最全的几何画板教程

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2023年12月22日发(作者：)

写在前面

我们经过几年的信息技术课程的学习，对常用的办公软件、网页制作软件都有了比较详细的了解，为我们有效利用信息技术改造学习奠定了良好的基础。本学年，我们将就信息技术和学科学习的整合进行探索，分上下两篇：上篇主要学习用几何画板做数理实验的方法；下篇则重点掌握信息技术在研究性学习中的应用。

考虑到初三课程的实际情况，我们没有严格按照课时来安排内容，而是用专题和案例的方式来组织材料，方便各校根据教学环境和课时情况灵活安排教学进度。

我们在顺德教育信息中心为初三信息技术的学习开辟了专门的网站：网络探索（WebQuest），域名是。本课程的相关工具和范例都在这里提供，各章节的编者担任相应栏目的版主，随时欢迎广大师生前往交流。

欢迎随时访问网络探究网站，了解网络学习的最新进展！

1

上篇 用几何画板做数理实验

同学们都喜欢物理和初三新开的化学，因为这两门课都有好多实验，那么数学就没有实验吗？

有的。我们可以用特定的“数字化的实验室软件”来验证数学定律，探索数学规律。这样的软件现在国内外有很多，比较著名的有国内的“数学实验室”和国外的“几何画板”。鉴于初中的数学知识范围，我们可以先学习简单易学的“几何画板”，高中以后我们可以借助大型的“数学实验室”平台来完成更多的数学实验。

说明：几何画板是一个著名的教学工具软件，网上可以下载其试用版本，国内已经有3.05版的汉化版本。本教材以3.0版为例编写。在我们的网络探索社区（）的顺德信息技术教材专区中，有专门的几何画板学习讨论专栏，方便于同学们在网上交流学习心得，讨论学习问题。同时，本课程的案例程序也可以在该栏目找到。最新的几何画板试用版本也会放到这里供下载，请到自行下载安装。（安装过程请参考/Jc/），

在顺德市教育信息中心（）的虚拟教研社区 “培训大楼”中，也有几何画板专栏，专门供老师和有兴趣的同学讨论几何画板的高级使用问题。

除了用几何画板进行大量的数学探索实验之外，与数学紧密相连的物理同样可以在几何画板上完成很多实验。我们将选取大家在初中数学和物理中遇到的一些典型问题为例子，利用几何画板来完成一些数学和物理实验。学完这些例子，相信同学们会熟练地应用几何画板，并且对学习过的或将要学的数学知识、物理知识有更进一步的认识。好啦，让我们开始吧。

首先请下载安装好几何画板软件，打开几何画板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如图所示：

图1-0.1

我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。

2

案例一 四人分饼

有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分？

图1-1.1

思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。

方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图1-1.2。

图1-1.2

方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。

图1-1.3

用几何画板验证：

第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。

说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具；

(2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图

1-1.4。

图1-1.4

注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。

第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左

键，可以标出两点的标签，如图1-1.5：

注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签AB为其它字母，可以这样做：

用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进图1-1.5

行修改，(本例中我们不做修改)。如图1-1.6

3

图1-1.6

在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明

第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A重合，按左键拖动画出线段AC；(2)画线段BC，标出标签C，如图1-1.7。

注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。

第五步：(1) 用“选择”工具单击线段AB，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2)

由菜单“作图”“中点”，画出线段AB的中点，标上标签。得如图1-1.8。

注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以按Shift键后用左键再次单击该对象取消选取。

第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图1-1.9。

技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由“作图”“画中点”(或按快捷键Ctrl+M)，就可以同时画好三条边的中点。

第七步：用“画线段”工具连结DE、EF、FD，得如图1-1.10：

技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。

选取两点后，由菜单“作图”“画线段”，(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。

本例最快的做法：

1、选取“画点”工具，按住Shift键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状态

2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取；

CAB图1-1.7

CADB图1-1.8

CFEADB图1-1.9

CFEADB图1-1.10

4

3、按Ctrl+M，可以同时画出三边中点且三中点同时被选取；

4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可。

第八步：(1) 按住Shift键不放，用“选择“工具选取点A、D、F；(2) 由菜单“作图”“多边形内部”填充多边形内部；(3) 保持内部的选取状态，由菜单“度量”“面积”，可以量出ADF的面积，如图1-1.11。

C面积 ADF = 0.77 cm2FEADB图1-1.11

第九步：(1) 用同样的方法，填充并度量三角形面积 ADF = 0.77 cm2BDE、ECF、DEF；(2) 选取DEF的内部，由菜积 DBE = 0.77 cm2单“显示”“颜色”，选择其它颜色，如蓝色，面得到如图1-1.12。

面积 ECF = 0.77 cm2面积 DEF = 0.77 cm2ADBC

FE图1-1.2

注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个例子都是这样，不再加以说明。

归纳结论：

拖动顶点A、B、C中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？

说明：这是通过实验来验证数学规律，不能保证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人类的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么，实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律，更容易接受知识，并且常常可以让我们找到解决问题的方向。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例一供参考。

练习：

1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？

2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。

C第一步：(1) 选取“画射线”工具；(2)移动鼠标到与点A重合，按住左键拖动，画出一条以点A为端点的射线AD，得如图1-1.13。

AB

D图1-1.13

5

第二步：(1) 选取“画点”工具，移动鼠标到射线AD上，在靠近点A处单击画出一个点E，得如图1-1.14；

(2) 按住Shift键不放，用“选择”工具，依次选取点A、E，由菜单“变换”“标记向量A-E”。

说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，保证出现若干段相等的线段，

标记向量时，一定要注意选选择点的先后顺序。

CAEBD

第三步：(1) 用“选择”工具选取点E，由菜单“变换”“平移„”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点Ｅ’；(2) 选取Ｅ’，做同样的操作可以得Ｅ’’，„„，这样做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图1-1.15。

AE图1-1.14

C

BE'E''E'''D图1-1.15

第四步：(1) 连结BＥ’’’；（2）同时选取线段BＥ’’’、点E、Ｅ’、Ｅ’’，由菜单“作图”“平行线”，画出了一组平行线，如图1-1.16。

C

AEE'E''E'''DB图1-1.16

C第五步：(1) 用“选择”工具单击平行线和AB相交处，得到三个四等分点；

(2) 选取所有平行线、射线AD及AD上的点(除A外)，由菜单“显示”“隐藏 对象”，可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图1-1.17。

以下只要连结点C和三个四等分点就行了，„„

B注意：在最后结果中不需要看到的对象，一般是把它隐A

藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点图1-1.17

也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的，隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例一的练习供参考。

３、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便？，在需要其它等分的情况下，

6

哪种方法更具有一般性？

案例二 三角形的内角和

现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。

图1-2.1

思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图1-2.2：

图1-2.2

那么，如何知道拼成的一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。

方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形，总有内角和是1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC

第二步：(1) 选取“选择”工具，按住Shift不放，B依次选取点B、A、C；(2) 由菜单中的“度量”BAC = 45.0

“角度”，量出∠BAC的度数，

ABC = 74.6

用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3

ACB = 60.4

说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和图1-2.3一样）。

AC图1-2.3

注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。

第三步：由菜单“度量”“计算”弹出一个计算B器，依次点击“∠BAC=„”、“+”、“∠ABC=„”BAC = 45.0

“+”、“∠ACB=„”、“确定”，如图1-2.4。

ABC = 74.6

说明：“∠BAC=„”在本例中是“∠BAC=45.00”，ACB = 60.4

这里用省略号表示，是因为每个人画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表AC示。

BAC + ABC + ACB = 180.0

技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量”

