
）
，，若的图象关于直线对称，
A
．
B
．
C
．
0D
．
2
分别为抛物线
7.
抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、
的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（
）
A
．
B
．
的直线与圆：相切于
A
、两点，那么
C
．
D
．
8.
已知过点（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
9.
若偶函数满足，则
A
．
1
10.
关于
x
的不等式
B
．
0C
．
-1
的解集为，则实数
a
的取值范围为（
）
D
．
5
A
．
C
．
B
．
D
．
11.
已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（
）．
A
．存在直线
C
．存在直线
12.
已知向量
，使
，使
l
，
m
相交
B
．存在直线
D
．存在直线
，与的夹角为，
，使
，使
l
，
m
所成角为
满足，，则的最大值为
A
．
B
．
C
．
D
．
13.
已知定义在上的函数，对任意正数
x
，
y
满足，且当时，，若
，则实数
a
的取值范围是（
）
A
．
14.
若
，则
B
．
的值为（
）
C
．
D
．
A
．
B
．
C
．
D
．
15.
在抛物线上，横坐标为
4
的点到焦点的距离为
5
，则
的值为（
）
A
．
B
．
1C
．
2D
．
4
中，底面为矩形，
16.
《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为
“
羡除
”
的五面体．如图所示，在羡除
和均为正三角形，∥平面，，则该羡除的外接球的表面积为（
）
A
．
二、多选题
B
．
C
．
D
．
17.
（多选）下列四个命题中，正确的有（
）
A
．数列的第项为
B
．已知数列的通项公式为，则
-8
是该数列的第
7
项
C
．数列
3
，
5
，
9
，
17
，
33…
的一个通项公式为
D
．数列的通项公式为，则数列是递增数列
18.
设函数，则下列结论正确的是（
）
A
．
B
．
的一个周期为
的图象关于直线对称
C
．函数向左平移
D
．在区间
后所得函数为奇函数
上单调递增
19.
抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为准线上异于的一点，直线上的两点，满足（为
坐标原点），分别过，作轴平行线交抛物线于，两点，则（
）
A
．
C
．直线过定点
B
．
D
．五边形的周长
20.
要得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A
．作关于
y
轴对称图形即可
C
．向左平移个单位长度即可
21.
如图所示，在长方体
B
．向左平移个单位长度即可
D
．向右平移个单位长度即可
中，是的中点，直线交平面于点，则（
）
A
．
B
．
三点共线
的长度为
1
与平面
的面积为
所成角的正切值为
C
．直线
D
．
22.
给出下面四个推断，其中正确的为（
）
.
A
．若
C
．若，
，则
，则
B
．若
D
．若
，则
，
；
，则
23.
蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率
x
（每分钟鸣叫的次数）与气温
y
（单位：
℃
）存在着较强的线性相
关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了
y
关于
x
的经验回归方程，则下列说法正确的是（
）
x
（单位：次数
/
分钟）
y
（单位：
℃
）
A
．
k
的值是
20
B
．变量
x
，
y
呈正相关关系
C
．若
x
的值增加
1
，则
y
的值约增加
0.25
D
．当蟋蟀
52
次
/
分鸣叫时，该地当时的气温预测值为
33.5℃
24.
已知椭圆
C
：
确的是（
）
的左．右焦点分别为，
20
25
30
27.5
40
29
50
32.5
60
36
且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正
A
．的最小值为
B
．椭圆
C
的短轴长可能为
2
C
．椭圆
C
的离心率的取值范围为
D
．若
三、填空题
，则椭圆
C
的长轴长为
25.
的值为
______.
26.
若数列满足，，则的最小值是
______
．
27.
设为单位向量，且则
____________
．
28.
已知三棱锥，平面平面，为中点，，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截
面面积的取值范围为
______
．
29.
设，且，则
m
＝
________.
30.
如图，在直角梯形
棱锥
中，，将
沿向上折起，使面面，则三
的外接球的表面积为
_____________
．
31.
在平面直角坐标系中，圆交轴于，交轴于，四边形的面积为
18
，则
___________.
32.
如图，半径为
2
的半球内有一个内接正六棱锥
P
－
ABCDEF
，则此正六棱锥的侧面积是
________
．
四、解答题
33.
已知数列
(1)
求数列
(2)
设
是公比为
2
的等比数列，数列是等差数列，．
的通项公式；
，求数列的前项和．
34.
已知
（
1
）求的值；
，并求值
.
（
2
）若是第三象限的角，化简三角式
35.
已知函数
（
1
）化简函数
（
2
）若点
.
的表达式，并求函数
是
的最小正周期；
，求点的坐标
.
图象的对称中心，且
36.
已知
(1)
求的大小；
(2)
若
的内角的对边分别为，且，
，求的面积．
37.
