自然条件下水温降温曲线

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2024年1月18日发(作者：)

在掌上实验室对热水的自然降温曲线进行数学建模

钱扬义* 陈健斌 吴宗志 王任跃 徐锦洪

(华南师范大学化学系

广州 510631)

摘 要：

手持技术（Hand held technology）与计算机技术构成了现代的科学实验室——掌上实验室。在本实验中，利用手持技术（数据采集器Multilog Pro和温度探头DT092）可以监测热水的自然降温过程，采集降温过程中的温度变化数据，利用计算机技术可以对降温曲线进行简单的数学建模。本文对此进行介绍。

关键词：

掌上实验室

热水降温过程 化学探究实验 数学建模

前 言

科学探究是新制定的全日制义务教育《化学课程标准》（实验稿）的内容标准中的一个一级主题，它是一种重要的学习方式，也是义务教育阶段的化学课程【1】的重要内容，对发展学生的科学素养具有不可替代的作用。本文从日常生活中的普通现象——热水的降温入手，在掌上实验室探究这一现象的过程，对这一过程进行数学建模，以培养和发展学生的科学素养。

1. 问题的提出

在日常生活中时我们常要用热水，例如我们口渴了要喝开水，冬天洗澡要用热水，等等。热水的温度比周围环境的温度要高，因此热水和周围的环境存在热传递，其温度会逐渐地下降，直至与环境的温度一致。一杯热水在自然的条件下与周围的环境发生热传递，其温度的下降有什么规律？能用数学公式表达吗？

2. 猜想与假设

由日常生活获得的经验：

1）热水在冬天降温快，在夏天降温慢，因此降温速度跟热水与环境的温差有关；

*本研究是中国教育学会“十五”科研规划重点课题：“掌上型信息技术产品在教学中的运用和开发研究”。

课题负责人和通讯联系人：钱扬义

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2）一杯水比一桶水降温快，因此速度与热水的体积有关，体积越小速度就越快。

3. 制定计划

以不同体积的热水作为探究的对象。将体积分别为50mL、100mL和200mL的水加热至沸腾，然后利用掌上实验室的Multilog Pro数据采集器和温度探头（DT092）对其降温过程进行监测，记录其温度变化数据，以便利用计算机作进一步的分析处理。

4. 实验探究

实验仪器

·Multilog Pro数据采集器

·普通温度探头（DT029）×2

·100mL量筒

·250mL圆底烧瓶

·铁架台及固定夹

·酒精灯

图-1 实验装置图

DT029是用感温半导体电阻制成的温度传感器，其外壳是导热性能极佳的金属，具有很强的抗化学腐蚀性能。工作原理：传感器接受一个5v的输入电压，经由感温电阻向数据采集器输出0～5v的电压信号，信号经采集器进行数模转换，以适当的形式贮存在内存里。DT029的测量范围为-25～+110℃，分辨率为0.25℃，测量误差为±1℃。

实验步骤

1）用量筒量取50mL水并将其注入圆底烧瓶，将水加热至沸腾。

2）将一个温度传感器（DT029）连接到Multilog Pro的I/O1端口，用以采集热水的降温数据；另一个连接到I/O2端口，用以采集环境的温度数据。开启数据采集器，设置采样频率为1per sec，采样总数为10 000。

3）将一个探头置于沸水中，另一个置于实验装置旁。约30sec后停止加热，同时开启按钮开始采集数据。

4）重复上述步骤依次采集体积为100mL和200mL的热水的降温过程温度变化数据。

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5）利用Db-lab软件将实验数据从Multilog Pro下载到计算机并完成降温曲线绘制，用科学计算绘图软件Origin对数据进行数学建模。

5. 数据处理

绘制曲线

图-2 是用计算机处理数据得出的降温曲线。

1101009080 B 50 mL

C 100 mL D 200 mL Room TemperatureTemperature/℃7-130Time/sec

图-2 热水降温曲线

从图-2可以看出，降温的初期热水的温度高，与环境的温差大，曲线很陡，这说明温差越大降温速度就越快，与第一个猜想吻合；体积为50mL的热水的降温曲线最陡，100mL的次之，200mL的最平，这说明热水的体积越小降温越快，体积越大降温越慢。这与我们的第二个猜想吻合。

表-1是三个不同体积的水实验的特征数据。

表-1 实验特征数据

50mL

100mL

200mL

起始温度(℃)

100.08

100.31

100.23

过程平均室温(℃)

30.91

30.68

31.26

温差(℃)