“计算”；(2) 双击工作区中的任一度量值，如图1-2.4

“∠BAC=„”；(3) 在工作区中击鼠标右键，由“度量”“计算”。

7

归纳结论：

请按要求操作后填写下表：

序号 操 作

1

观察

用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成钝角三角形

用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成直角三角形

2

3

4

现象

∠BAC=______

∠ABC=______

∠ACB=______

∠BAC=______

∠ABC=______

∠ACB=______

∠BAC=______

∠ABC=______

∠ACB=______

三个角的和等于

用鼠标拖动其中一个顶点任意改

三个内角的和总是

变三角形的形状

结论 三角形的内角和总是________

如有问题，请到几何画板分版，下载案例二供参考。

练习：

1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是3600。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习1供参考。

2、用“选择”工具同时选取点A、B，由菜单“度量”“距离”，可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习2供参考。

8

案例三 最佳行走路线

如图1-3.1：你身在草原上，现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走路线。

图1-3.1

思路：把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最佳行走路线。

方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。

第二步：(1) 按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的C工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图1-3.2。

AB

图1-3.2

第三步：(1) 按Shift键，用鼠标选取点C和直线AB，(不要选取点A和B)；(2) 由菜单“作图”“垂线”，画出了过点C垂直于AB的直线，如图1-3.3

说明：虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没有选取直线上的点，在后面的学习中，如果要求选取直线、A线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。

第四步：(1) 用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签D；

(2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点A、B，由“显示”“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签j；(3) 选“画线段”工具，连结线段CD，如图1-3.4。

说明：点A、B是控制直线AB的点，通过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线经过这两个点，可以

CB图1-3.3

CjD1-3.4

E9

在制作完成后把它隐藏。

第五步：(1) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点C处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j上时松开，如图1-3.5。

技巧：CE是直线j的斜线段，所以要保证一个端点是C，另一个端点E只能在直线j上移动，怎样才能保证呢？，在画图的过程中，移动鼠标到点C时，注意观察状态栏中有“从点C”，这时按下左键可以保证一个端点为C，移动鼠标到直线j时，状态栏中有“到点位于直线j”时松开，这样点E一定在直线上，不能拖到直线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。

第六步：同时选取点C、D，由“度量”“距离”，量出CD，同理量出CE，如图1-3.6。

CD = 1.68 cmCE = 2.16 cmCjD图1-3.5

E

CjD图1-3.6

E

归纳结论：

拖动点E在直线j上移动，观察CD与CE的大小，什么时候CE=CD？，除了这个位置外的其它位置CD与CE哪一个比较大？

以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中，_________最短，因而最佳行走路线是走点到直线的垂线段。

如有问题，请到几何画板分版，下载实例三供参考。

练习：

1、在图1-3.6的基础上，增加一个点F，通过度量∠CDF、∠CEF，如图1-3.7，拖动点E，观察什么情况下两个角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直线j垂直吗？

CD = 1.68 cmCE = 2.16 cmCCDF = 90

CEF = 51

FjDE图1-3.7

如有问题，请到几何画板分版，下载案例三练习供参考。

10

案例四 横梁有多长

如图1-4.1，一个三角形屋架，屋面的宽度是13米，立柱长5米，那么横梁有多长？

图1-4.1

思路：这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系？

方案：大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不断改变图形的大小形状(但保持直角不变)，验证定理是否总是成立。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。

第二步：在工作区中画一条线段AB，如图1-4.2。

AB

图1-4.2

第三步：(1) 按住Shift，用“选择”工具选取点A和线段AB；(2) 由菜单“作图”“垂线”，作出点A垂直于线段AB的直线。如图1-4.3

AB注意：不要选另外一个端点B，那样过B点也会有一条直线与AB垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线。

技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小

和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己图1-4.3

看上去“垂直”的直线，就不能在改变形状时保持垂直关系。

第三步：(1) 选“画点”工具；(2) 移动鼠标到垂线上C单击，如图图1-4.4

注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面。

AB

图1-4.4

第三步：(1) 选取垂线CD，由“显示”“隐藏直线”，C把垂线隐藏； (2) 用画线段工具画出线段AC、线段BC，如图1-4.5。

技巧：最后的图中应该是线段，但为了保证变化过程中A保持垂直关系，必须先画辅助垂线，最后在不需要时把图1-4.5

它隐藏。

B

11

第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图1-4.6所示，

CmAnjB图1-4.6

第五步：用“文本”工具双击标签n，在弹出的对话框中作如下改动：如图1-4.7。

图1-4.7

用同样的方法改j为c，改m为b，如图1-4.8。

说明：这样做是为了照顾我们的数学习惯，或者是题目本身的要求，这种改点或线的标签的方法，在操作过程中会经常用到。

第七步：同时选取线段a、b、c，由菜单“度量”“长度”，可以同时量出三条边的长度，如图1-4.9

第八步：弹出计算器，依次点击“b=„”、“^”、“2”、“+”、“c=„”、“^”、“2”，然后按“确定”，可以计算出b2+c2的值；同样可以算出a2的值，

得到如图1-4.10，

说明：这里“^”表示乘方运算。

CbaAcB图1-4.8

CbaAcBc = 2.70 cma = 3.03 cmb = 1.39 cm1-4.9

CbaAcBc = 2.70 cma = 3.03 cmb = 1.39 cmb2 + c2 = 9.20 cm2a2 = 9.20 cm2图1-4.10

12

图

归纳结论：

序号 现象 b2+c2与a2相等吗？

b2+c2=____

1

观察

a2=_____

b2+c2=____

2

用鼠标拖动点B到另一位置。

a2=_____

b2+c2=____

3

用鼠标拖动点B到另一位置。

a2=_____

4

任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状，

222结论

b+c____a

可以看到，总是有两直角边的平方和等于斜边的平方，本例中的横梁用勾股定理算得一半为12米，操 作

全长为24米。

如有问题，请到几何画板分版，下载实例四供参考。

练习：

1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例四练习1供参考。

2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图1-4.11，这里只是把原来的点C改成了D。

DAB图1-4.11

（1）选取点D和线段AB，由“作图”“平行线”，C画出过D平行AB的直线；（2）选取点B和直线AD，D同样画出过点B平行于AD的直线；（3）用“选择”工具定义出第四个顶点，标记标签为C；如图1-4.12

AB图1-4.12

（4）隐藏三条直线，画出线段AD、DC、CB，即得矩形ABCD，如图1-4.13。

DC说明：拖动点A、B可以改变矩形的大小和位置并可以旋转一定的角度；拖动点D只能改变矩形在纵向上的大小，拖动点C不会改变矩形的大小，但可以改变矩形的AB位置，但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以图1-4-13

通过度量角和边来证实这一点。

3、先画出如图1-4-14的图形，然后用类似于第2题的方法画一个平行四边形，

CAB图1-4-14

13

案例五 三角形的高

三角形的高可能出现在哪些位置？

思路：应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。

方案：如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来说明，现在借助几何画板，我们可以动态地改变三角形的形状，使不同类形的三角形的高可以动态改变。

用几何画板验证：

第一步：(1) 选取“画点”工具画三个点；(2) 选取“画直线”工具后，什么都不用做；(3) 选取“选择”工具，在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；(4) 由菜单“作图”“画直线” (快捷键是Ctrl+L) ，可以画出过这三点的三条直线，标上标签，如图1-5.1。

技巧：(1) 如果要选取的对象比较多，可以用“选择”工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象，这时可能会多选了一些你并不想选的，可以按Shift键后，单击该对象取消选择状态；(2) 上面第二步选“画直线”工具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项，如果你没有做这一步，菜单中通常出现“画线段”，也就是说，几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态是相关的。

