巧用几何画板作动态几何图形

admin管理员组

文章数量:1530842

2024年5月15日发(作者：)

维普资讯

弼蓝易思董曩傩散■软件　

２００２．６　

啊砸圈■嘲团匝瞳Ⅱ宙咂Ⅲ—捆田瞳宙■圈　

随着现代科技的发展，ＣＡＩ　

越来越受到人们的青睐，而课件　

的质量在一定程度上决定着计算　

机辅助教学的效果。制作课件的　

工具很多，例如：ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ、Ａｕ　

ｃ，过点ｃ作垂直于Ｘ轴的直线交　

弦ＯＢ的延长线于点Ｐ．求点Ｐ的　

轨迹方程（如图１）。　

ｙ　

巧用几何画板作动态几何图

ｔｈｏｒｗａｒｅ、方正奥斯等，但这些工　

具对作动态几何图形就显得势单　

力薄。解析几何中的圆锥魄线这　

一

Ｏ　Ｃ　

节，始终贯穿着“动点思想”与　

“动～静”结合的矛盾．其中轨迹　

的产生与变化、圆锥魄线离心率ｅ　

的变化引起的曲线形状变化的动　

图１　

分析：本题是动点Ｐ随着动　

点Ｂ的运动而生成轨迹的问题。　

如用传统的教具所画出的点Ｐ只　

是一个静点，教师若能借助多媒　

体让点Ｐ作运动，学生就可直观　

地感知点Ｐ的轨迹是一条抛物　

线。然后再让学生从理论上来分　

析论证，学生就会主动地去寻求　

一

态过程，都是教学中的难点，用传　

统的教法很难让学生深刻地理　

饵，若借助于ＣＡＩ则十分有效。但　

以上几种课件制作工具很难满足　

其动态效果需求，如果灵活地应　

用几何画板，就能取得令人满意　

袁　

小　

芷　

的效果。现以笔者制作的获省中　

师课件评比一等奖的课件（椭圆、　

双曲线、抛物线综述）为例，介绍　

用几何画板作动态几何图形的若　

干方法和技巧。　

定的方法进行饵答。问题是如　

何让点Ｐ作运动？可借助几何画　

板作出图形。　

作图步骤：　

１、建一画板，在“图面”菜单　

一

、

轨迹问题　中选“建立坐标轴”。原点为Ｏ；　

２．画点Ｄ（０，１），Ａ（０，２），以　

轨迹问题实际上是动点按一　

定规律运动而生成的曲线问题。　

Ｄ为圆心、Ａ为一点画圆。构造线　

段ＯＡ：　

借助几何画板能形象直观地反映　

动点运动变化而生成曲线的整个　

动态过程，使抽象的轨迹问题变　

得具体生动、触手可及。　

例ｌ：已知圆ｘ２＋（ｖ—１）　＝　

１，点Ｂ为圆上的动点，ＯＡ为过原　

点的直径。连ＡＢ延长交ｘ轴于点　

３．教师可事先采用参数法　

求得点Ｐ的轨迹方程为　＝２ｙ，　

作抛物线ｘ　＝２ｙ，在抛物线上取　

一

点Ｐ，构造线段ＰＯ，过Ｐ作ｘ轴　

的垂线，垂足为ｃ。构造线段ＣＡ　

交圆为点Ｂ，隐藏直线ＰＣ，构造线　

段ＰＣ：　

■　信■技直（矗瑾）膏暖公司　

嘣　ｈ呻　“∞ｍ　瑚蛳嘲●　

！－ｎ　璺　

尊科教学资源中心Ｔｒｕｍｐｔｅｃｈ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　Ｃｅｎｔｅｒ：一个互ｊ氍网上的资潭共事　

中心，一十越学责源的宝库，一个知识管理的平台。实现跨地域，踌文化体系．跨内窖提黼的裔豫　

上推下拉．随心所欲构造资源丹配体系，实现资源的透明利用　

∞删　■　

共享体系。积木化，可重构．

维普资讯

２ＯＯ２　

４．选中点Ｐ和抛物线Ｘ　＝　

２　ｖ．制作动画按钮，使Ｐ在抛物　

线上运动，隐藏抛物线，选中点　

Ｐ，选中“显示”一“轨迹跟踪　

点”。　

柞图步骤：　

１．建立直角坐标系。　

２．在Ｙ轴上取两点Ｃ、Ｄ，选　

中Ｃ、Ｄ构造线段，隐藏坐标轴，　

在ＣＤ上取一点Ｆ，分离出点Ｆ的　

二、交点问题　

圆锥曲线的交点问题实则　

是几条不同的曲线在运动过程　

中相对位置变化的一种反映，如　

果能将这种曲线运动过程反映　

出来，则曲线之间的相对位置变　

化的状态就能十分明显地呈现　

出来，那么交点问题也就迎刃而　

解了，几何画板能很好地实现这　

种设想。　

此题柞图的主要技巧是教　

师预先求出点Ｐ的方程，构造出　

点Ｐ的轨迹，作动画按钮，再隐　

藏轨迹，然后依据“轨迹跟踪点”　

