2020年浙江省宁波市中考数学甬真试卷(明州卷)解析版

2020年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．﹣2020的绝对值是（ ）

A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．

2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲

盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）

A．1.03×10

9

B．10.3×10

9

C．1.03×10

10

D．1.03×10

11

3．下列运算正确的是（ ）

A．2a+3a＝6a

C．（a﹣b）

2

＝a

2

﹣b

2

B．（﹣3a）

2

＝6a

2

D．3×＝6

4．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B．

C． D．

5．如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）

A．52° B．54° C．64° D．69°

6．二次函数y＝2（x﹣3）

2

+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象

的函数表达式是（ ）

A．y＝2x

2

﹣12x B．y＝﹣2x

2

+6x+12

C．y＝2x

2

+12x+18 D．y＝﹣2x

2

﹣6x+18

7．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结

果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已

知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（ ）

A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5

，则的长为（ ） 8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2

A．π B．π C．2π D．2π

9．有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a）如图①所

示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张

小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积

是图③中的阴影部分面积的2倍，则大正方形与小正方形的面积之比为（ ）

A．5：3 B．4：3 C．3：2 D．2：1

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），则坐

标原点O到线段AB的中点M的距离为（ ）

A． B． C． D．1

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．

12．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分

类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ．

13．如图，一棵与地面垂直的笔直大树AB，在C点处被大风折断后，AC部分倒下，树的

顶端A斜坡DF上的点G重合（BC、CG都保持笔直），经测量DG＝2米，BD＝3米，

∠EDF＝30°，∠CGD＝60°，则树高AB为 米．（保留根号）

14．如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线，AB＝

BD＝2，则AD为 ．

，

15．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，延长线段AB交x轴于点C，

且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥y轴于点D，点E为线段OD上的点，且DE＝

2OE．连接AE，BE，则△ABE的面积为 ．

16．如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，

FB，则FA•FB的值为 ．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17．（1）先化简，再求值：（x+2y）

2

﹣（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝﹣2．

（2）计算：（π﹣3.14）

0

﹣4cos30°+（）

2

+

﹣

．

18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点．

（1）在图①中以格点为顶点画一个面积为8的正方形；

（2）在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；

（3）如果把图③中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边

长是 ，请你在图④中画出这个正方形．

19．“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家

务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调

查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0

≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结

果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了 名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

（3）扇形统计图中m的值是 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 度；

（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家

做家务的总时间不低于20小时．

20．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

21．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，

作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax

2

+bx+5a交于点A和点B，点A

在x轴上．

（1）点A的坐标为 ．

（2）用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴．

（3）当AB＝5时，结合函数图象，求a的值．

，以点A为圆心，为半径23．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2

作圆，点D为⊙A上的动点，连接DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆

时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．

（1）求证：△BEC∽△ADC．

（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．

（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值

或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由

24．定义：点P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x＝y

2

时，则称该点为“靓点”，

例如点（1，﹣1），（0，0），（1，1），（4，2）…都是“靓点”，显然，“靓点”有无数个．

（1）分别判断函数y＝x+1和y＝的图象上是否存在“靓点”？若存在，求出其“靓

点”的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）直线y＝kx﹣2经过“靓点”P（m，2），且与抛物线y＝ax

2

+5x+a+1有且只有一个

交点A．

①求a的值．

②若点Q在第一象限，O为坐标原点，以O，P，A，Q为顶点的四边形是平行四边形，

求Q点的坐标．

（3）以坐标原点O为圆心，半径为r的圆上有两个“靓点”P

1

，P

2

，且P

1

P

2

＝2

请直接写出⊙O半径r的值．

，

2020年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．﹣2020的绝对值是（ ）

A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．

【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．

【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，

故选：A．

2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲

盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）

A．1.03×10

9

B．10.3×10

9

C．1.03×10

10

D．1.03×10

11

【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：103亿＝103 0000 0000＝1.03×10

