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2024年6月3日发(作者：)
浙江强基联盟5月份高三全国“优创名校”联考
数学
注意事项：
1.
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数
z
满足
2−zi=1+i
，则
z=
（ ）
A.
−1−i
2.已知集合
A
A.
[
2,4
)
B.
1−i
C.
1+i
D.
−1+i
=B
{
xx≤a
}
，若
AB
中有2个元素，则
a
的取值范围是（ ）
{
x∈Zx+1>0
}
，
B.
[
1,2
)
C.
[
2,4
]
D.
[
1,2
]
3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：
5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901
13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172
14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972
估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（ ）
A.14292 B.14359 C.14426 D.14468
=y
4.若函数
A.3
f
(
x
)
−1
是定义在
R
上的奇函数，则
f
(
−1
)
+f
(
0
)
+f
(
1
)
=
（ ）
B.2 C.
−2
D.
−3
5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备
将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
6
x
2
y
2
6.已知
F
1
，
F
2
分别是双曲线
C
：
−=1
（
b>0
）的左、右焦点，
M
是双曲线
C
右支上的一个动
4b
2
点，且
MF
1
−MF
2
的最小值是
86
，则双曲线
C
的渐近线方程为（ ）
A.
y=±
22
1
x
2
B.
y=±2x
C.
y=±
2
x
2
D.
y=±
3
x
2
22
7.已知圆
O
：
x+y=
1
，过点
A
(
2,0
)
的直线与
l
圆
O
交于
B
，
C
两点，且
AB=BC
，则
BC=
（ ）
A.2 B.
3
2
C.
2
D.
6
2
8.如图，圆
O
1
和圆
O
2
外切于点
P
，
A
，
B
分别为圆
O
1
和圆
O
2
上的动点，已知圆
O
1
和圆
O
2
的半径都为
2
1，且
PA⋅PB=−1
，则
PA+PB=−1
，则
PA+PB
的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.
22
D.
23
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一般地，任意给定一个角
α
∈R
，它的终边
OP
与单位圆的交点
P
的坐标，无论是横坐标
x
还是纵坐标
y
，都是唯一确定的，所以点
P
的横坐标
x
、纵坐标
y
都是角
α
的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点
P
的纵坐标
y
叫作
α
的正弦函数，记作
sin
α
，即
y=sin
α
；
②把点
P
的横坐标
x
叫作
α
的余弦函数，记作
cos
α
，即
x=cos
α
；
③把点
P
的纵坐标
y
的倒数叫作
α
的余割，记作
csc
α
，即
1
=
csc
α
；
y
1
=
sec
α
.
x
④把点
P
的横坐标
x
的倒数叫作
α
的正割，记作
sec
α
，即
下列结论正确的有（ ）
5
π
=−2
4
B.
cos
α
⋅sec
α
=1
A.
csc
C.函数
f
(
x
)
=secx
的定义域为
xx
≠
k
π
+
π
,k
∈Z
2
D.
sec
2
α
+sin
2
α
+csc
2
α
+cos
2
α
≥5
10.如图1，在等腰梯形
ABCD
中，
AB//CD
，
EF⊥AB
，
CF=EF=2DF=2
，
AE=3
，
EB=4
，
将四边形
AEFD
沿
EF
进行折叠，使
AD
到达
A
′
D
′
位置，且平面
A
′
D
′
FE⊥
平面
BCFE
，连接
A
′
B
，
D
′
C
，
如图2，则（ ）
图1 图2
A.
BE⊥A
′
D
′
B.平面
A
′
EB//
平面
D
′
FC
D.直线
A
′
D
′
与平面
BCFE
所成的角为
k
C.多面体
A
′
EBCD
′
F
为三棱台
11.已知函数
f
(
x
)
=e
x+k
π
4
b,a>b,
1
x−
2
，函数
g
(
x
)
=
e
，且
k<0
，定义运算
a⊗b=
设函数
2
a,a≤b,
h=
(
x
)
f
(
x
)
⊗g
(
x
)
，则下列命题正确的是（ ）
A.
h
(
x
)
的最小值为
1
2
B.若在
h
(
x
)
在
[
0,ln2
]
上单调递增，则
k
的取值范围为
(
−∞,−2ln2
]
3k
−
1
ln2
+
2
C.若
h
(
x
)
=m
有4个不同的解，则
m
的取值范围为
1,e
2
D.若
h
(
x
)
=m
有3个不同的解
x
1
，
x
2
，
x
3
，
则
x
1
+x
2
+x
3
=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p>0
）的焦点，点
P
(
1,−2
)
在抛物线
C
上，直线
PF
与抛物线
C
的
另一个交点为
A
，则
AF=
______.
13.在
△ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
若
c
2
sinA=6sinC
，
(
a+c
)
2
=18+b
2
，
则
△ABC
的面积为______.