化简：．
38.
已知椭圆
(1)
求椭圆的标准方程；
(2)
是否存在过点
不存在，请说明理由
.
的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为
.
的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若
五、解答题
39. 2021
年
11
月
7
日，在《英雄联盟》
S11
的总决赛中，中国电子竞技俱乐部
EDG
完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热
潮．为了调查
A
地
25
岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了
500
人作出调查，所得数据统计如
下表所示：
热爱电子竞技
男性
女性
对电子竞技无
感
200
100
50
(1)
判断是否有的把握认为地
25
岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？
(2)
若按照性别进行分层抽样，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取
6
人，再从这
6
人中任取
2
人，求至少有
1
人是女生的概率．
附：，其中．
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
40.
甲、乙两地教育部门到某师范大学实施
“
优才招聘计划
”
，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这
3
项程序后直接签约一批优秀
毕业生，已知
3
项程序分别由
3
个考核组独立依次考核，当
3
项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系
130
名毕业生参加甲地教育部门
“
优
才招聘计划
”
的具体情况如下表（不存在通过
3
项程序考核放弃签约的情况）．
性别
人数
男生
女生
参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数
45
60
15
10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的
“
优才招聘计划
”
，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小
明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，
m
，其中
0
＜
m
＜
1
．
(1)
判断是否有
90%
的把握认为这
130
名毕业生去年参加甲地教育部门
“
优才招聘计划
”
能否签约与性别有关；
(2)
若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件
A
，
B
，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为
X
，
Y
．当
E
（
X
）＞
E
（
Y
）时，证明：
P
（
A
）
＞
P
（
B
）．
参考公式与临界值表：，
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
．
0.10
k2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
41.
某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在
35
分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，
10
名进
入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：
摸底成绩
期末成绩
并计算得：
（
1
）画出散点图；
50
53
35
51
40
56
55
68
80
87
60
71
65
46
35
31
90
79
50
68
（
2
）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩
(
精确到
0.1)
；
（
3
）如果期末考试
60
分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．
(
附：
)
42.
若
①
②对任意的
则称集合组
为集合
；
，至少存在一个
具有性质
.
且的子集，且满足两个条件：
，使或
.
如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为
.
…
…
………
…
（
Ⅰ
）当
集合组
1
：
集合组
2
：
（
Ⅱ
）当
（
Ⅲ
）当
时，若集合组
时，集合组
时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
；
…
.
具有性质，请先画出所对应的行
3
列的一个数表，再依此表格分别写出集合
是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及
；
的最小值
.
（其中
表示集合所含元素的个数）
43. 1766
年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星
.
德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的
距离（单位：
AU
，
AU
是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存
在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号
（
x
）
离太阳的距离
（
y
）
1
（金
星）
2
（地
球）
3
（火
星）
4
（
）
5
（木
星）
6
（土
星）
0.71.01.65.210.0
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于
1801
年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星
.
（
1
）为了描述行星离太阳的距离
y
与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中
选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；
①；②；③
.
（
2
）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
（
3
）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离
.
44.
某农场主拥有两个面积都是
200
亩的农场
——“
生态农场
”
与
“
亲子农场
”
，种植的都是黄桃，黄桃根据品相和质量大小分为优级果､一级果､
残次果三个等级
.
农场主随机抽取了两个农场的黄桃各
100
千克，得到如下数据：
“
生态农场
”
优级果和一级果共
95
千克，两个农场的残次果一
共
20
千克，优级果数目如下：
“
生态农场
”20
千克，
“
亲子农场
”25
千克
.
(1)
根据提供的数据，作出
2×2
列联表，并判断是否有
95%
的把握认为残次果率与农场有关？
(2)
种植黄桃的成本为
5
元
/
千克，且黄桃价格如下表：
等级
价格（元
/
千克）
优级果一级果残次果
108-0.5
（无害化处理费用）
由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，以样本的频率作为概率，请你根据统计的知识帮他做出决策
.
（假设两个农场的产量相
同）
参考公式：，其中
n=a+b+c+d.
0.100
2.706
六、解答题
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
45.
设
(1)
求证：
(2)
若
；
恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）
46.
已知数列
（
1
）求证：数列
（
2
）当
的前项和为，满足
.
等差数列；
，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对时，记
；若不存在，请说明理由；
（
3
）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，
.
47.
已知椭圆
面积的最大值为
的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，
.
(1)
求的方程；
(2)
过椭圆的右焦点的直线与交于
的斜率分别为
①求的取值范围；
②求证：为定值
.
两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线
.
48.
已知
(1)
求证：
(2)
求
，且
；
．
的最大值．
49.
已知函数
(1)
当时，求证：
在
，，
对于任意正实数
x
恒成立
.
.
(2)
若函数上有且仅有两个极值点，求实数
t
的取值范围
.
