几何画板动态破解高考题

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2024年5月15日发(作者：)

・

教学技术・　中‘？擞－？（２０１１年第１期・高中版）　６７　

几何画板动态破鼹离考题　

５２８２１１广东省佛山市南海中学

数学，能否像物理、化学一样开展实验探究呢？随　

金莹　

着信息技术与学科整合的深入，借助几何画板、Ｅｘｃｅｌ等　

软件，我们可以在课堂上进行数学实验，化静态、抽象的　

数学为动态、直观的数学．几何画板，以其强大的功能，　

成为数学老师的好帮手，特别是在几何教学（解几、立几　

中）．历年的高考题，都会有一些好的题材，值得我们用　

几何画板来探究，一方面帮助学生理解问题，另一方面　

有助教师发现结论．本文以２０１０年的两道高考题为例，　

谈谈如何利用几何画板动态破解高考题．　

１在实验中发现新结论　

２０１０年四川卷理科第２０题是一道有着很好探究背　

景的开放性问题．利用几何画板我们可以对其结论进行　

验证，并加以推广．　

题目　（２０１０年高考四川理２Ｏ）已知定点Ａ（一１，　

１　

０），ｒ（２，０），定直线ｚ：　＝÷，

‘　

不在　轴上的动点Ｐ与点　

Ｆ的距离是它到直线Ｚ的距离的２倍．设点Ｐ的轨迹为　

Ｅ，过点，的直线交Ｅ于Ｂ，Ｃ两点，直线仙，ＡＣ分别交Ｚ　

千点Ｍ，Ｎ　

（Ｉ）求Ｅ的方程；　

（Ⅱ）试判断以线段ＭＮ为直径的圆是否过点Ｆ，并　

说明理由．　

点评第（Ⅱ）小题涉及圆锥曲线的一个性质，以开　

放题形式带有数学探究的意味．关于本题的解法可参考　

文［１］，笔者仅从数学实验的角度，用几何画板直观、动　

态展示其结论，并利用画板的“度量”功能进行验证．　

当过　的直线与双曲线交于两支时（如图１）　

Ｊ・　

Ｆ　ｉ　

ｌ＼　

＼　

图１　

当过Ｆ的直线与双曲线交于同一支时　

∥：　ｉ　

幽２　

验证方法用画板设置一个参数ｋ，然后“绘制新函　

数”ｇ（　）：ｋ（　一２），便是过Ｆ的直线ＢＣ的方程．拖动滑　

块ｋ，连续改变参数ｋ的值，过Ｆ的直线与双曲线有不同　

的交点　，ｃ分别连接ＡＢ，ＡＣ，交定直线ｚ于　，Ｊ７＼，，以　

ＭＮ为直径画圆．点Ｆ是否在。日上呢？选择画板的“度　

量”一“半径”，度量出ＨＭ的长度，然后度量出圆心Ⅳ到　

Ｆ的长度，看两者是否相等．也可以利用直径所对的圆　

周角为９０。，度量出ＬＭＦＮ，看它是否为９Ｏ。．　

结论与思考观察上面的图象，我们发现以ＭＮ为　

直径的圆经过点Ｆ和点Ａ．Ａ，Ｆ是关于直线ｆ对称的．进　

一

步思考，是否对任意双曲线，这个结论都成立呢？　

！　

图３　

验证引入三个参数ａ，６，ｋ，根据ｃ２＝口　＋６　求出ｃ，　

画出点Ｆ（ｃ，０）．其余的步骤与上面同理．当我们拖动垂　

直滑块ａ，ｂ时，改变双曲线形状，拖动水平滑块ｋ时，改　

变直线ＢＣ斜率．在这一改变过程中，通过“度量”仍可发　

６８　

点Ｆ．　

中’　擞・７（２０１１年第１期．高中版）　．教学技术．　

现胛＝删，且／＿．．ＭＦＮ＝９０。，说明以ＭＮ为直径的圆经过　

思考２但此时，ＱＨ并不一定经过点　．只有当Ａ，　

２　

点评本题是一道很抽象的函数问题，主要考查分　

类讨论和分段函数知识．但如何分类是个难点，对学生　

严谨性的考查相当高．不过，在几何画板的帮助下，我们　

对本题会有一个清晰的认识．　

利用几何画板绘制一个分段函数的图象，在画图时　

要引入一个动态参数　（ｋ＜０）．我们不妨先用特值法画　

１　

Ｆ关于直线ｆ对称，即　＝　ｊｃ＝２ｏ时，才同时过Ａ和　

‘　

Ｆ两点．因此，这道高考题是一个特例．也因此而给本题　

的解答提供了许多特别和巧妙的方法．圆锥曲线有着许　

多统一而优美的性质，能否将双曲线的这一结论推广到　

出　＝一ｌ，Ｉ］｝：一２，　＝一÷的图象．　

椭圆和抛物线呢？继续用画板来做实验．　

Ｖ　

Ｚ　

．

｜　

一　、、＼　’　

