高等数学:函数的基本概念

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2024年1月13日发(作者：)

函数的基本概念

在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着。17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念。在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置。本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性。

1.1.1邻域

定义1.1.1 设a与是两个实数,且0,数集{x|axa}称为点a的邻域,记为

U(a,){x|axa}

其中点a叫做该邻域的中心,叫做该邻域的半径。(见图111 )

图111

由于axa相当于|xa|，因此

U(a,){x||xa|}

ˆ,)，若把邻域U(a,)的中心去掉，所得到的邻域称为点a的去心邻域，记为U(a即

ˆ,){x|0|xa|}

U(a更一般地，以a为中心的任何开区间均是点a的邻域。当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为U(a)。

为了使用方便，有时把开区间(a,a)称为点a的左邻域，把开区间(a,a)称为

点a的右邻域。

1.1.2 函数的概念

1. 函数的定义

定义1.1.2 设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x, 按照f

都有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在集合D上的函数，记作

yf(x)，xD

其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为该函数的定义域，也记为Df，即DfD

如果对于自变量x的某个确定的值x0，因变量y能够得到一个确定的值，那么就称函数f在x0处有定义，其因变量的值或函数f的函数值记为

yxx,f(x)xx 或f(x0)

00当自变量遍取D的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或f(D)，即

Rff(D){y|yf(x),xD}

注：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则均相同。

表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“”、“”等，相应地函数可记作yg(x)，yF(x)，y(x)，y(x)等。有时还可直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作yy(x)。但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们。

2. 函数的定义域

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，其定义域根据实际背景中变量的实际意义确定；另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。（注：在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“yf(x)”表达，而不必再写出Df）

【例1】 确定函数

f(x)32xx2ln(x2)

的定义域

解 该函数的定义域应为满足不等式组

32xx20

x20的x值的全体，解此不等式组，得其定义域为{x|2x3}，即(2,3]

1.1.3函数的常用表示法

1. 表格法 自变量的值与对应的函数值列成表格的方法。

2. 图像法 在坐标系中用图形来表示函数关系的方法。

3. 公式法（解析法） 自变量和因变量之间的函数关系用数学表达式（又称为解析式）来表示的方法。

根据函数的解析表达式的形式不同，函数也可分为显函数、隐函数、参数方程表示的函数和分段函数四种：

（1）显函数 函数y由x的解析表达式直接表示，例如，y(x1)。

2（2）隐函数 函数的自变量x与因变量y的对应关系由方程F(x,y)0来确定，例如exyxy。

（3）参数方程表示的函数 函数的自变量x与因变量y的对应关系通过第三个变量联系起来，例如

xg(t)

t为参变量。

yf(t)（4）分段函数 函数在定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式。以下来看几个分段函数的例子。

【例2】 绝对值函数

x,x0

y|x|x,x0的定义域为D(,)，值域Rf[0,)，图形如图112。

图112 图113

【例3】 符号函数

1,x0ysgnx0,x0

1,x0的定义域为D(,)，值域Rf{1,0,1}，图形如图113。

【例4】 取整函数y[x]，其中，[x]表示不超过x的最大整数。例如，[]0，23[3]1，[]3，[2]2，[2.3]3。

取整函数的定义域为D(,)，值域RfZ，图形如图114。

图114

【例5】 狄利克雷函数

yD(x)1,当x是有理数时

0,当x是无理数时的定义域为D(,)，值域Rf{0,1}

1.1.4函数关系的建立

为解决实际问题，首先应将该问题量化，从而建立起该问题的数学模型，即建立函数关系。要把实际问题中的函数关系正确的抽象出来，首先应分析哪个是常量，哪个是变量，然后确定选取哪个为自变量，哪个为因变量，最后根据题意建立它们之间的函数关系，同时给

出函数的定义域。

【例 6】 旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的物品，超过 20 kg 而不超过 50

kg 的部分每kg 交费a元，超过50 kg 部分每 kg 交费

b元。求运费与携带物品重量的函数关系。

解 设物品重量为xkg，应交运费为y元。由题意可知这时应考虑三种情况：

情况一：重量不超过 20kg，这时

y0, x[0,20]

情况二：重量大于 20kg，但不超过 50kg，这时

y(x20)a, x(20,50]