69.17

69.63

68.97

数学建模

图-2所示的三条曲线在形式上与指数衰减函数的图象相似，设其通式为：

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yy0Aext

（1）

xt其中y是实时温度，x是时间，y0、A、t是待定的参数。在降温的过程中，如果时间足够长，热水的温度最终会降到与环境的温度一致。式中Ae项无限地减xt小，那么y0就是环境的温度，对应表-1中的平均室温。当开始降温时 x＝0，Ae＝A，于是（1）式变为：

yy0A

（2）

因此A就是热水与环境的最大温差。

基于上面分析，可以将数据输入到科学计算绘图软件Origin（version 6.0）中进行曲线拟合，拟合的过程如下：

1）在Origin 6.0中打开工作簿中的数据（扩展名为.xls，其创建的方法是：先由Db-lab输出一个.csv文件，此文件可以由Microsoft Excel 2000打开，再利用Excel将其保存为Microcal Origin 6.0可以处理的.xls文件，或者直接将数据复制到Origin的工作簿中）；

2）分别绘制三组数据的散点图得到三个曲线图Graph1、Graph2和Graph3，击活Graph1为当前工作窗口。在菜单中选择Analysis-->Non-linear Curve

Fit，打开NLSF的Select Function对话框，选择ExpDec1，单击Start Fitting，此时分析系统会弹出对话框要求用户选择拟合的数据，用户只须单击active dataset，因为之前已将数据击活；

图-3 参数设置界面

3）设定参数：从表-1中将当前拟合的相应参数（y0为室温、A为温差）输入到文字框中，将y0、A后的Vary选项的√去掉，因为这两个参数已经经过分析确定，无须拟合。

4）开始迭代：单击1 Iter进行一次迭代，对应于当前参数的理论曲线将显示- 4 -

在Graph1窗口，多次单击10 Iter，以使拟合的曲线与数据曲线最大程度地吻合，单击Done完成拟合。

三组数据拟合的结果如下：

1150405000 50mL water ExpDec1 fit of Data1_BData: Data1_BModel: ExpDec1

Chi^2= 2.37856R^2= 0.98878

y030.91±0A169.17±0t11082.73505Temperature/℃±1.467436Time/sec

图-4 50mL热水降温拟合曲线

100mL waterExp Dec1 fit of data1_C11500Temperature/℃Data: Data1_CModel: ExpDec1

Chi^2= 2.70509R^2= 0.98793

y030.68±0A169.63±0t11582.3894±1.879566Time/sec

图-5 100mL热水降温拟合曲线

- 5 -

11010090 200mLwater Exp Dec1 fit of data_1DTemperature/℃820004000Data: Data1_DModel: ExpDec1

Chi^2= 4.69825R^2= 0.98142

y031.26±0A168.97±0t12911.91947±3.448686Time/sec

图-4 200mL热水降温拟合曲线

三条降温曲线经过拟合，参数显示在图中，表-2归纳了三条曲线的数学模型。如果忽略三组实验中由于仪器（DT092）误差而造成的细微差异，那么y0 和A1 这两个参数在三组实验中完全一致，可见在本实验所处的条件下，t是与热水的体积有关的一个参数，体积越大，t的值就越大。

表-2 曲线的数学模型

V / mL

50

100

200

y0

30.91

30.68

31.26

A

69.17

69.63

68.97

t

1082.74

1582.39

2911.92

yy0Aext

x1082.74x1582.39x2911.92y30.9169.17ey30.6869.63ey31.2668.97e

 假设t是体积v的函数，t = f(v)，用Origin对表-2中V、t进行分析，发现t与v成线性关系，如图-5所示。通过数学建模得出其关系为：

t =417.98+12.35V

因此（1）式可表示为yy0Aex417.9812.35V，用T、T0、t分别替换y、y0、x有：

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t417.9812.35VTT0Ae

（3）

其中T为热水的实时温度，T0为环境的温度，A是热水和环境的最大温差（开始温差），t为时间，V为热水的体积。

t Linear fit of data2_t30002500Y

Axis

Title2000Y =417.975+12.35179 XX Axis Title

图-5 t与v的线性关系

6. 结 论

1）热水温度下降的速度跟热水与环境的温差有关，温差越大温度下降就越快，反之则越慢；

2）热水温度下降的速度与热水的体积有关，体积越大温度下降就越慢，反之则越快；

3）在本实验所处的条件下，热水降温过程可以用公式TT0Ae述。

参考文献：

1. 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育化学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001：2

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t417.9812.35V描

Set up Mathematics Model of Temperature descending

of Water on Lab in Hand

Yangyi Qian, Jianbin Chen, Zongzhi Wu, Renyue Wang, Jinhong Xu

Department of Chemistry, South China Normal University, Guangzhou, 510631

Abstract

Hand held technology and computer technology construct a modern

scientific lab, which is called Lab in Hand. In this experiment, data of

natural temperature descending process of water can be detected and

recorded by hand held technology (data logger Multilog Pro & temperature

sensor DT092); mathematics model of the curve can be setup by computer.

These are talked about in this article.

Keyword

Lab in Hand Temperature Descending of Water

Mathematics model setup Chemistry Inquiring Experiment

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本文标签： 数据降温热水曲线温度