Ａ＼—、、～　）　

　．

｛　

图４　

结论我们惊喜地发现，换成椭圆时过右焦点Ｆ的　

直线与椭圆交于Ｂ，ｃ两点，将左顶点Ａ分别和日，ｃ连　

接，交准线Ｚ于　，Ⅳ，以ＭＮ为直径的圆经过点　

最后再来验证抛物线中是否也有类似的结论．　

结论引人两个参数Ｐ，ｋ，　

ｆ：＼　ｙ　

画出任意抛物线（以ｙ２＝２ｐｘ为　

＼：　

例）和过焦点Ｆ的任意直线　

ＢＣ，连接ＡＢ，Ａｃ交准线ｚ于　，　

Ⅳ，以ＭＮ为直径的圆经过点Ｆ．　

至此，我们在几何画板的　

引领下发现了圆锥曲线的一个　

／：　

统一结论：过圆锥曲线的右焦　图５　

点，作直线交醢线于　，ｃ两点，将左顶点Ａ分别与　，ｃ　

连接，ＡＢ，ＡＣ交右准线Ｚ于　，　两点，则以ＭＮ为直径　

的圆经过点　（对于左焦点、左准线和右顶点仍成立．）　

２用几何画板辅助解题　

２０１０年的广东高考文科数学第２０题是全卷的“点　

睛之笔”！也是“秒杀”考生的重磅炸弹．　

题目（２０１０年广东文２０）已知函数，（　）对任意实　

数　均有　）＝ｋｆ（ｘ＋２），其中常数ｋ为负数，且　）在　

区间［０，２】上有表达式　）＝ｘ（ｘ－２）．　

（Ｉ）求　一１）　２．５）的值；　

（１Ｉ）写出　）在［＿３，３］上的表达式，并讨论函数　

）在［一３，３］上的单调性；　

（Ⅲ）求出，（　）在［一３，３］上的最小值与最大值，并　

求出相应的自变量的取值．　

ｌＶ　

Ｆ　Ｈ　Ｅ　ｋ＝一ｌ　＿，　

／／，、＼＼／／，、＼　／／，、／／、＼一　

一

６—４　２　０　／２　４　８　

Ｇ　Ｄ　ｌ　

图６　

ｌ

Ｖ　

一

６—４＼

厂　

　／

＝一２

－

２　

Ｈ

０　／２

　／

　４

　Ｅ、　

　６　８

—　，Ｌ

一　

Ｄ　

图７　

Ｊ　

七＝一　Ｅ　

Ｆ　‘

／一、

Ｈ　八　

一

６—４　Ｇ一２　Ｏ　／２　４＼　Ｊ６　８　ｉ　

ｔ　

。　＼

Ｊ　

√／　

圈８　

然后连续改变ｋ，发现函数的图象分三类①　＝一１②　

＜一１③一１＜　＜０．所以，以上三幅图具有代表性．图形提　

示着我们，本题中厂（　）是个分段函数（第２问），由上图　

可以看出，（　）在［一３，３］上的表达式分为四段，［一３，　

一

２），［＿２，０），［０，２），［２，３］，所以　

ｋ２（　＋２）（ｘ＋４），一３≤　＜一２，　

ｋｘ（　＋２），－２≤　＜Ｏ，　

）＝　

（ｘ－２），０≤　＜２，　

（　二　１　二　２≤　≤３

ｋ　●……　．

．

短论荟萃．　审。７善乏・７（２Ｏｌ１年第１期・高中版）　６９　

一

个不等式的证明　

Ｓｃｈｕｒ不等式一个特例的应用　

１６３３１６黑龙江省大庆实验中学苏立志　

《数学通讯｝２０１０年９月上（学生刊）中有如下题目　

ｂｃ＋ｃａ）成立，即口　＋６　＋ｃ　３ａ　＋　＋ｃ　成立．　

征解问题２７设ａ，ｂ，Ｃ∈Ｒ　且０＋６＋ｃ：３，求证：　

已知口，ｂ，Ｃ∈Ｒ　，由幂平均不等式，得　