纵坐标ｙｒ’计算Ｙｒ・Ｙ　一１的值　

（一般画轨迹先在Ｘ轴上取点，但　

此题因轨迹的方程为ｙ２＝ｘ＋１，　

这样可避免了算纵坐标值时由于　

开根号而带来正负的麻烦），然后　

画出Ｙ　＝Ｘ＋１的轨迹。　

３．画点Ａ（３，１），在抛物线　

进行制作。　

例２：已知抛物线Ｙ　＝ｘ＋１，　

定点Ａ（３，１），Ｂ为抛物线上任　

一

例：ａ为何值，抛物线ｙ　＝音　

与圆ｘ　＋　一２ａｘ＋ａ　一１＝０（如　

图３）。　

点，点Ｐ在线段ＡＢ上，且有　

ｙ２＝ｘ＋１上取一点为Ｂ，分离出　

点Ｂ的横坐标Ｘ　和纵坐标Ｙｅ的　

值，由以上分析中的＜１＞式可算　

ＢＰ：ＰＡ＝１：２，当点Ｂ在抛物线　

上变动时．求点Ｐ的轨迹方程　

（如图２）。　

得点Ｐ的横坐标和纵坐标的值，　

按顺序选中点Ｐ横坐标和纵坐标　

的值，可画出点Ｐ。　

４．同时选中点Ａ和点Ｂ，构　

造线段，这时点Ｐ必在ＡＢ上。　

５．选中点Ｂ和抛物线ｙ２＝　

Ｘ＋１，创建动画按钮，使Ｂ点沿着　

圈２　

围３　

抛物线正常地移动。选中点Ｐ．单　

击“显示”一“轨迹跟踪点”即可。　

此题的作图并不求点Ｐ的轨　

（１）有四个交点；（２）只有三　

个公共点；（３）只有两个公共点：　

（４）只有一个公共点：（５）无公共　

点。　

分析：设点Ｂ的坐标为（ｘ　，　

ｙ］），Ｐ点坐标为（ｘ，ｙ），＿ｌ＿ＢＰ：　

ＰＡ＝１：２．　

ｘ１＋

一

迹，而是采用其坐标与点Ｂ坐标　

１

２　ｘ　３

—

的关系，利用点Ｂ运动带动Ｐ点　

２ｘ１＋３　

解此类问题前若能用动画　

让圆在ｘ轴上运动，将会使学生　

更深刻地理解其交点的变化过　

程，从而激发学生更积极主动地　

运动的方法而作图。此题也可仿　

例１先画出点Ｐ的轨迹，要注意：　

＜１＞　

可得　

取Ｂ点时撮好让Ｂ点先在直线　

ＰＡ上，而不是在抛物线上，再通　

过移动Ｂ点为直线与抛物线Ｙ　＝　

因为Ｐ点的坐标值依赖于　

Ｂ点的坐标值，Ｂ点运动Ｐ点将　

会跟着运动而形成轨迹。　

去求解。　

作图步骤：　

１．建立直角坐标系。　

２．题中圆的圆心在Ｘ轴上，　

为了不使圆在整条ｘ轴上运动，　

ｘ＋１的交点而得，否则无法确保　

Ａ、Ｐ、Ｂ始终在同一直线上。　

尊科教学资源中心Ｔｒｔｔｍｐｔｅｃｈ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　Ｃｅｎｔｅｒ：双向认证，集中管理，以　

