admin管理员组文章数量:1529454
目录
1 鲁棒市场出清问题
1.1 鲁棒优化模型
1.2 不确定集
2 自适应鲁棒市场出清优化问题
2.1 模型构建
2.2 对偶方法
2.3 如何处理min-max问题
3 机会约束方法 CCP
3.1 模型构建
3.2 求解方法
4 分布式鲁棒优化
4.1 模型构建
4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系:
4.3 如何构建一个歧义集
4.3.1 基于度量的方法
4.3.2 基于矩的方法
本系列已发表文章列表:
Lecture01:市场出清问题的优化建模
Lecture1b: 如何由原始线性规划模型得到最优条件和对偶问题
Lecture02:均衡问题-优化问题以及KKT等价
Lecture03: 市场出清机制的理想特性
Lecture05:随机市场出清_运筹码仓的博客-CSDN博客
本节目标:
- 定义鲁棒优化问题
- 处理鲁邦问题的三种方法
- 求解鲁邦优化问题
- 定义机会约束规划并描述它与鲁棒优化和随机规划的区别
- 定义分布式鲁棒优化并描述两个不同的歧义集
首先介绍几份参考资料:
- Conejo, A. J., Carrión, M., & Morales, J. M. (2010). Decision making under uncertainty in electricity markets (Vol. 1, pp. 376-384). New York: Springer.
- Morales, J. M., Conejo, A. J., Madsen, H., Pinson, P., & Zugno, M. (2013). Integrating renewables in electricity markets: operational problems (Vol. 205). Springer Science & Business Media.
- Nemirovski, A. (2012). Lectures on robust convex optimization. Lecture notes. Georgia Institute of Technology. [pdf]
- Shapiro, A., Dentcheva, D., & Ruszczynski, A. (2021). Lectures on stochastic programming: modeling and theory. Society for Industrial and Applied Mathematics.
1 鲁棒市场出清问题
1.1 鲁棒优化模型
我们优化的不是期望,而是最坏的情形。
基于场景的鲁棒市场出清问题的数学模型如下:
优化上述模型得到的解为:
鲁棒模型得到了更高的成本,但他满足了所有的场景。
在随机规划中,我们使用一组场景来描述不确定集;如果更换场景组,将可能得到完全不同的解。因此,表征场景集合的选择至关重要。但是,实际中,我们找到准确表征不确定性的场景集合是不现实的。
在鲁棒优化中,得到的解对于最差的场景是最佳的,对其他别的场景仅仅是可行的。因此,我们在鲁棒优化中不适用场景,而是使用不确定集来描述不确定性;最终实现的是在给定的不确定集下,优化最坏的情形。
1.2 不确定集
一维的情形:
二维的情形:最糟糕的情况出现在(0,0)位置。
我们的目标是:
- 对于不确定集中最糟糕的情形,生成最优解
- 最优解对不确定集内的任何实例,都是可行的
实际的不确定集要远比BOX不确定复杂。我们需要根据经验数据,构造不确定集。
2 自适应鲁棒市场出清优化问题
2.1 模型构建
那么我们如何构建一个不包含任何场景的鲁棒优化问题呢?
首先针对实时调度问题:
注解:
- 如果对 W 取最糟糕的情况,Inner problem是可行的;那么,对于不确定集中的所有情况都是可行。其原因为:Inner problem 是一个凸问题,最差的 W 时可行,那么随着W的变化,Inner problem是单调的。但是如果保证不了Inner problem的凸性,则无法保证不确定集对所有的Inner problem是可行的。
- Outer problem 最大化是因为,我们要优化最坏的成本。
- W 对于Inner problem 是参数,对Outer problem是决策变量
进一步,我们可以写出整个问题的模型:
这是一个 min-max-min 的问题,十分难以求解。我们应该如何处理它呢?有两种策略:
- 将Inner problem进行对偶化,将RT阶段的问题转为max-max问题;从而实现将RT合并为一个问题
- 将Inner problem使用KKT条件代替,将问题转化为一个min-max的问题。
2.2 对偶方法
下面介绍对偶的方法,原始Inner problem为:
其中 W 和 DA 是参数;进行对偶化,我们得到:
替换到原始模型中,有:
替换之后,合并max-max,有:
此时,我们得到了一个min-max问题。现在W和原始Inner problem的对偶变量,变成了合并问题的决策变量。这样我们得到了一个非线性规划问题。但是,如果我们固定一个变量,则合并问题就可以变成一个线性问题。
因为线性规划的可行解一定是在可行域的顶点上,我们只需讨论它的顶点即可。
参见文献95~98页:Morales, J. M., Conejo, A. J., Madsen, H., Pinson, P., & Zugno, M. (2013). Integrating renewables in electricity markets: operational problems (Vol. 205). Springer Science & Business Media.
顶点的个数为个。注意:合并问题虽然由 W和原始Inner problem的对偶变量 联合构成可行域,但是他们在第一阶段决策是相互独立。
2.3 如何处理min-max问题
如有兴趣,可参考阅读以下文献:
KKT方法参考资料:
Ruiz, C., & Conejo, A. J. (2015). Robust transmission expansion planning. European Journal of Operational Research, 242(2), 390-401.
对偶方法:
- Bertsimas, D., Litvinov, E., Sun, X. A., Zhao, J., & Zheng, T. (2012). Adaptive robust optimization for the security constrained unit commitment problem. IEEE transactions on power systems, 28(1), 52-63.
- Jiang, R., Wang, J., & Guan, Y. (2011). Robust unit commitment with wind power and pumped storage hydro. IEEE Transactions on Power Systems, 27(2), 800-810.
- Zugno, M., & Conejo, A. J. (2015). A robust optimization approach to energy and reserve dispatch in electricity markets. European Journal of Operational Research, 247(2), 659-671.