情况三：重量超过 50kg，这时

y(5020)a(x50)b, x50

因此，所求的函数是一个分段函数

x[0,20]0 ，ya(x20) ， x(20,50]

a(5020)b(x50), x501.1.5反函数

函数关系的实质就是从定量分析的角度来描述运动过程中变量之间的相互依赖关系。但在研究过程中，哪个作为自变量，哪个作为因变量（函数），是由具体问题来决定的。例如，设某作匀速直线运动的物体的运动速度为v，运动时间为t，则其位移s是时间t的函数：svt，这里t是自变量，s是因变量；若已知位移s，反过来求时间t，则有ts，此处vs是自变量，t是因变量。以上两式是同一个关系的两种写法，但从函数的观点看，由于对应法则不同，它们是两个不同的函数，常称它们互为反函数。

一般地，有如下定义：

定义1.1.3 设

yf(x)为定义在D上的函数，其值域为M。若对于数集M中的每

个数y，数集D中都有唯一的一个数x使yf(x)，这就是说变量x是变量y的函数。 这个函数称为函数yf(x) 的反函数，记为xf1(y)。其定义域为M，

值域为D。

相对于反函数，函数yf(x)称为直接函数。

注：（1）习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此函数yf(x)的反函数xf1(y)常改写为yf1(x)。

1（2）在同一坐标平面内，函数yf(x)与xf(y) 二者的图形是相同的，

yf(x)与yf1(x)二者的图形关于直线yx对称。

1（3）函数yf(x)与其反函数yf(x)之间存在着如下关系：

1f1(f(x))x，f(f(x))x

（4）按此定义，只有单调函数才存在反函数。对于在定义域内不单调的函数，应限定在某一单调区间内才可求反函数。

exex【例7】 求函数y的反函数。

2exexxx2解：由y，可得eyy1，显然e0，故只有

2exyy21

从而

xln(y即所求的反函数为

y21)

yln(xx21)

1.1.6函数的基本性态

1. 单调性

设函数yf(x)的定义域为D，区间ID（注 ：当不需要特别辨明区间是否包含端点、是否有限或无限时，常用I表示之），对于区间I上的任意两点x1及x2，当x1x2时，若恒有

f(x1)f(x2)

则称函数f(x)在区间I上是单调增加函数；若恒有

f(x1)f(x2)

则称函数f(x)在区间I上是单调减少函数。

例如，函数ysinx在区间[的。

2. 奇偶性

设函数yf(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有3,]上是单调增加的，在区间[,]上是单调减少2222f(x)f(x)，则称yf(x) 为偶函数；如果有f(x)f(x)，则称

yf(x)为奇函数；不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数。

偶函数的图形是关于y轴对称的，如函数ycosx；奇函数的图形是关于原点对称的，如ysinx。

3. 周期性

设函数yf(x) 的定义域为D ，若存在正数T，使得对于一切xD，有(xT)D，且

f(xT)f(x)

则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常所说的周期函数的周期是指其最小正周期（注：并非每一个函数都有最小正周期，如常数函数ya及狄利克雷函数）。

4. 有界性

设函数yf(x) 的定义域为D，数集XD，若存在一个正数M，使得

|f(x)|M

对任一xX均成立，则称函数f(x)在X上有界，若这样的M不存在，就称函数f(x)在

这就是说，若对于任何正数M，总存在x1X，使|f(x1)|M，则函数f(x)X上无界，在X上无界。

例如，因为当x(,)时,恒有|sinx|1,所以函数f(x)sinx在

(,)内是有界函数。这里M1（当然，也可以取大于1的任何数作为M而使|f(x)|M成立。）

习题11

1．判断下列各组函数是否相同, 并说明理由：

（1）

y1与ysinxcosx；

22（2）

y2x1与x2y1；

（3）f(x)lgx与g(x)2lgx；

（4）f(x)x与g(x)2x2；

（5）f(x)x3x1与g(x)3x4x3。

2．求下列函数的（自然）定义域：

1x2；

1x2lg(3x)（2）f(x)54xx2；

sinxx1（3）yarcsin。

2（1）y3．设

f(x)求函数f(x3)的定义域。

4．某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内，每公里k元, 超过部分每公里为1,0x1

2,1x24k元。求运价m和里程s之间的函数关系。

55．判断下列函数的奇偶性：

ex11xln(1x1)。 （1）yln(x1x)； （2）f(x)xe11x2

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