第二步：过点A作直线BC的垂线，并单击垂足，定义出垂足D，用同样的方法作出垂线BE和CF，如图1-5.2，

第三步：按住Shift键，用“选择”工具选取所有的直线，注意不要选到点；由菜单“显示”“隐藏直线”，可以隐藏所有直线，得到如图1-5.3

第四步：(1) 同时选取点A、B，(2) 选取“画线段”工具，然后按Ctrl+L，画出线段AB;(3) 用同样的方法画出线段BC、AC、AD、BE、CF，得到如图1-5.4。

技巧：上面说Ctrl+L是画直线，但当你先画了“画线段”的工具后，它的功能会自动变边画线段。

注意：为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢？这是本例的要点，因为如果一开始画的是线段，点D、E、

ABC1-5.1

AFEBDC图1-5.2

AFEBDC图1-5.3

AFEBDC1-5.4

14

图

F被定义为垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变为钝角三角形，垂线和线段没有交点，这样会导致有两条高消失。现在的点D、E、F分别是垂线和直线的交点，再拉动三角形成钝角三角形时，高不会消失。

第五步：(1) 拖动点A，使∠ACB变成钝角，（如图1-5.5）；(2) 选取点C和D，按Ctrl+L，画出线段CD；(3) 保F持线段CD的选取状态，由菜单“显示”“线型”“虚线”，改CDBC为虚线，符合通常的习惯，

用同样的方法画线虚线段CE，

E图1-5.5

第六步：拖动点A使使∠ABC变成钝角后用同样的方法作出虚线段BF。最后完成图1-5.6

AFDABECD

AED图1-5.6

BFC

归纳结论；

序号

1

观察

操 作

三角形三条高的位置

三条高（或高的延长线）交于一点吗？

用鼠标拖动点C到另一位置。

2

使△ABC仍为锐角三角形，再观察，

用鼠标拖动点A到另一位置。

3

使△ABC变为直角三角形，再观察，

用鼠标拖动点A到另一位置。使4

∠ABC为钝角，再观察

结论 三角形的三条高或高的延长线___________.

如有问题，请到几何画板分版，下载案例五供参考。

练习：

观察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系。

其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”“中点”（或按Ctrl+M）可以作出线段的中点，接着就可以画中线了；

画角平分线的方法：如按Shift，依次点选点B、A、C，可以作出∠BAC的平分线，确定角平分线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就行了。

15

1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实验报告。

序号 操 作

三角形三条中线三条中线交于一点的位置 吗？

1

观察

用鼠标拖动点C到另一位置。

2

使△ABC仍为锐角三角形，再观

察，

用鼠标拖动点A到另一位置。

3

使△ABC变为直角三角形，再观

察，

4

用鼠标拖动点A到另一位置。使∠ABC为钝角，再观察

结论 三角形的三条中线___________.

如有问题，请到几何画板分版，下载案例五练习1供参考。

2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求填写实验报告。

序号 操 作

三角形三条角平三条角平分线交于一分线的位置 点吗？

1

观察

用鼠标拖动点C到另一位置。

2

使△ABC仍为锐角三角形，再观

察，

用鼠标拖动点A到另一位置。

3

使△ABC变为直角三角形，再观

察，

4

用鼠标拖动点A到另一位置。使∠ABC为钝角，再观察

结论 三角形的三条角平分线___________.

如有问题，请到几何画板分版，下载案例五练习2供参考。

16

案例六 挂画的学问

要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的距离相等，应该如何钉上挂钉？

图1-6.1

思路： 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。

方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等”。

用几何画板验证：

第一步：画一条线段AB。如图1-6.2

AB

图1-6.2

第二步：(1) 用选择工具选取线段AB，(2) 由菜单“作

图”“中点”（快捷键是Ctrl+M），画出线段AB的

AB中点C，如图1-6.3

C

注意：不要多选其他对象，如果你多选了其他对象，“中如图1-6.3

点”这个选项是灰色的不可用，一般来说，只要选择的对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。

第三步：(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点C和线段AB（但不要框住A、B两点），这样可以同时选取点C和线段AB，(2) 由菜单“作图”“垂线”，B画出过点C垂直于线段AB的垂线，即是线段AB的垂AC直平分线。如图1-6.4

注意：如果你画的图不是这样，过点A或B也有了垂线，

17

那是因为你多选了点A或点B。 图1-6.4

第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一点，标记P为P，如图1-6.5

ACB图1-6.5

第五步：(1) 画出线段PA、PB；(2) 选取点P、A，由菜单动画“度量”“距离”，量得PA，同样量出PB。

P第六步：(1) 同时选取点P和中垂线；(2) 由菜单“编辑”PA = 2.59 cm“操作类按钮”“动画”，在弹出的对话框中，设置如PB = 2.59 cm图1-6.6

ACB图1-6.7

图1-6.6

这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时，点P会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。

最后结果如图1-6.7。

注意：不要多选其它对象，这里只需要点P在中垂线上运动。

归纳结论：

序号 操 作 现象 结论(是否相等)

1

拖动点P到另一位置，

这时PA=____

PB=____

PA____PB

2

拖动点P到第二个位置

这时PA=____

PB=____

PA____PB

3

拖动点P到第三个位置

这时PA=____

PB=____

PA____PB

点P在AB的中垂4

双击“动画”按钮，

线上不停的运动，

PA____PB

结论 只要点P在线段AB的中垂线上，实验过程中PA______PB.

如有问题，请到几何画板分版，下载案例六供参考。

练习:

1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。

18

第七步：(1) 选取垂直平分线，将它隐藏；(2) 画出线段PC。得到如图1-6.8。

动画PPA = 2.59 cmPB = 2.59 cmA图1-6.8

第八步：用量距离的方法量AC、BC，量∠PAB、∠PBA、∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC的度数，得到如图1-6.9。

CB

P动画PA = 3.17 cmPB = 3.17 cmAC = 1.47 cmBC = 1.47 cmAPC = 27.53

BPC = 27.53

BPA = 55.06

APAB = 62.47

PBA = 62.47

CBPCB = 90.00

图1-6.9

归纳结论：

序号 操 作

1

2

3

4

5

结论

用鼠标拖动（或双击动画按钮）不断地改变点P位置。

现象

PA和PB总是相等吗？

____________________

∠PAB和∠PBA总是相等吗？

∠PCB总是等于90度吗？______________

AC和CB的长总是相等吗？______

∠APC和∠BPC总是相等吗？__________

结论

△PAB是______三角形。

等腰三角形的两底角__________

PC是等腰三角底边上的________

PC是等腰三角形底边上的_________.

PC是等腰三角形顶角的_______________.

等腰三角形的两底角_______，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线__________.

也可以拖动使∠APB=600，再观察边角的变化。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例六练习1供参考。

2、学画一个菱形，接第1题，先画出如图1-6.10的图形，由于点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB。

PA

CB图1-6.10

19

（1）选择线段AB，由“变换”“标记镜面„”，标记AB为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个方框。

说明：标记镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。

技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射线）后用快捷键Ctrl+G.

（2）同时选取点P、线段PA、PC、PB；（3）由“变换”“反射”，得到如图1-6.11。

PD（4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图1-6.12。

说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种，ACBA但不管用哪种方法，都要符合图形的几何关系，也就是OC当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。

B图1-6.11 图1-6.12

如有问题，请到几何画板分版，下载案例六练习2供参考。

20

案例七 抽水房的位置

在一条河的同一旁有两个村庄A和B，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，才能使所用的水管的钱最少?