２（口　＋６３＋ｃ　）＋３ａｂｃ３９．　

（　）号≥（　）｝

，　

证明　已知Ｓｃｈｕｒ不等式的一个特例，　

对于ｎ，ｂ，Ｃ∈Ｒ　，有　

化简得。，＋６。＋。，≥拿（ａ２＋６２＋ｃ２）吾，当且仅当。：６　

（ａ＋ｂ＋ｃ）　一４（口＋６＋ｃ）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＋９ａｂｃ３０，　

代入ａ＋ｂ＋ｃ＝３，得　

＝ｃ：１时取得等号．　

２７一ｌ２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＋９ａｂｃ３０，　

故　（ａ２＋６２＋ｃ２）了３　３ａ２＋６２＋Ｃ２￣２＋６２＋ｃ２３３仁口２＋６　

即９—４（ａｂ＋６ｃ＋Ｃａ）＋３ａｂｃ３０成立．　

故欲证原不等式成立，只需证２（口　＋６　＋ｃ　）＋３ａｂｃ一９　

＋ｃ　≥　×３　＝÷（。＋６＋ｃ）　，而ａ２＋６２＋ｃ２≥了１（口＋６＋ｃ）　成　

３９—４（０６＋６ｃ＋ｃ口）＋３ａｂｃ成立．　

立是显然的，故原不等式成立．　

即只需证口　＋６。＋ｃ’３９—２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），　

（收稿日期：２０１０１０２９）　

而ａ＋ｂ＋ｃ＝３，故只需证口　＋６　＋ｃ　≥（ａ＋ｂ＋ｃ）　一２（ａｂ＋　

厂（　）在［一３，３］上的最值需要对ｋ分类讨论：　这是周期为２的偶函数．　

如图６，当ｋ＝一１时，ｆ（　）　＝厂（３）＝厂（－１）＝１，　

），　

（　）　ｉ厂（１）ｉ厂（－３）＝一ｌ　

０　

如图７，当ｋ＜－１时，厂（　）　＝　－１）＝－ｋ，ｆ（　）…＝　

＼八八／　＼／＼八／＼／　

－

３）：－ｋ　

１　

如图８，当一ｌ＜ｋ＜０时，ｆ（　）　：厂（３）＝一÷，　

图９　

ｆ（　）　－，（１）＝－１　

当｜Ｉ｝＝２，或Ｊｊ｝＝÷时，图象如下：　

再次重温一下上面的三幅图象，它们之间是一种伸　

ｙ　

一

缩变换和翻折变换．以　＝一１的图象（图６）为基点，　

６—４—２　２　４　６　

保持横坐标不变，Ｙ轴左边从右往左，每个区间的纵　

坐标绝对值逐渐伸长到前一个区间的ｋ倍，而Ｙ轴右边　

＼Ｖ　　／　一　

从左往右，每个区间的纵坐标绝对值逐渐缩短到前一个　

１　

区间的÷倍，便得到　＜一１时的图象（图７）．而将　＜一１　

图１０　图１１　

时的图象绕着Ｙ轴翻转１８０。，又可得到一１＜　＜０的图象　

可以看出，它们的图象都在　轴下方，如同绵延起　

（图８）．看到这里，我们不由得赞叹数学的美和神奇！　

伏的山峰．　

切的变化尽在参数ｋ的掌控之下．　

参考文献　

一

跳出命题人的限制，如果居不是负数又会怎样呢？　

１何代森．２０１０年高考数学四川卷理科２０题解法探究［Ｊ］．　

继续用几何画板探索，当　＝１时，图象如下（图９）：　

中学数学，２０１０，７　

（收稿日期：２０１０１０１２）　

本文标签： 画板数学结论直线函数