使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

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2024年6月28日发(作者：)

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍

GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介

绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体

和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra

软件给数学学习带来的便利。最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构

造方法。

关键词：GeoGebra 多面体

1. GeoGebra软件简介

GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格

等。GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上

面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图

形的颜色、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图

形名称的方式，直接画出所需要的图形。因此，GeoGebra既可以处理变化的量

（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，

求解方程等）。由此可见，GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图

形问题的软件。

下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。

图1.1

如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、

菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；

绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜色等；菜单栏中的“窗口”选项和文

件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域，在视图

中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘

图区等）。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1

2. 多面体图形简介

2.1多面体图形的基本性质

多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简

单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质：

i. 一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、

六面体

等。

ii. 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2。

2.2多面体图形的类型

多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。

图2.1多面体图形

2.2.1正多面体

正多面体又称柏拉图体（Platonic Solids），指多面体的各个面都是全等的正多边形。共

有五种：正四面体（Tetrahedron）、正六面体或正方体（Hexahedron或Cube）、正八面体

（Octahedron）、正十二面体（Dodecahedron）、正二十面体（Icosahedron）。

2.2.2阿基米德多面体

阿基米德多面体（Archimedean So lids）又称半正多面体，是指由一种或多种正多边

形面组成，而又不属于正多面体的凸多边形，要求每个顶点的组态均一致，且不包含柱

体族（Prism） 和反柱体族（Antiprism）。2

阿基米德多面体共有十三种：

i. 截角多面体：截顶四面体（Truncated tetrahedron）、截顶六面体（Truncated cube）、

截顶八面体（Truncated octahedron）、截顶十二面体（Truncated dodecahedron）、截顶二十

面体（Truncated icosahedron）。

ii. 截半多面体：截半正方体（Cuboctahedron）、截半十二面体（Icosidodecahedron）

iii. 斜方截半多面体： 小斜方截半立方体（Rhombicuboctahedron）、大斜方截半立方体

（Truncatedcuboctahedron）、大斜方截半十二面体（Truncatedicosidodecahedron）、小斜方

截半十二面体（Rhombicosidodecahedron）。

iv. 扭棱多面体：扭棱正方体（Snubhexahedronccw）、扭棱十二面体

（Snubdodecahedronccw）

2.2.3开普勒－庞索多面体

正多边形的边延长直到它们再度相交，便可得到一个星状多边形，比如将正五边形的

边延长直至再度相交，就可以得到五角星，将正八边形的边延长直至再度相交，就可以

得到八角星，将正十边形的边延长直至再度相交，就可以得到十角星。

上述过程即为平面上的“星化程序（Stellation）”。 若把此程序立体化将正十二面

体和正二十面体适当地星状化，即可得到四个“星状多面体”，即开普勒－庞索多面体

（Kepler - Poinsot Solid）。

开普勒－庞索多面体共有四种：小星状十二面体（ Small stellated

Dodecahedron ）、大星状十二面体（Great stellated Dodecahedron ）、大十二面体

（Great Dodecahedron ）、大二十面体（Great Icosahedron ）。

2.2.4柱体与反柱体

柱体族（Prism） 和反柱体族（Antiprism）被踢出了阿基米德多面体的家族。柱体族

和反柱体族是两类最基础的半正多面体，由两个正多边形和一圈正方形或三角形组成。

这两类多面体各有无数种。

2.2.5其它多面体及其知名应用

2.2.5.1菱形六十面体

菱形六十面体（Rhombic Hexecontahedron）是的LOGO，

以其独特的数学气息而闻名于多面体世界中。

2.2.5.2 Spikey多面体

Spikey多面体图形是Mathematica的LOGO。Mathematica是一款科学计算软