图1-7.1

思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C，使AC+BC最小。

方案：作点A关于河流的对称点A’，连A’B交河流于C，计算AC+CB；在河流上另取一点D，计算AD+DB，通过拖动点D在直线上移动，验证AC+CB最小，从而说明C为最佳点。

用几何画板验证：

第一步：（1）画出表示村庄的点A、B；（2）画一条直B线表示河流，隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为A“河流”，如图1-7.2。

说明：标签可以用中文表示，这种技巧常用来标注点或线等对象的功能，例如：给某一点标上“拖动我改变图河流

形”。

图1-7.2

第二步：（1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”“标记镜面„”，直线上出现闪烁后消失的两个方框。

B第三步：（1）选取点A，由菜单“变换”“反射”，得点A关于直线（河流）的对称点；（2）用文本工具A标出标签，默认的是字母A’，得到如图1-7.3

河流A'图1-7.3

21

第四步：（1）用“画线段”工具连结A’B；（2）用“选择”工具在线段和河流相交处单击，作出线段和河流的交点，标出交点的标签C，如图1-7.4。

BACA'河流图1-7.4

第五步：（1）用“画点”工具在河流上画一个点，标记为D；（2）用“画线段”工具连结AC、AD、BD、A’D，A如图1-7.5。

CA'DB

河流图1-7.5

第六步：（1）同时选取点A、点C；（2）由菜单“度量“距离”，量出AC；（3）用同样的方法量出A’C、CB、AD、A’D、DB，如图1-7.6。

说明：量出点A、C的距离，由数学定义可知，这就是线段的长；量线段的长还可以直接选取线段AC，（不要选取点A、C），“度量”“长度”，但这样的方法无法直接量出图1-7.6中CB的长，还要进一步作图。

第七步：（1）调出计算器；（2）依次点击“AC=„”、“+”、“CB=„”、“确定”，可以计算出AC+CB的值；（3）同样去计算A’C+CB、AD+DB、A’D+DB，拖动到适当位置得到如图1-7.8。

A'C 0.= 45 cmAC 0.= 45 cmCB 0.= 92 cmAD =0. 89 cmA'D =0. 89 cmDB =0. 63 cmBACA'D河流图1-7.6

A'C 0.= 45 cmAC =0. 45 cmCB =0. 92 cmAD =0. 89 cmA'D =0. 89 cmDB =0. 63 cm

BACA'AC + CB1. =3 7 cmD河流AD + DB1. =5 2 cm1. 5=2 cmA'C + CB1. =3 7 cmA'D + DB图1-7.8

22

归纳结论：

(一)

序号

1

2

3

4

结论

（二）

序号

现象 D点是否是最佳点

AC+CB=____

观察

AD+DB=____

上面的两个和差距

拖动点D远离点C，

变______（大或小）

上面的两个和差距

拖动点D靠近点C，

变______（大或小）

上面的两个和

拖动点D与点C重合，

_____

以上现象说明，只有取点____处，才能使所用的水管最短，

操 作

操 作

现象 有无相等的关系

AC+CB=____

A’C+CB=____

1

观察

AD+DB=____

A’D+DB=____

AC+CB=____

A’C+CB=____

2

拖动点D远离点C，

AD+DB=____

A’D+DB=____

AC+CB=____

A’C+CB=____

3

拖动点D靠近点C，

AD+DB=____

A’D+DB=____

AC+CB=____

A’C+CB=____

4

拖动点D与点C重合，

AD+DB=____

A’D+DB=____

以上现象说明，研究AC+CB、AD+DB的关系，可以转为研究A’C+CB和结论 A’D+DB的关系，而这个关系可以简单地用三角形的两边之和____第三边来说明。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例七供参考。

练习：

画一条直线，在直线的一旁画一个三角形，标记直线为“镜面”（即对称轴），选取三角形的全部（包括顶点和边），“反射”出它关于直线对称的图形，

1、 用鼠标拖动改变三角形的形状，体会“对称的图形是全等形”，

2、 连结对称点，通过过量角和量线段，体会“对称点的连线被对称轴垂直平分”。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例七练习供参考。

23

案例八 选择厂址

如图，河南区新建一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由。比例尺是1：20000

图1-8.1

思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是300米。

方案：（1）画出角的平分线，以顶点为圆心；（2）1.5cm为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

第二步：选“画射线”工具，画一个角，如图1-8.2。

ABC图1-8.2

第三步：（1）用“选择”工具依次选取点B、A、C；（2）由菜单“作图”“角平分线”，画出了∠BAC的平分线，如图1-8.3。

CA

B图1-8.3

24

第四步：用“画点工具”在角平分线上画一个点，标出标签。得到如图1-8.4。

ABCD图1-8.4

第五步：（1）用“选择”工具同时选取点D和射线AB；A

（2）由“作图”“垂线”，画出过点D垂直于射线AB的直线；（3）用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；（4）选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段DE，用同样的方法画出垂线段DF，得到如图1-8.5

第六步：（1）选取点D和射线AD，（2）由“编辑”“操作类按钮”“动画”，在弹出的对话框中设置点D在射线AD上双向慢速运动。得到如图1-8.6。

第七步：度量出∠AED、∠AFD，线段DE、DF，最后的结果如图1-8.7。

操作验证：双击“动画”按钮或用鼠标拖动点D移动，可以发现DE、DF总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF，这说明了我们要找的点可以定位于角平分线上。

第八步：在工作区中画一条线段GH，量出距离，通过调整G、H的位置，使GH=1.5cm。如图1-8.8

说明：取GH=1.5cm是因为比例尺是1：20000。

FEBCD图1-8.5

A动画FEBCD图1-8.6

AED 9=0. 00

A动画AFD =90. 00

DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD图1-8.7

GH 1.= 50 cmGHAED 9=0. 00

A动画AFD =90. 00

DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD

图1-8.8

25

第九步：（1）同时选取点A和线段GH（不要选点G和H）；（2）由“作图”“以圆心和半径画圆”，得到一个以点A为圆心，半径是1.5cm的圆；（3）用“选择”工具单击圆与角平分线的相交处，定义出的交点I即为所求。如图1-8.9

GH 1.= 50 cmGAED 9=0. 00

AFD =90. 00

DF =1. 43 cmDE =1. 43 cmFHAEIB动画CD如图1-8.9

第十步：（1）选取圆把它隐藏；（2）度量AI；（3）选取点I和射线AB，由“度量”“距离”，可以量出点I到射线的距离，同理量出点到角的另一边的距离，如图1-8.10

由图可知，点I为所求的点。

说明：本例是为了帮助学习角平分线的有关作图，复习角平分线的性质，所以设计了较多的步骤，如果只是为了解决问题本身，可以在画好角平分线后转入第八步，可以快速确定出点I。

AI = 1.50 cmGH = 1.50 cmGAED = 90.00

AFD = 90.00

DF = 1.43 cmFDE = 1.43 cmCDA距离(I到AB) = 0.98 cmH距离(I到AC) = 0.98 cm动画EIB图1-8.10

如有问题，请到几何画板分版，下载案例八供参考。

练习：

1、如图1-8.11是两个互为邻补角的角，分别画出它们的角平分线，验证所画角平分线的关系。

C

AOB

图1-8.11

如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习1供参考。

2、验证平行线的性质

第一步：（1）画一条直线；（2）在直线外画一点。如图C1-8.12。

AB图1-8.12

26

第二步：（1）选取点C和直线AB；（2）由“作图”“平行线”，得如图1-8.13

CAB图1-8.13

第三步：画第三条直线和这两条平行线相交，最后完成如图1-8.14

CED

AFB图1-8.14

请自己度量同位角、内错角，同旁内角，计算同旁内角的和，拖动点改变图形，验证平行线的性质。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习2供参考。