14.已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为
1+2
，高为100，现有若干个半径为
2
的实心球，则该
圆柱形容器内最多可以放入______个这种实心球
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
=S
n
（1）求
{
a
n
}
的通项公式；
1
n
(
n+1
)
。
2
1
aa
,n为奇数,
求
{
b
n
}
的前
2n
项和
T
2n
.
（2）若数列
{
b
n
}
满足
b
n
=
nn+2
2
a
n
,n为偶数,
16.（15分）
如图，在四棱锥
P−ABCD
中，平面
PCD
内存在一条直线
EF
与
AB
平行，
PA⊥
平面
ABCD
，直线
PC
与平面
ABCD
所成的角的正切值为
3
CD2=AB4
.
=BC=23
，
=
，
PA
2
（1）证明：四边形
ABCD
是直角梯形；
（2）若点
E
满足
PE=2ED
，求二面角
P−EF−B
的正弦值。
17.（15分）
某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者
，
B=
是否有关。若从该班级中随机抽取1名学生，设
A=
3“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”
“抽取的学生建立了个性化错题本”，且
PAB=
（1）求
P
(
A
)
和
PAB
；
（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值
α
=0.005
的独立性检验，分析学生期末
统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关。
个性化错题本
建立
未建立
合计
期末统考中的数学成绩
及格
不及格
合计
()
522
，
PBA=
，
P
(
B
)
=
.
3
63
()
()
（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为
36k
的样本（假设根据
新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的
k
倍，且新列联表中的数据都
为整数）.若要使得依据
α
=0.001
的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定
k
的最小值.
参考公式及数据：
χ
=
2
n
(
ad−bc
)
2
(
a+b
)(
c+d
)(
a+c
)(
b+d
)
，
n=a+b+c+d
.
α
0.01 0.005 0.001
x
α
6.635 7.879 10.828
18.（17分）
平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外
心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知
△ABC
的垂心为
D
，外心为
E
，
D
和
E
关于原点
O
对
称，
A
(
13,0
)
.
（1）若
E
(
3,0
)
，点
B
在第二象限，直线
BC⊥x
轴，求点
B
的坐标；
x
2
y
2
（2）若
A
，
D
，
E
三点共线，椭圆
T
：
2
+
2
=1
（
a>b>0
）与
△ABC
内切，证明：
D
，
E
为椭
ab
圆
T
的两个焦点.
19.（17分）
f
(
x
)
asinx+xcosx
.
已知函数
=
（1）若
a=0
，求曲线
y=f
(
x
)
在点
0,f
(
0
)
处的切线方程；
（2）若
x∈
(
−
π
,
π
)
，试讨论
f
(
x
)
的零点个数.
()
浙江强基联盟5月份高三全国“优创名校”联考
数学参考答案
1. A 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
因为
2−zi=1+i
，所以
z=
−1+i
=−1−i
.
−i
2. B 【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.
因为
AB
中只有2个元素，则
AB=
{
0,1
}
，所以
1≤a<2
.
3.C 【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.
由
30×75%=22.5
，可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计该学生最近30天每天走的步数
数据的第75百分位数为14426.
4. A 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.
=
设
F
(
x
)
0
)
因为
F
(
=
0
，所以
f
(
1
)
+f
(
−1
)
=0
，即
f
(
x
)
−1+f
(
−x
)
−1=2
.
f
(
x
)
−1
，则
F
(
x
)
+F
(
−x
)
=
f
(
0
)
−=10
，所以
f
(
0
)
=1
，
f
(
−1
)
+f
(
0
)
+f
(
1
)
=2+1=3
.
5. B 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养.
22
A
2
A
2
1
.
所求概率
2=P×=
4
A
4
3
6. C 【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.
解法一：不妨设
F
1
(
−c,0
)
，
F
2
(
c,0
)
，
M
(
x
0
,y
0
)
，且
x
0
≥2
，则
22
22
22
MF
1
−MF
2
=
(
x
0
+c
)
+y
0
−
(
x
0
−c
)
+y
0
=4cx
0
≥8c
，所以
8c=86
，
解得
c=6
，
b=2
，故双曲线
C
的渐近线方程为
y=±
22
2
x
.
2
解法二：
MF
1
−MF
2
=
(
MF
1
−MF
2
)(
MF
1
+MF
2
)
=4
(
MF
1
+MF
2
)
=4
(
4+2MF
2
)
≥4
4+2
(
c−2
)
=8c
，所以
8c=86
，
解得
c=6
，
b=2
，故双曲线
C
的渐近线方程为
y=±
2
x
.