50.
已知椭圆
C
；
(1)
求椭圆
C
的方程；
的左右顶点分别为，，以线段为边的一个正三角形与椭圆
C
的一个公共点为
P
（，）
.
(2)
若过椭圆
C
的右焦点
F
的直线与椭圆
C
交于点
M
，
N
，直线
M
，交于点
D
，求证：点
D
在定直线
l
上，并求出直线
l
的方程
.
七、解答题
51.
某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出
“
玩游戏，送礼券
”
的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加
游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双
面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两
次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进
行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得
200
元礼券，方案二，不
使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得
300
元礼券，不管选择方案一
还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得
100
元礼券．
(1)
求第一次投掷后，向上的面为正面的概率．
(2)
若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率．
(3)
在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽
奖方案更合适．
52.
天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其
单价
x(
单位
;
元
)
与销量
y(
单位
:
副
)
的相关数据如下表：
单
价
x
（元
）
销
量
y
（副
）
8
14
（
1
）已知销量
y
与单价
x
具有线性相关关系，求
y
关于
x
的线性回归方程
;
（
2
）若每副该加热手套的成本为
65
元，试销售结束后，请利用（
1
）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大
?(
结果保留
到整数
)
附
:
对于一组数据
(x
1
，
y
1
)
，
(x
2
，
y
2
)
，
…
，
(x
n
，
y
n
)
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
参考数据
:
53.
某农科所发现，一种作物的年收获量
y
（单位：
离不超过
）与它
“
相近
”
作物的株数
x
具有线性相关关系（所谓两株作物
“
相近
”
是指它们的直线距
），并分别记录了相近作物的株数为
1
，
2
，
3
，
5
，
6
，
7
时，该作物的年收获量的相关数据如下：
x
y
1
60
2
55
3
53
5
46
6
45
7
41
，若
（
1
）求该作物的年收获量
y
关于它
“
相近
”
作物的株数
x
的线性回归方程；
（
2
）农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，图中每个小正方形的边长均为
从直角梯形地块的边界和内部分别各随机选取一株该作物，求这两株作物
“
相近
”
且年产量相差
附：对于一组数据，其回归直线
的概率．
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
参考数据：，，
．
，
54.
在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在处每投中一球得分，在处每投中一球得分，如果前两次得分之
和超过分即停止投篮，否则投第三次
.
某同学在处投中的概率为
投
.
用表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为
，在处投中的概率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处
（
1
）求的值；
（
2
）求随机变量的数学期望
.
55.
为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料
.
已知蛋糕的成本为
元
/
个，蛋糕的成本为元
/
个，两种蛋糕的售价均为元
/
个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理
.
为更好了解
天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得市场的需求情况，、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（
到如下统计表
.
蛋糕的销售量（个）
天数
蛋糕的销售量（个）
天数
(1)
以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率；
与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？
(2)
若每日生产、两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当
56.
如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点
P
和居民区
O
的公路，点
P
所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为
，且
为
a
万元
，
，点
P
到平面的距离
，当山坡上公路长度为
．沿山脚原有一段笔直的公路
AB
可供利用，从点
O
到山脚修路的造价
时，其造价为万元，已知，，原有公路改建费用为万元
，．
(1)
在
AB
上求一点
D
，使沿折线
PDAO
修建公路的总造价最小；
(2)
对于（
1
）中得到的点
D
，在
DA
上求一点
E
，使沿折线
PDEO
修建公路的总造价最小；
(3)
在
AB
上是否存在两个不同的点
八、解答题
，使沿折线修建公路的总造价小于（
2
）中得到的最小总造价，证明你的结论．
57.
已知首项为
2
的数列
（
1
）求实数
t
的值及数列
（
2
）将①，②
中，前
n
项和
的通项公式
满足
；
．
，③三个条件任选一个补充在题中，求数列的前
n
项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
58.
如图，在直三棱柱中，，，且二面角为为
45°.
(1)
求棱
AC
的长；
(2)
若
D
为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值
.
59.
已知函数
（
1
）讨论函数
（
2
）若
的单调区间；
.
恒成立，求实数
m
的取值范围
.
有两个极值点，（），且
60.
已知
(1)
求角
A
；
(2)
若，
中角
、、所对的边分别为、、，且满足，．
边上中线，求的面积．
61.
设函数
(1)
求
(2)
若
是定义在上的奇函数，且当时，
.
的解析式；
，使得，求实数的取值范围
.
62.
如图，已知四棱锥
为
O
点．又
的底面
．
为等腰梯形，，与相交于点
O
，且顶点
P
在底面上的射影恰
(1)
求异面直线
(2)
求二面角
(3)
设点
M
在棱
与所成角的余弦值；
的大小；
上，且，问为何值时，平面．
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