27

案例九 古建筑的窗格

在古建筑中，常可以看到这样的窗格，如图1-9.1，这其中有什么数学知识呢？

图1-9.1

思路：外圈是一个矩形，相当于连结矩形四边的中点，得到一个四边形，再连结它的四边的中点。

方案：（1）先画一个平行四边形，顺次连结四边中点，再顺次连结所得四边形四边中点，度量三个四边形的四边和一个内角，此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形”；

（2）通过拖动点的位置，使最大的四边形的一个内角的度数为900，这时可以观察里面的两个四边形，此步可以说明：“顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”、“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图形”；

（3）继续拖动点的位置，保持最大四边形的内角是900的前提下，使它的邻边相等，这时最大的四边形是正方形，此步可以说明：“顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形”。

用几何画板验证：

第一步：画一个平行四边形，

CD（1） 先画好线段AB、BC；

（2） 分别过点C作线段AB的平行线，过点A作线段BC的平行线；

（3） 用“选择”工具定义得交点D，如图1-9.2。

BA

图1-9.2

第二步：（1）隐藏直线AD、DC；（2）连结线段AD、DCDC，得如图1-9.3。

注意：隐藏直线时不要误选点A、D、C，这三点不能隐藏。

AB

图1-9.3

第三步：（1）选取平行四边形的四边，由“作图”“中点”，画出四边中点，用线段顺次连结；

（2）再选取所连四条线段，同样定义中点，顺次连结，如图1-9.4。

DKHLAE

GJFIBC图1-9.4

28

第四步：（1）同时选点A、B，由“度量”“距离”，量出AB的长，用同样的方法量出每个四边形的四条边；

（2）按住Shift，依次选点D、A、B，量出∠DAB，同样量∠HEF、∠KLI；得如图1-9.5。

DKHLAEGJFIBCLI = 1.23 cmIJ = 1.02 cm1.02 cmKJ = 1.23 cmLK =

KLI = 64.91

AB = 2.46 cmBC = 2.04 cmHE = 1.22 cmEF = 1.90 cmDC = 2.46 cmAD = 2.04 cmGF = 1.22 cmHG = 1.90 cmDAB = 64.91

HEF = 101.76

图1-9.5

归纳结论：

（1） 拖动点C改变平行四边形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD总是平行四边形，四边形EFGH是_______________,四边形I JKL是____________，说明顺次连结平行四边形的四边中点，所得的图形是________________.

（2） 拖动点C，使∠DAB=900，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，四边形IJKL是________。说明顺次连结矩形四边中点得_______，顺次连结菱形四边中点得______.

（3） 拖动点C，保持∠DAB=900，同时使AB=AD，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，四边形I JKL是________。说明顺次连结正方形四边中点得_______。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例九供参考。

练习：

1、（1）画一个四边形，顺次连结四边中点，如图1-9.6，看得到的GFEH什么样的图形，请度量GFEH的边长来说明；

（2）拖动点A成图1-9.7位置，GFEH还是平行四边形吗？

（3）拖动点A成图1-9.8位置，GFEH还是平行四边形吗？

以上操作说明：四条线段首尾相接(不一定是凸四边形)，顺次连结各线段中点所得的图形是_______

DGAFBHCEHDGAFCAGHCDEFE图1-9.6

B图1-9.8

如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习1供参考。

2、更深入的探究：顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、菱形、正方形？

（1）连结得正方形。

第一步：画一条线段，AB，在AB上画一点C，如图AC1-9.9

图1-9.9

第二步：用“选择”工具双击点C，标记点C为中心，下面将要进行的旋转是绕点C进行的，

技巧：标记一点为中心的另两种方法是

图1-9.7

B

B

29

（1） 选取一个点，由“变换”“标记中心”；

（2） 选取一个点，按快捷键Ctrl+F。

第三步：选取点A、B，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置如图1-9.10：得到如图1-9.11。

A图1-9.10

说明：这样做的目的是保证两条线段垂直且相等。

第四步：选取点A'、B'，由“变换”“平移”，在弹出的对话框中做如图1-9.12设置，得图1-9.13。

图1-9.12

说明：如果我们直接由刚才的四个点连结得四边形，会得到一个梯形，平移的目的在于，平移后A''B''仍垂直且等于AB，但四边形不再是梯形，这时可以得到一个比较一般的四边形。

B'CBA'图1-9.11

B''B'ACBA''A'图1-9.13

30

第五步：隐藏A'、B'，连结AA''、A''B、AB''、BB''，如图1-9.14。

B''ACA''B图1-9.14

第六步：作四边形各边中点，连结如图1-9.15。

以下请自己度量DEFG的四边和一个内角，通过拖动点C改变图形，

只要四边形的对角线垂且相等，顺次连结四边中点所得图形是_______。

ADA''EB''GCBF

图1-9.15

（2）自己画两条垂直但不相等的相交线段，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。

（3）画两条相等但不垂直的相交直线，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。

提示：在第（1）小题中旋转时不要转900，改为其它度数即可。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习2供参考。

31

案例十 成功之路不只一条

以几何画板为工具，你会用多少种方法来画一个正方形？

思路：无论你用什么方法，你必须保证这样的结果，画好的正方形在改变大小和位置时，仍然是一个正方形，也就是说，“四边相等”、“四个角是直角”、“对角线互相垂直平分且相等”这些性质仍然保持。

下面给出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否则请参考后面的详细步骤：

方案一：（1）画一条线段；（2）作出线段的中点；（3）标记中点为“中心”；（4）选取线段和它的两个端点，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”；（5）连结旋转后两条线段的端点。

方案二：（1）画一条线段；（2）标记线段的一个左端点为“中心”；（3）选取线段和右端点，按上面介绍的方法把它们旋转90度；（4）标记右端点为“中心”；（5）选取线段和左端点，按上面的方法旋转-90度；（6）连出第四条边。

方案三：（1）画一条直线，在这条直线上画一点；（2）过这一点画已知直线的垂线；（3）以垂足为圆心画一个圆；（4）定义出圆和两条直线的交点；（5）顺次连结四个交点，隐藏不需要的对象。

方案四：（1）画一个圆，标记圆心为中心；（2）；在圆上画一点，选取这个点，由“变换”“旋转”，设置旋转90度，这时得到另一个点；（3）保持新得到的点的选取状态，把它又旋转90度，得到第三个顶点；（4）连结四个顶点，隐藏不需要的对象。

„„„„在这里提出你的新方案：

以上四种虽然都能画出正方形，但画好的四边形在控制大小和位置时有的比较方便，有的不是很方便，请自己比较哪些方案比较方便。

用几何画板验证：

方案一的验证

第一步：画一条线段AB，作出它的中点C，用“选择”ABC

工具双击点C，点C被标记为中心，如图1-10.1。

图1-10-1

第二步：选取点A、B和线段AB，由“变换”“旋B'转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，如图1-10.2。

ACBA'图1-10.2

第三步：改标签为我们常用的，如图1-10.2。

D

AOCB图1-10.2

32

第四步：最后连结得如图1-10.3。

说明：拖动点C或A可以把正方形“摆正”。

DAOCB图1-10.3

方案二的验证：

用几何画板学习到现在，相信大家会有一个感觉，几何画板中为什么不能直接画出矩形、正方形等特殊图形，其实是可以的，但是这个功能需要自己把画图的过程保存为一个记录文件，然后在“对象参数设置”面板中设置好使用记录文件的路径，这时工具箱中会多出一个按钮，可以通过这个按钮调用记录文件，这时可以快速画好一个特殊的图形。