总结:
- 我们得到的最优解是不确定集中最差情况的解。
- 对于不确定集中的其他解,这个最优解仅仅是一个可行解
- 我们如何减少方案的保守程度:构架一个结构良好的不确定集。
3 机会约束方法 CCP
在这种优化问题下,一些约束是在 水平上,以一定的概率被满足;它通过允许一些约束在不确定集中,违背 个情形,拓展了鲁棒优化模型的可行域。
3.1 模型构建
机会约束的表述形式为:
如果 等于0 ,机会约束问题将转化为鲁棒优化问题。
回到我们的电力模型,它对应的机会约束模型为:
在上述问题中,机会约束之间是相互独立(individual)的,而不是联合(joint)的。
3.2 求解方法
方法一:分析重构方法
该重构方法得到的是一个second‐order code program (SOCP)问题,在一定情况下,可退化为线性规划问题。
- Nemirovski, A., & Shapiro, A. (2007). Convex approximations of chance constrained programs. SIAM Journal on Optimization, 17(4), 969-996.
- Roald, L. A. (2016). Optimization methods to manage uncertainty and risk in power systems operation (Doctoral dissertation, ETH Zurich).
方法二:基于采样的方法
方法特点:不假设任何先验分布,目标函数中的期望值通过采样随机近似方法SAA处理,机会约束通过采样和近似的方法处理。
采样数目采用如下公式来确定:
Margellos, K., Goulart, P., & Lygeros, J. (2014). On the road between robust optimization and the scenario approach for chance constrained optimization problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 59(8), 2258-2263.
针对一个标准的 IEEE 24‐node RTS system with 6 wind farms, β=0.0001, ε=0.05 and 24 time periods,需要采用次数 N = 86,956 samples。而且我们还必须保证样本外分析能够实施,因此实际采样数目可能远大于计算出来的N值。这又带来了另外一个问题,过多的采样数目对应的就是维度灾难。未来,我们将使用分解技术进行处理。
因为我们知道N,当然,我们也就可以通过N来拟合出不确定集。从而就可以将机会约束问题转化Wie鲁棒优化问题。相反,如果我们想降低鲁棒优化问题的保守型,我们也可以将其转化为一个机会约束模型。
- Bienstock, D., Chertkov, M., & Harnett, S. (2014). Chance-constrained optimal power flow: Risk-aware network control under uncertainty. Siam Review, 56(3), 461-495.
- Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2002). Robust optimization–methodology and applications. Mathematical programming, 92(3), 453-480.
- Beyer, H. G., & Sendhoff, B. (2007). Robust optimization–a comprehensive survey. Computer methods in applied mechanics and engineering, 196(33-34), 3190-3218.
- Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust optimization of large-scale systems. Operations research, 43(2), 264-281.
当N比较小,我们又不知道概率分布的假设时,我们需要使用分布式鲁棒优化来处理不确定性。
4 分布式鲁棒优化
DRO不假设不确定性符合任何既定的概率分布,它使用一个分布簇来描述不确定性。我们依旧假设以某种水平满足某些约束。鲁棒优化与分布式鲁棒优化的区别在于:
- RO 是基于给定的不确定集(uncertainty set); DRO 是基于给定的歧义集(ambiguity set)
- RO 优化的是最糟糕情况的成本;DRO 优化的是最糟糕情形的期望成本
4.1 模型构建
回到我们的例子,对应的DRO模型为:
歧义集中只有一个分布时,问题等价于一个随机规划问题。
解DRO问题,我们实际要做的是:
- 确定歧义集中最差的分布,优化相应的最差分布的期望。【So, we determine the worst distribution within the ambiguity set, and optimize the problem in expectation with respect to such a worst distribution!】
- 最糟糕分布得到的分布式机会约束,未必同时满足其他分布式机会约束或目标函数。【The worst distribution obtained for a DRCC might not be necessarily the same as that of
other DRCCs or that of the objective function!】
4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系:
- By enlarging the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a robust optimization?
- By shrinking the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a stochastic program?
- DRO somehow provided a generalized model, linking robust optimization and stochastic programming!
4.3 如何构建一个歧义集
有两种方法:其一为,基于度量的歧义集;其二为,基于矩的歧义集。
4.3.1 基于度量的方法
Wasserstein distance,被用来衡量两个分布有多接近。
黄色圆球的中心表示我们的历史数据,ρ 表示我们的经验分布的半径,由此构建一个歧义集。
建立的问题是一个凸问题,可以使用一些技术进行线性化。
4.3.2 基于矩的方法
参考资料:
- Xie, W., & Ahmed, S. (2017). Distributionally robust chance constrained optimal power flow with renewables: A conic reformulation. IEEE Transactions on Power Systems, 33(2), 1860-1867.
- Zymler, S., Kuhn, D., & Rustem, B. (2013). Distributionally robust joint chance constraints with second-order moment information. Mathematical Programming, 137(1), 167-198.
- Esfahani, P. M., & Kuhn, D. (2018). Data-driven distributionally robust optimization using the Wasserstein metric: Performance guarantees and tractable reformulations. Mathematical Programming, 171(1), 115-166.
- Zhang, Y., Shen, S., & Mathieu, J. L. (2016). Distributionally robust chance-constrained optimal power flow with uncertain renewables and uncertain reserves provided by loads. IEEE Transactions on Power Systems, 32(2), 1378-1388.
版权声明:本文标题:Lecture06:市场出清问题的鲁棒方法 内容由热心网友自发贡献,该文观点仅代表作者本人, 转载请联系作者并注明出处:https://m.elefans.com/dongtai/1726703941a1081441.html, 本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,一经查实,本站将立刻删除。
发表评论