2
7. D 【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象及数学运算的核心素养.
如图，在
△OAC
中，
BD
//
OC
，
BD=
BD
1
11
，
cos∠ODB==
，
OC=
ED4
22
1
=
cos∠COA=−cos∠ODB=−
，
AC
4
OC|
2
+OA|
2
−2OC⋅OA⋅cos∠COA=6
，所以
BC=
6
.
2
8. D 【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
)()
=−1+PO⋅
(
OB−OA
)
+OA⋅OB=−1
，所以
OA⋅OB=PO⋅
(
OB−OA
)
≤OB−OA
，
12112
PA⋅PB=PO
1
+O
1
A⋅P
2
+O
2
B=PO
1
⋅PO
2
+P
1
⋅O
2
B+O
1
A⋅PO
2
+O
1
A⋅O
2
B
(
1212121
2
2
2
2
所以
O
1
A⋅O
2
B≤O
2
B+O
1
A−
2
O
1
A⋅O
2
B
，即
O
1
A⋅O
2
B+2O
1
A⋅O
2
B−2≤0
，
解得
−1−3
O
1
A⋅O
2
B≤−1+3
.
2
2
2
2
2
PA+PB=PO
1
+O
1
A+PO
2
+O
2
B=O
1
A+O
2
B=O
1
A+O
2
B+2O
1
A⋅O
2
B
=2+2O
1
A⋅O
2
B≤2+2×−1+3=23
.
()
9. ABD 【解析】本题考查三角函数，考查数学抽象的核心素养.
csc
1
5
π
1
=1
，B正确.
==−2
，A正确.
cos
α
⋅sec
α
=cos
α
⋅
cos
α
4
sin
5
π
4
函数
f
(
x
)
=cscx
的定义域为
xx
≠
k
π
,k
∈Z
，C错误.
{}
1114
sec
2
α
+sin
2
α
+csc
2
α
+cos
2
α
=1+11+=+=+≥5
，
cos
2
α
sin
2
α
sin
2
α
cos
2
α
sin
2
2
α
当
sin2
α
=±1
时，等号成立，D正确.
10. ABD 【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象的核心素养.
因为平面
A
′
D
′
FE⊥
平面
BCFE
，平面
A
′
D
′
FE
平面
BCFE=EF
，
BE⊥EF
，
所以
BE⊥
平面
A
′
D
′
FE
，所以
BE⊥A
′
D
′
，A正确.
因为
A
′
E//D
′
F
，
BE//CF
，
A
′
EBE=E
，
D
′
FCF=F
，所以平面
A
′
EB//
平面
D
′
FC
，B正确.
D
′
FFC
，所以多面体
A
′
EBCD
′
F
不是三棱台，C错误.
≠
A
′
EEB
延长
A
′
D
′
，
EF
相交于点
G
（图略），
∠A
′
GE
为直线
A
′
D
′
与平面
BCFE
所成的角.
D
′
FGFA
′
E
′
因为
A
′
E//D
′
F
，所以，解得，
GF=1
=GE=3⋅tan∠AGE=1
，
=
A
′
EGF+FEGE
因为
则
∠
A
′
GE=
π
4
，D正确.
11. AC 【解析】本题考查基本初等函数，考查逻辑推理及直观想象的核心素养.
1
x−
k
k
2
x≥e,,
k
x
+
k
e,x
≥−
k,
1
x−
2
2
x+k
2
f
=
，
=
g
(
x
)
=e
(
x
)
e
=
−x−k
k
2
−x+
<−
e,,
xk
1
e
2
,x<
k
.
2
2
令
e
x+k
1
x−
k
2ln2
.
≥e
2
，解得
k≥−
2
3
当
−
2ln2
≤k<0
时，作出函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
的图象，如图1所示.
3
图1
此时，
h
(
x
)
=g
(
x
)
.
当
k
<−
2ln2
时，作出函数
h
(
x
)
的图象，如图2所示.
3
图2
1
k
1
f
(
x
)
min
=f
(
−k
)
=1
，
g
(
=
hx
，所以的最小值为，A正确.
x
)
min
g=
()
2
2
2
令
e
−x
0
−k
−
ln2+
1
k
1
x
0
−
k
−
x
0
−
k
2
=x
0
，解得
=e
2
2
.
=e
ln2
−
，
e
2
2
2
1
3k
=
若
h
(
x
)
在
[
0,ln2
]
上单调递增，则
x
0
因为当
−
k
1
−
ln2
≥
ln2
，解得
k≤−2ln2
.
2
2
2ln2
≤k<0
时，
h
(
x
)
在
[
0,+∞
)
上单调递增，所以
k
的取值范围为
(−
∞
，
3
[
−∞,−2ln2
]
−
2ln2
,0
，B错误.
3
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