如何制作一个记录文件：

第一步：（1）新建一个几何画板文件；（2）选取“文件”“新记录”，这时窗口变成如图1-10.4。左边是绘图窗口，右边是记录窗口，

注意：绘图文件是扩展名是.gsp，记录文件的扩展名是 .gss。

图1-10.4

第二步：点一下记录窗口中的“记录”，按钮，记录窗口变成如图1-10.5。

图1-10.5

第三步：点击“绘图”窗口，在窗口中画一个线段，如图1-10.6。

图1-10.6

33

第四步：（1）用“选择”工具双击左边端点，标记此点为“中心”；（2）选取右边的端点和线段，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，得如图1-10.7。

图1-10.7

第五步：（1）用“选择”工具双击右边端点，标记此点为“中心”；（2）选取左边的端点和线段，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按－90度旋转”，得如图1-10.8。

图1-10.8

第六步：（1）连出最后一边；得图1-10.9；

（2）单击“记录窗口”中的停止按钮，结束记录的录制；

（3）在保持“记录窗口”是活动窗口的前提下，由“文件”“存盘”，弹出“文件另存为”窗口，默认的文件名是“记录”，可以改为“正方形.gss”，默认

的位置是几何画板的安装目录，不用修改直接点“确图1-10.9

定”。

以上的工作已经录制好一个记录并保存，下面学习如何从工作箱中调用这个记录。

如何设置记录工具所在目录：

第七步：（1）由“显示”“参数选择„”，弹出一个对话框； （2）在对话框中点“R其他”按钮，又弹出一个“高级参数选择”对话框，请注意“记录工具目录”这一部分，如图1-10.10。

图1-10.10

第八步：（1）单击“设置”按钮，弹出选择目录对话框，选择目录为你刚才存放记录“正方形.gss”的文件夹；（2）点“确定”按钮关掉第三个对话框，再点“继续”按钮关掉第二个对话框，最后点“确定”关闭第一个对话框，完成记录工具目录的设置。

说明：这个操作只需设置一次，以后制作好的目录都存在已设置好的文件夹中，就可以方便的调用了。

如何使用记录工具：

第九步：当你正确设置好后，工具箱中会多出一个按钮，点击这个按钮，出现图1-10.11。

点取正方形这一项，然后在窗口中按鼠标左键拖动，可以快速画出一个正方形。

34

图1-10.11

练习：

1、 自己录制一个画矩形的记录，存放在正方形记录所在文件夹。

2、 录制一个画正三角形的记录。

3、 录制一个画平行四边形的记录。

4、 录制你常用的其它图形的记录。

35

案例十一 圆周角与圆心角

方案：画一个圆，画出一段弧所对的圆心角和圆周角，验证同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

第二步：（1）选取“圆画”工具；（2）按住鼠标左键在工作区中拖动，可以画一个圆；（3）标出标签并改为所要的，如图1-11.1。

这时同时会出现两个点，一个是圆心，一个是圆上的点，这两个点可以用来控制圆的大小和位置，在下面的作图过程中，一般不要用到圆上的这一点，以免在拖动的过程中改变了圆的大小。

第三步：用“画点”工具，在圆上画出三个点，标上标签并改为点P、A、B，得到如图1-11.2。

第四步：连结PA、PB、OA、OB，度量∠AOB、∠APB，得到如图1-11.3。

第五步：由菜单“度量”“计算”，弹出几何画板的计算器，依次点取“∠APB”、“/”、“∠AOB”、“确定”，可以计算出两个角的比。得到如图1-11-4。

OG图1-11.1

POGAB图1-11.2

PAOB 8=3. 18

APB =41. 59

OGAB图1-11.3

PAOB 8=3. 18

APB =41. 59

OAPBAOB =0. 50GAB1-11-4

36

图

归纳结论：

序号

1

操 作

拖动点P，在弧AGB上移动，

现象

∠APB=_____

∠AOB=_____

结论

同弧所对的圆周角_________;

同弧所对的圆周角是圆心角的____

同弧所对的圆周角是圆心角的____

APB___

AOB∠APB=_____

∠AOB=_____

2

拖动点B，把弧AB变长，

APB___

AOB

结论

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十一供参考。

练习：

1、 自己画一个圆，在圆上画四点，画出一个圆内接四边形，验证圆内接四边对角互补。

2、 画三角形的外接圆，画法要点：（1）先画好一个三角形；（2）画两边的垂直平分线，用“选择工具”单击两条垂直平分线的交点处，确定出外心；（3）按住Shift，用“选择工具”先选取外心，再选取三角形的一个顶点，由菜单“作图”“以圆心和圆周上的点画圆”，画出三角形的外接圆，隐藏两条中垂线，得到最后的图形。

3、 画三角形的内切圆，画法要点：（1）先画好一个三角形，画出三角形的两条角平分线，并确定对角线的交点，即是内心；（2）过内心作一条边的垂线，确定出垂足；（3）按住Shift，用“选择工具”先选取内心，再选取刚才作的垂足，由菜单“作图”“以圆心和圆周上的点画圆”，画出三角形的内切圆，隐藏两条角平分线和垂线，得到最后的图形。

37

案例十二 与圆有关的比例线段

思路：相交弦定理，切割线定理及其推论，形式上有类似之处，那么三者之间到底是什么样的关系呢？

方案：设计一个满足以下条件的小课件，（1）可以动态地变化出弦相交于圆内或它们的延长线相交于圆外；（2）割线和圆的两交点可以变成一个交点，从而变成切线，方便研究关系。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

第二步：在工作区画一个圆，并在圆上画四点，标上标签并改为A、B、C、D，如图1-12.1。

第三步：（1）选取“画直线”工具，移动鼠标到点A按下，拖动到点B放开，画出直线AB，同理画直线CD；（2）用“选择”工具单击两条直线的交点处确定出交点。标记标签为P，得到图1-12.2。

注意：此步一定选画直线相交，如果一开始画的是线段，就不能让它们在圆外相交了。

第四步：（1）选取刚才画的两条直线AB、CD，由菜单“显示”“隐藏直线”，把直线AB、CD隐藏；（2）选取“画线段”工具分别画出线段PA、PB、PC、PD。得到图1-12.3。

第五步：（1）按Shift键不放，选取点P、A，由菜单“度量”“距离”，量出PA，用同样的方法量出PB、PC、PD；（2）由菜单“度量”“计算”，弹出几何画板的计算器，依次点击“PA=„”、“*”、“PB=„”、“确定”，可以计算出PA与PB的积，同理可以计算出PC与PD的积，得到如图1-12.4。

注意：由于每个人画的图不同，度量的数据和计算的结果都不会相同，但只要完成同样的操作就行了。

CABD图1-12.1

CAPBD图1-12.2

CAPBD图1-12.3

PA =0. 31 cmPC =0. 37 cmPB =0. 78 cmCPD =0. 67 cmAPBDPAPB =0. 25 c2mPCPD =0. 25 c2m图1-12.4

38

归纳结论：

序号 结论

圆的两条弦AB与CD点P在圆的___部；

1

拖动点C在弧ACB上移动， 相交于点P，

PA·PB_____PC·PD

PA·PB_____PC·PD

圆的两条弦AB与CD点P在圆的___部； 的延长线相交于圆外2

拖动点C移到弧ABD上运动，

PA·PB_____PC·PD 一点P，

PA·PB_____PC·PD

从圆外一点引圆的切线段CD与圆的两个交线段和割线，切线和点变为___个，此时PC3

拖动点C移动到与点D重合。 是这点到割线与圆交（PD）就是圆的__线段

点的两条线段长的PA·PB_____PC2

__________。

从实验可以看出，如果考虑弦相交或弦的延长线相交，或者当两个交点变为一个结论

时，割线变成了切线，三个定理在本质_____（是或不是）统一的。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十二供参考。