件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应

用程序的高级连接。作为全世界应用最广泛的数学软件，Mathematica的logo也同样充满着

数学气息。

2.2.5.3彩球二十面体

彩球二十面体是圆部式组合（Color Box）折纸的产物，圆部式组合由日本的圆部光伸

首次提出，从组成来看，彩球二十面体由一个正二十面体和二十个正三棱锥组成。正二十面

体的每个面上都“长”出了一个正三棱锥，便是彩球二十面体的结构了。在现实生活中，彩球

二十面体是一种极具装饰性的多面体，用绳带挂起来可作为节日的饰物。

3. 使用GeoGebra软件构造基本多面体图形

这部分，主要根据多面体图形边、棱、面的关系，介绍用GeoGebra软件实现日常简单多

面体构造的过程。通过这一过程，能够更加直观的展现多面体图形在空间中的结构分布及特

点。

3.1动态旋转的正多面体

构造过程：

i. 构造两个点A、B

ii. 在输入指令栏里输入“正八面体（A，B）”，可以得到正八面体，如图3.1.1

图3.1.2

vi. 隐藏旋转前的正八面体，启动滑动条即可得到旋转八面体，即可以得到如图

3.1.3系列的旋转图。

图3.2.3

v. 再次用多边形工具连接原正四边形中每个面上的点可得如图3.2.4（左）

正四面体截角后的图形，对不同面调节颜色即可得到如图3.2.4（右）。

图3.3.1

v. 隐藏一切无关对象，只留下连接的线段。这样我们就得到了一个截半正方体，如

图3.3.2。

图3.3.2

vi. 使用多边形工具，在截半正方体的表面用多边形覆盖，隐藏所有线段。

vii. 调节多边形的样式，为多面体上色。

4.复杂多面体的构造

上文介绍了绘制简单多面体的方法，这一部分介绍复杂多面体，如足球、五重四面体、

彩球二十面体、开普勒－庞索多面体、菱形六十面体等多面体的构造方法。

4.1彩球二十面体的构造

构造思路：通过观察，可以发现彩球二十面体是从一个正二十面体演变而来，在每个面

上长出了一个“角”，这个角是正方体的一个角。

彩球二十面体的构造方法：

i. 关闭绘图区，打开3D绘图区。

ii. 在坐标轴上构造两点A(-1,0,0) B(2,0,0) 。

iii. 在指令栏输入 正二十面体[A,B] 注：输入时指令栏会有提示。

iv. 输入完成后，得到一个棱长为3的正二十面体，如图4.1.1 。

图4.1.2

ix. 使用3D中的垂线工具，过P点做所选平面的垂线。

x. 选取 球面(球心与半径) 工具，以P点为球心做球，半径为b，如图4.1.3 。

图4.1.4

xiv. 重复以上步骤，在正二十面体的二十个面上都做上一个角。重复时可使用新建工

具。

xv. 隐藏无关对象，得到彩球二十面体的骨架，如图4.1.5 。（除面心点外，其他点

先不要隐藏，上色时会用到）。

图4.1.5

xvi. 上色的过程可能会有些繁琐，还是使用传统的方法，用多边形工具对多面体的面

进行上色。

4.2五重四面体的构造

构造思路：五重四面体的顶点连接起来是一个正十二面体。所以通过正十二面体顶点的

相互连接进行构造。

五重四面体的构造方法：

i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii. 在指令栏输入：正十二面体面体[A,B]，如图4.2.1 。（请确保正十二面体的各点

相对位置与图中一样，否则构造会混乱）

图4.2.2

4.3开普勒－庞索多面体的构造

构造思路：仿造平面星化程序，进行立体图形中的“星化程序”，得到开普勒－庞索多面

体。

使用普通星化程序，可以得到小星状十二面体和大星状十二面体，以小星状十二面体为

例。

小星状十二面体的构造方法：

i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii. 在指令栏输入：正十二面体[A,B] 。

iii. 将正十二面体的每条棱延长，直至相交。使用直线工具将所有棱延长如图

4.3.1。

图4.3.2

4.4 Spikey多面体图形的构造

Spikey多面体图形的构造方法：

i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]。

iii. 选择正四面体工具，单击正二十面体的一个平面，并选择构成这个平面的两个顶

点，构造出一个正四面体如图4.4.1。其它十九个面的方法相同。

图4.4.2

4.5菱形六十面体的构造

图4.5.1

构造思路：

这个多面体也可以从正二十面体构造得出。它其实是在正二十面体的每个三角形上长

出来一个“尖”（如图4.5.1），这个尖是由三个菱形和三个三角形成的。注意这里的三角形不

是正三角形，菱形也不是通常的“60°菱形”，而是一种叫做 Golden Rhombus 的菱形（黄金菱

形），这种菱形的对角线长度之比刚好是黄金比例。通过在正二十面体的每个面上

构造一个“尖”，制作出整个菱形六十面体。

菱形六十面体的构造方法：

i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]。

iii. 过正二十面体的一个面上的三条棱及它们的对棱，分别做三个平面，如图4.5.2 。

图4.5.6

4.6截角二十面体的构造

截角二十面体的构造方法：

i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，3，0）（棱长为3便于之后的构造）

ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]

iii. 选取一个顶点，在这个顶点上构造一个以顶点为圆心，半径为1的球。做出球面

与棱的交点。因为之前已经将棱长设置为3，所以所得的交点即为每条棱的三等分点。

其余十九个顶点如法炮制。

iv. 与之前的构造相似，在每个角截出一个正五边形。用线断连接相邻棱上的三等分

点，如图4.6.1 。

图4.6.2

5. 总结

本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。通过实例，用软件实现动态旋转的

正多面体、截角多面体、截半多面体、彩球二十面体、五重四面体、开普勒－庞索多面体、

Spikey多面体图形、菱形六十面体、截角二十面体的构造，由浅入深，由简单到复杂，展现

多面体构造过程和GeoGebra软件在数学学习过程中使用的便利。

参考文献

[1] Geogebra[OL]. /wiki/geogebra, 2018.9.1

[2] 5个柏拉图体和13个阿基米德多面体的图形[OL].

/content/17/0715/22/17799864_. 2018.9.1

[3]简单常用的多面体[OL].

/view/?from=search. 2018.9.1

[4]多面体[OL]. /~d04040173/repository/fetch/多面體.pdf. 2018.9.3

本文标签： 多面体构造图形软件使用