10

，

故选：C．

3．下列运算正确的是（ ）

A．2a+3a＝6a

C．（a﹣b）

2

＝a

2

﹣b

2

B．（﹣3a）

2

＝6a

2

D．3×＝6

【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出

答案．

【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；

B、（﹣3a）

2

＝9a

2

，故此选项错误；

C、（a﹣b）

2

＝a

2

﹣2ab+b

2

，故此选项错误；

D、3×＝6，正确．

故选：D．

4．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．

【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．

故选：B．

5．如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）

A．52° B．54° C．64° D．69°

【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行

线的性质，即可得出∠2的度数．

【解答】解：∵l∥OB，

∴∠1+∠AOB＝180°，

∴∠AOB＝128°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠BOC＝64°，

又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，

∴∠2＝64°，

故选：C．

6．二次函数y＝2（x﹣3）

2

+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象

的函数表达式是（ ）

A．y＝2x

2

﹣12x

C．y＝2x

2

+12x+18

【分析】根据平移规律，可得答案．

B．y＝﹣2x

2

+6x+12

D．y＝﹣2x

2

﹣6x+18

【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）

2

+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位

后，所得图象的函数表达式是：y＝2（x﹣3+6）

2

+2﹣2，即y＝2x

2

+12x+18．

故选：C．

7．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结

果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已

知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（ ）

A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5

【分析】设被污损的数据为x，根据这组数据的平均数为4求出x的值，再依据众数和中

位数的定义求解可得．

【解答】解：设被污损的数据为x，

则4+x+2+5+5+4+3＝4×7，

解得x＝5，

∴这组数据中出现次数最多的是5，即众数为5篇/周，

将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5，

∴这组数据的中位数为4篇/周，

故选：A．

8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）

A．π B．π C．2π D．2π

【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．

【解答】解：连接OB，OC．

∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，

∴∠BOC＝90°，

∵BC＝2，

∴OB＝OC＝2，

∴的长为＝π，

故选：A．

9．有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a）如图①所

示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张

小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积

是图③中的阴影部分面积的2倍，则大正方形与小正方形的面积之比为（ ）

A．5：3 B．4：3 C．3：2 D．2：1

【分析】先根据题意表示出阴影部分的面积，即可表示出答案．

【解答】解：根据题意可得，图②中阴影部分面积＝（2b﹣a）

2

；

图③中阴影部分面积＝（a﹣b）

2

；

∴列式为：（2b﹣a）

2

＝2（a﹣b）

2

，

化简得，2b

2

＝a

2

，

∴．

故选：D．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），则坐

标原点O到线段AB的中点M的距离为（ ）

A． B． C． D．1

【分析】利用中点坐标公式表示出M坐标，再利用两点间的距离公式求出OM的长即可．

【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），

M为线段AB的中点，

∴M（

∵O（0，0），

∴OM＝

＝

＝

＝

＝

．

，），

故选：C．

二．填空题（共6小题）

11．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠ ．

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，

解得x≠．

故答案为：x≠．

12．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分

类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是

【分析】用所抽样本中会进行垃圾分类的人数除以抽取的总人数即可得．

．

【解答】解：在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是

故答案为：．

＝，

13．如图，一棵与地面垂直的笔直大树AB，在C点处被大风折断后，AC部分倒下，树的

顶端A斜坡DF上的点G重合（BC、CG都保持笔直），经测量DG＝2米，BD＝3米，

∠EDF＝30°，∠CGD＝60°，则树高AB为 米．（保留根号）

【分析】过点C作CM∥BE交DF的延长线于点M，过点M作MN⊥BE的延长线于点N，

过点G作GH⊥CM于点H，设CG＝2x，根据题意列出方程求出x的值后即可求出AB

的长度．

【解答】解：过点C作CM∥BE交DF的延长线于点M，过点M作MN⊥BE的延长线

于点N，

过点G作GH⊥CM于点H，

∵∠CGD＝60°，∠FDE＝30°，

∴∠CMG＝30°，

∴∠GCM＝30°，

∴CG＝GM，

设CG＝2x，

∴CH＝

∴CM＝2

∵DG＝2，

∴DM＝2+2x，

∴MN＝1+x，DN＝

∴BN＝3+

（1+x），

x，

x，

（1+x），

∵CM＝BN，

∴2x＝3+（1+x），

+1，

，

解得：x＝

∴MN＝BC＝2+

∴AB＝CB+CG

＝2+

＝4+3

+2

，

+2

故答案为：4+3

14．如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线，AB＝

BD＝2，则AD为 3 ．

，

【分析】根据角平分线的定义结合∠ABC＝2∠C，可得出∠ABD＝∠CBD＝∠C，利用等

角对等边可得出CD＝BD＝2，结合∠A＝∠A可证出△ABC∽△ADB，再利用相似三角

形的性质即可求出AD的长．

【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝∠C，

∴CD＝BD＝2．

又∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ADB，

∴＝，即＝，

∴AD＝3或AD＝﹣5（不合题意，舍去）．

故答案为：3．

15．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，延长线段AB交x轴于点C，

且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥y轴于点D，点E为线段OD上的点，且DE＝

2OE．连接AE，BE，则△ABE的面积为 ．

【分析】设A（m，），C（n，0），则D（0，），E（0，），由AB＝BC，推出B（，

），根据点B在y＝上，推出n＝3m，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S

△

AEC

＝2

•S

△

AEB

，根据S

△

AEC

＝S

△

AEO

+S

△

ACO

﹣S

△

ECO

求得S

△

AEC

，进而即可求得△ABE的面积．

【解答】解：设A（m，），C（n，0），则D（0，），E（0，），

∵AB＝BC，

∴B（，），

∵点B在y＝上，

∴•＝6，

∴n＝3m，

连接EC，OA．

∵AB＝BC，

∴S

△

AEC

＝2•S

△

AEB

，

∵S

△

AEC

＝S

△

AEO

+S

△

ACO

﹣S

△

ECO

＝וm+

＝7

∴S

△

AEB

＝S

△

AEC

＝

故答案为．

﹣＝וm+﹣