练习：

1、 验证直线与圆的位置关系，操作要点：（1）画一个圆，画出它的一条半径，量出半径的长；（2）画一条垂线，作出圆心到直线的垂线段，量出垂线段的长；（3）通过拖动直线和圆的相对位置，比较半径和垂线段的长的大小，找出相互关系的数量表示方法；

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十二练习1供参考。

2、 验证圆与圆的位置关系：操作要点：（1），画大小不同的两个圆；（2）画出各自的半径和连心线；（3）度量它们的半径和圆心距，并用计算器计算出半径之和、半径之差；（4）通过拖动圆（不要只拖圆心），改变两个圆的相对位置，找到不同位置关系下的数量表示方法。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十二练习2供参考。

操 作 现象

39

案例十三 一次函数的图象

思路：

画出一次函数y=kx+b的图象，研究k、b对一次函数的位置关系的影响。

方案：

在横轴和纵轴上各画一个点，用横轴上的点的横坐标表示k，用纵轴上的点的纵坐标表示b，计算出函数值，画出函数的图象，通过拖动坐标轴上的点改变k和b的值，从而观察函数图象的变化。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

2第二步：由菜单“图表”“建立坐标系”，这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系；得到如图1-13.1。

1-2-1-112

2图1-13.1

第三步：（1） 选取“画点工具”，分别在x轴画两个点、y轴上画一个点；

（2） 用“文本”工具标出它们的标签，并x改轴上的为k，改y轴上的为b,，得到如图1-13.2

注意：这样不符合常规的表示方法，一般的点是用大写字母表示的，但这里为了能更清楚的观察，我们例外地这样表示。

1b-2-2-1-1图1-13.2

k12

第四步：（1） 选取b点和点k，由菜单“度量”“坐标”，可以量出这两点的坐标；

（2） 由菜单“度量”“计算”，弹出计算器。用鼠标在点b的坐标处单击。在弹出的一个灰色板中选y，然后按“确定”，这样可以计算出点b的纵坐标yb；用同样的方法，可以计算出点k的横坐标xk；

（3） 可以用“文本”工具双击xk，在弹出的对话框（图1-13.3）中选文本格式，并改等式的左边为k，同样可以改变yb的显示格式。

在x轴上再画一个点，度量它的坐标，分离出横坐标x=„，最后得到如图1-13.4。

-2X: (0.22, 0.00)b:(0.0 0, 0.67)k:(0.6 4, 0.00)b = 0.67

k = 0.64

2x= 0.22

1b-2图1-13.4

-1-1Xk12

-240

图1-13.3

第五步：(1) 由菜单“度量”“计算”弹出计算器，然后顺次点取“k=„”、“*”、“x=„” “+”、“b=„”、“确定”，这样可以计算kx+b的值；

（2） 用“选择工具”按顺序选“x=„”、“kx+b=„”，由菜单“图表”“P绘出点(x,y),可以绘出以“x=„”的值为横坐标，以“kx+b=„”为纵坐标的一个点，标记为点A。

-4-3（如果看不到这个点，请调整k、b的位置靠近原点，直到看到这个点）。

（3） 用“选择工具”选取点X和点A，然后由菜单“作图”“轨迹”，可以画出一次函数y=kx+b的图象。得如图1-16.5。

归纳结论：

（一）

序号

1

3X: (0.22, 0.00)b:(0.0 0, 0.67)k:(0.6 4, 0.00)b = 0.67

k = 0.64

x= 0.22

kx + b =0. 8121bA-2-1-1Xk1234图1-13.5

-2

操 作 现象

b____0

拖动点b在y轴的正半轴上移动，

2

拖动点b和原点重合，

b____0

3

结论

拖动点b在y轴的负半轴上移动，

b____0

结论

当b>0时，图象与y轴的交点在x轴的______方。

当b=0时，图象与y轴的交点在______。

当b<0时，图象与y轴的交点在x轴的______方。

b的数值决定了直线和_____轴交点的位置。

（二）

序号 操 作

1

拖动点k在x轴的正半轴上移动，

2

拖动点k和原点重合，

现象

k____0

k____0

3 k____0

拖动点k在x轴的正半轴上移动，

结论 k的数值决定了直线相对于_____轴倾斜的方向。

说明：当k=0时，函数已经不是一次函数，但仍然和一次函数有一定的联系。

结论

直线向____方倾斜

直线变成和___轴平行。

直线向____方倾斜

41

（三）

拖动点k和b，使它们的值满足下面的表格，观察函数图象经过的象限。

k>0 k=0 k<0

经过一、二、三象限 一、二

就是x轴

三、四

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十三供参考。

练习：

用类似的方法画出反比例函数ykx的图象，研究当k>0和k<0时函数图象的位置。

42

b>0

b=0

b<0

案例十四 二函数的图象

思路：

画出函数yaxhk的图象，要求能动态地控制图象的开口方向、形状、位置。

2用几何画板验证：

第一步：建立一个新的几何画板文件，

第二步：（1）由菜单“图表”“建立坐标系”，这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系；

（2）选取“画点”工具在x轴上画四个点，其中一个画得比较靠近原点，标记为x，另外三个尽量靠近工作区的最右边，不用标出标签；

（3） 按住Shift不放，用“选择”工具选取刚才画的右边三点和x轴，由“作图”“垂线”，画出分别过这三点垂直于x轴的三条直线；

（4）选取“画点”工具，在画好的三条垂线上各画一个点，分别标标签为，a、h、k。

-2得到如图1-14.1。

2

1ahk-1x12-1图1-14.1

第三步：（1）度量点x、a、h、k的坐标，再用计算器分离出点x的横坐标、点a、h、k的纵坐标；

（2）用“文本工具”修改显示格式，最后得x=„、a=„、h=„、k=„的形式，

（3）调出计算器，依次点击“a=„”、“*”、“（”、“x=„”、“－”、“h=„”、“）”、“^”、“2”、“+”、“k=„”、“确定”，这样可以计算函数值，供后面画点用。

如图1-14.2。

k:(1.5 5, 0.58)h:(1.3 0, 0.56)a:(1.1 1, 0.51)x: (0.28, 0.00)

2-2a = 0.51h

= 0.56

k= 0.58

x = 0.28

a(x - h)2 + k =

0.621ahk-2图1-14.2

-1x12

-1-2

43

第四步：（1）按住Shift不放，用“选择”工具按顺序先选取“x=„”，再选“axhk=„”；（2）由菜单“图表”“P绘出（x,y）”，可以绘出图象上的一个点，标记为P；

（3）按住Shift不放，用“选择”工具按顺序先选取点x，再选取点P，然后由菜单“作图”“轨2迹”，这样就画出了二次函数yaxhk的图象；

（4）按住Shift不放，用“选择工具”按顺序先选取“h=„”，再选“k=„”，然后由菜单“图表”4“P绘出（x,y）”，可以绘出抛物线的顶点；

（5）选取画好的顶点和x轴，由“作图”“垂线”，这样实际上画出了二次函数图象的对称轴；（6）选取对称轴，由“显示”“线型”“虚线”，这样改变对称轴为虚线，便于区别。得到如图21-14.3。

3k:(1.5 5, 0.39)h:(1.3 2, 0.43)a:(1.1 1, 0.34)2x: (0.28, 0.00)a = 0.34h

= 0.43

k= 0.39

x = 0.28

1a(x - h)2 + k =

0.40Pahk-2-1x123

图1-14.3

归纳结论：

-1（一）由a值引起的变化

序号 操作 现象 结论

函数的图象开口-2向____

当a>0时，图象开口向1

拖动点a在x轴的上方向上移动，

a的值越来越___

____;

a的值越大，图象a越大，图象越靠近越____（靠近，________

离开）对称轴。

这时函数不是二次函2

拖动点a到x轴上

a=___

数，它的图象变为_____________-

函数的图象开口向____

当a<0时，图象开口向3

拖动点a在x轴的下方向下移动，

a的值越来越___

____;

a的值越小，图象a越小，图象越靠近越____（靠近，________

离开）对称轴。

结论 a的值影响函数图象的____方向，当a>0时，开口向___，当a<0时，开口向____.