教师为中心，　教委为基地。方便资源韵筛选，评怙．支持太规模营业性或非营业性资　

源供给。支持虚拟资源卷．让浩瀚的互联网资源为我所用。　

维普资讯

矗蓝易嗣董曩俺敖一软件　

应事先大致确定ａ的取值范围，　

假设一５（ａ（５。画点ｃ（一５，　

１）、０（５，１）＋构造线段ＣＤ，选中　

以及抛物线形状、大小的影响．　

可利用三种曲线统一的极坐标　

ｄ

已。拉动Ｇ点可改变Ｐ的值，Ｐ值　

的大小改变了圆锥曲线的形状，　

从而使学生对Ｐ的值也产生了　

浓厚的兴趣。　

Ｄ　

方程Ｐ　丁　出圆锥曲线　

ＣＤ，单击“构造”一“目标上的　

点”即可取得目标上的点Ｅ，过Ｅ　

作Ｘ轴的垂线Ｌ交点为Ａ，顺序　

选中点Ａ和点Ｅ＋单击“构造”下　

的以圆心和一点画圆　

随着ｅ、Ｐ改变而改变的变化图。　

作图步骤：　

１．薪建一个画板．建立坐　

标轴（以直角坐标的形式）。　

２．画出线段ＣＤ、ＥＦ，分别　

垂直于ｘ轴，垂足为ｃ、Ｅ。在ＣＤ　

以上变化过程，学生可清楚　

地看到图形随着参数ｅ、Ｐ位变　

化而变化的动态过程，使学生对　

ｅ、Ｐ值变化与圆锥曲线之间的本　

质关系有着更为深刻地理解，这　３．在Ｙ轴上取一一点Ｇ，分离　

出纵坐标的值Ｙｃ，选中Ｙｃ，计算　

出２ｙＧｙｃ，根据（２　ｙｌ：ｙ　托）画点　

是传统作图方法或老师口述根　

本无法达到的境界。　

若要进一步讨论圆锥曲线　

准线的变化规律，可先推出三种　

圆锥曲线准线的统一极坐标方　

Ｄ　

和ＥＦ上分别取点Ｇ、Ｈ，测算出　

Ｇ、Ｈ的坐标值，且分离出Ｇ、Ｈ　

Ｈ，选中Ｇ、Ｈ，构造轨迹Ｙ　÷　

４．选中Ｅ和线段ＣＤ，单击　

“编辑”一“按钮”一“动画“，制　

作一按钮，使圆沿着线段ＣＤ正　

常地双向运动，在运动过程中可　

看到圆和抛物线交点的变化，也　

可拖动Ｅ点使圆沿着线段ＣＤ作　

运动，可看到其交点的变化。最　

后隐藏一些点和线，并设置颜色　

以美化界面。　

此题作图的难点是画ｃＤ作　

为辅助线，不能直接在ｘ轴上取　

一

的纵坐标，分别作为Ｐ和ｅ的值，　

点Ｇ、Ｈ在线段ＣＤ、ＥＦ上运动　

时，Ｐ、ｅ的值也会随着变化。　

３．以原点为圆心画单位　

圆，在单位圆上取一点Ｊ，选中　

程Ｐ＝　

口　

和Ｐ＝　

丽　＿二　，知道两方程后，可　

“图面”一“格栅形式”一“极坐标　

（ｒ，０）”，测算点Ｊ的极坐标值，并　

分离出坐标值０Ｊ，要求０　的单位　

为弧度。　

在上图中画出两准线，若ｅ＝ｌ，　

另一支不存在。当ｅ、Ｐ变化时，　

两准线的位置也随着变动，从而　

使学生深刻地理解圆锥曲线其　

准线位置的不同（作图略）。从以　

４．同时选中Ｏｊ．Ｐ和ｅ，计算　

Ｄ　

丁＝　的值，顺序选择这个计　

上作图过程可知，适时改变直角　

坐标和极坐标的形式会给我们　

作图带来意想不到的效果。　

点为圆心画圆、让圆心沿ｘ轴　

算值和０　在“图面”菜单中选择　

“以（ｒ＇０）画点　，其点设为Ｍ，顺　

移动，因圆心在动，这个圆的大　

小也会变化。　

序选择点Ｊ和点Ｍ构造轨迹，至　

此作图完毕。　

（作者单位：温岭师范学校浙江　

温岭３１７５００）　

三、圆锥曲线的统一定义　

若用鼠标拖动点Ｈ，可改变　

ｅ的值，从图形的变化过程可知　

在进行“圆锥曲线”的复习　

课时，为了使学生深刻地理解圆　

锥曲线的统一定义，以及离心率　

ｅ、参数Ｐ（焦点到相应准线的距　

离）的不同取值对椭圆、双曲线　

当０　＜ｌ时，轨迹为椭圆，当ｅ　

逐渐增大至１时，轨迹从椭圆变　

为抛物线，当ｅ的值继续增大，画　

面的左边“走”来了双曲线的另　

一

—　

支，其奇妙情景让学生赞叹不　

尊科校园网教学平台尊科ｅＳｃｈｏｏｌ：集约式校回信息化平台，童功能、宝系　

列教育及管理软件，即插即用　教学系统，校务管理系统，资源中心为骨干，备课、题　

懈刚　呻ｂｍ州～∞　ｌ　喇９　Ｆ　∞日驯女■　

库考试、校长办公、答疑、讲授软件为前台，童方位服务。　

本文标签： 轨迹运动变化学生资源