44

-3

（二） h的值引起的变化

序号 操作 现象 结论

h的值越来越___ 当h>0时，对称轴在y1

拖动点h向上移动， 函数对称轴向轴的___侧，h越大，对____移动 称轴越靠___.

h的值越来越___ 当h<0时，对称轴在y2

拖动点h向下移动， 函数对称轴向轴的___侧，h越大，对____移动 称轴越靠___.

结论 h的值影响图象______的位置，实际上它控制了图象的左右移动。

（三）k值引起的变化

序号 操作 现象 结论

k的值越来越___

1

拖动点k向上移动， 函数图象向__移当k>0时，顶点在x轴动

的____方

k的值越来越___

2

拖动点k向下移动， 函数图象向__移当k<0时，顶点在x轴动

的____方

结论 k的值控制了图象的______移动。

如有问题，请到几何画板分版，下载案例十四供参考。

练习：

画函数y3x24x1的图象，观察图象，说出x取哪些值时，函数值为0。

45

案例十五 多久能追上

甲与乙同向跑步，乙在甲前面的3米处。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4.5米/秒，两人同时起跑，问甲几秒钟追上乙？

思路：利用几何画板的计算功能，让甲乙两个对象在时间的控制下，根据自己的速度移动，当甲追上乙时，显示的时间即为所求。

用几何画验证：

第一步：新建一个几何画板文件，由菜单“图表”“建立坐标系”，在工作区中出现了一个平面直角坐标系。

第二步：(1) 在Y轴的正半轴上画一点C，选取点C和Y轴；(2) 由“作图”“垂线”，画出过点C垂直于Y轴的直线；(3) 在垂线位于第一象限内的部分上画一点D，如图1-15.1。

-5

第三步：(1) 选取垂线CD，由“显示”“隐藏”，把垂线隐藏；(2) 选取“画射线”工具，从点C按鼠标拖动到点D，画出射线CD；(3) 用画点工具在射线CD上画一个点E；(4) 把D点隐藏，得到如图1-15.2。

说明：这样反复操作的目的在于，由于我们要用点E的横坐标来代表时间，点E的横坐标只能取正值，为保证点E不会拖动到第二象限，所以画好的垂线要变成射线，同时隐藏点D，使这条射线不能再拖到其它象限。

-5第四步：(1) 选取点E，由菜单“度量”“坐标”，得到点E的坐标；(2) 由“度量”“计算”，调出计算器；(3) 在点E的坐标上单击，在出现的面板中选x，按确定，即可分离出点E的横坐标，操作如图1-15.3，结果如图1-15.4。

-5图1-15.3

5CD55图1-15.1

CE-55图1-15.2

5E: (1.62, 2.99)xE = 1.62CE-5图1-15.4

546

第五步：(1) 用“文本”工具双击分离出来的横坐标，在5弹出的对话框中做如下改动(图1-3-5)；(2) 隐藏点E的坐标，得如图1-3-6。

t = 1.62

CE-55图1-15.5

5图1-15.6

第六步：(1) 调出计算器，依次点“5”、“*”、“t=„”、“确定”，计算出5t的值；(2) 调出计算器，依次点击“3”、“+”、“4”、“.”、“5”、“*”、“t=„”,计算出3+4.5t的值，t = 1.62

如图1-3-7。

CE说明：乘号用“*”表示，“t=„”指的是工作区中的5t = 8.12“t=1.62”，但由于每个人画点的位置不同，数值可以不同，所以这里用省略号表示。

-53 + 4.5t = 10.31-55

5图1-15.7

第七步：(1) 选择“5t=„”，由菜单“图表”“绘制度量值„”，在弹出的“绘制度量值”对话框中直接确定；(2) 选择“3+4.5t=„”，同样绘制度量值，t = 0.76

得如图1-3-8。

CE说明：这样得到的两条虚线，受度量值的控制，度5t = 3.80量值又受到时间t的控制，当两条虚线重合时，说明甲追上了乙，这时的t就是所求。

-53 + 4.5t = 6.42-555图1-15.8

第八步：(1) 由菜单“图表”“绘制点”，在弹出的对话框中输入0、1，按步骤操作画出固定点(0,1)(图1-15.9)，(2) 同样画出(0，2)，得如图1-15-10。

t = 0.76

CE5t = 3.80H-5G3 + 4.5t = 6.42-5图1-15.10

5

47

图1-15-9

10

第九步：(1) 选取点G和Y轴，由“作图”“垂线”，过点G画出Y轴的垂线；(2) 用“选择”工具单击刚画好的垂线与根据“3+4.5t=„”所画虚线的相交处，确定出交点，并标记交点为“乙”；(3) 同样，过点H画Y轴的垂线后确定它与另一条虚线交点，标记为“甲”，如图1-3-11。

说明：为了便于区分，可以改虚线和下两条Y轴的-10垂线为不同颜色。

t = 1.05

CE5t = 5.25甲HG乙103 + 4.5t = 7.73图1-15.11

归纳结论：

拖动点E在CE上移动，注意观察两个度量值的变化和红、蓝虚线的位置，当两条虚线重合时，两个度量值有什么关系？这时的t是多少？，你知道问题的答案吗？

-10如有问题，请到几何画板分版，下载案例十五供参考。

练习：

对于同类的问题，只需要改变度量值，并跟据新的度量值绘制虚线，然后确定甲、乙两点，就可以使它来求新的解，就象做好了一个“解题机”。(不过有时得到的只能是近似数，这是受到电脑显示的数的精确度的影响)

1、对于上例，改为乙在甲前面2米，问几秒后甲追上乙？(精确到十分位)。

2、对于上例，相距距离不变，乙的速度不变，改甲的速度为5.5米/秒，问几秒后甲追上乙？(精确到十分位)。

-20

上篇结束语：

通过一个学期的学习，本篇已经告一段落。希望通过几何画板的学习，同学们能够掌握一种用电脑来进行几何研究的方法，从而使我们的学习能够如虎添翼。我们会发现，几何已经不再抽象难懂，在几何画板里面，几何真的“活”了！

实际上，几何画板不仅可以用来说明数学和物理问题，也可以用来制作经济学、天文学方面的小课件，我们上面学习的实例，主要是学习几何画板的一些常用的技巧，至于更深的应用，同学们可以访问我们教材的支持论坛，我们将根据大家学习的情况提供更进一步的学习支持，提供一些技巧更强的教程，并且把我们搜集的一些课例放在上面，同时也希望大家把自己的经验放在论坛上给大家分享

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下面介绍几个国内非常好的几何画板网站，供大家学习参考：

物理课件园地：/zhangxichun/

几何画板教程：/jihehuaban/

CAI辅导站：/hzcai/

几何画板天地：/gsketchp/

数学教育教学资源：/jhhb/

不学无数：/jhhb/cai/

台州教师信息港：/

几何画板介绍：/xdjy/cai/

软件教程：/losir/

几何画板课件下载：202.101.104.46/stuff/

中学数学教与学：/

数学课件积件库：/zjycy/kjzc/

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本文标签： 画板直线线段工具选取