贝叶斯统计-习题答案)

2024-07-28 作者:

.

第一章 先验分布与后验分布

1.1 解：令10.1,20.2

设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

P(A1)C820.120.960.1488

P(A2)C820.220.860.2936

从而有

(1|A)P(A|1)(1)0.14880.70.5418P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3(2|A)or

P(A|2)(2)0.29360.30.4582P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3

(2|A)1(1|A)0.45821.2 解：令11,21.5

设X为一卷磁带上的缺陷数，则XP(X3)P()

3e3!

R语言求：^(3)*exp()/gamma(4)

P(X3)P(X31)(1)P(X32)(2)0.0998

从而有

(1X3)(2X3)P(X31)(1)P(X3)P(X3)0.2457P(X32)(2)

0.75431.3 解：设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33P(A)C8(1)5

（1） 由题意知

()1,01

从而有

Word 资料

.

(|A)P(A|)()10P(A|)()dC05C833(1)51383(1)5d3(1)5(1)d0133(1)50141(1)61d3(1)5B(4,6)

R语言求1：1/beta(4,6)504B(4,6)(|A)5043(1)5,01.（2）

(|A)P(A|)()10P(A|)()d6C833(1)52(1)10C833(1)52(1)dd3(1)6013(1)d3(1)63(1)6B(4,7)

0141(1)71R语言求1：1/beta(4,7)840B(4,7)(|A)8403(1)6,01.1.5 解：（1）由已知可得

112211p(x1|)1，12，即22p(x1|)1，11.512.5p(x1|)1,x1,当x112时，

()1,101020,p(x1|)()20(|x1)10p(x1|)()d1/101,12.5111.510d11.512.5.（2）由已知可得

Word 资料

.

1122当x112.0,x211.5,x311.7,x411.1,x511.4,x611.9时，p(x1,x2,x6|)1,xi,i1,2,6,111112，11.52222111111.7,11.1,2222111111.4,11.9,即2222p(x1,x2,x6|)1，11.511.6p(x1,x2,x6|)1，

()1,101020,p(x1,x2,x6|)()20(|x1,x2,x6)10p(x1,x2,x6|)()d1/1010,11.6111.510d11.511.6.

【原答案：由已知可得 P(x)1,0.5x0.5

()1,1020

1011.61m(x)d0.01

11.510从而有

(x)P(x)()10,11.511.6

】

m(x)1.6 证明：设随机变量XniP()，的先验分布为Ga(,)，其中,为已知，则

p(x1,x2,xn|)i1xexi!xii1nenix!i1n,1()e,0,()

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()xi1(n)i1en(|x1,x2,xn)~Ga(xi,n)i1n即得证！ Word 资料

.

【原答案：

P(x)xex!,0

1e,0

()()因此

(x)P(x)•()xe1ex1e(1)

所以

xGa(x,1)】

1.7 解：（1）由题意可知

p(x1,x2,xn|)i1n2xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()1,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni12nxind1/(2n)1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/()d2n12n,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知

()1,01

因此

m(x)

因此

(x)12xx2•1d2(1x)

P(x)()x1,x1

m(x)1x2（实质是新解当n=1的情形）】

（2） 由题意可知

Word 资料

.

p(x1,x2,xn|)i1n2xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()32,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni323d21/(2n-2)12nxin1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/(2n-2)d12n-2,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知

m(x)12x02•32d6x

P(x)()1,01】

因此

(x)m(x)1.8 解：设A为100个产品中3个不合格，则

3P(A)C1003(1)97

由题意可知

()(202)(1)199,01

(200)因此

(A)P(A)•()3(1)97(1)1994(1)296

由上可知(|A)~Be(5,297)

1.9 解：设X为某集团中人的高度，则XXN(,52)

N(,52)

10(176.53)25p(x)1e5

2(172.72)1由题意可知

()e5.08

5.08又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

e Word 资料

(176.53)25•e(172.72)25.08e(174.64)221.26

.

因此

xN(174.64,1.26)

N(u,2),其中u,2为已知

1.10 证明：设又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

(x)1225212125125xu(2

e因此

xN(25xu2511

25e(u)2222512)2e

2,21251)

2又由于

125121所以

的后验标准差一定小于

51.11 解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则XU(0,)

p(x1,x2,x3|)131,0xi,i1,2,3.当x15,x28,x38时，p(x1,x2,x3|)3，8.()1924,4,192

(|x1,x2,x3)p(x1,x2,x3|)()4p(x1,x2,x3|)()d192787d1/(7)6867,8.1d78【原答案：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则Xp(x)U(0,)

1,0x

1当8时，p(x)3

m(x)192184d31

8192 Word 资料

.

从而有

(x)p(x)()3, 计算错误】

m(x)12871.12 证明：由题意可知

p(x)1n,0xi,i1,2,...,n

从而有

(x)(x)p(x)•()

00nn•1n1

1因此 的后验分布仍是Pareto分布。

1.13 解：由题意可知

133 1621451.15 解：

（1）设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知

由题意可知

p(x1,x2,xn|)p(xi|)ei1i1nnxienxii1n,xi0,i1,2,n.1

()()e,0.(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()n1(

exi)i1n,0.所以Ga(,)是参数的共轭先验分布。

【原答案：设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知

由题意可知

p(x)p(xi)nei1nxii1n,xi0,i1,2,...,n

从而有

(x)p(x)•()

Word 资料

.

e因此

xni1nxi•n1en1(exi)i1n

Ga(n,xi)

i1所以 Ga(,)是参数的共轭先验分布】

（3） 由题意可知

0.00020.0004 0.0001221.16

解：设XN(1,2)N(1,1)，则

22p(x1,2)12e2(x1)

2p(x1,2)2en22(xi1)2i1n

1)

222Ga(,)

由题意可知

12N(0,1122e从而有

1,2122()2(1)

i1n因此

1,2xp(x1,2)1,221.19 证明：设的先验分布为，Xn12(n1)122112exixi2i1n

P()，则

P(x)xex!,0

p(x1,x2,xn|)p(xi|)i1nxii1nenix!i1n,

从而有

xin

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()i1en•()

Word 资料

.

令Txi，则

T~P(n),

i1np(xi|)i1n(n)i1en(xi)!i1nnxin

(|xi)p(xi|)•()i1i1nnxii1nen•()n所以，(|xi)(|x1,x2,xn), 故xi是的充分统计量。

i1i1第二章 贝叶斯推断

2.1 解：由题意可知

1,01

设x1,x2,,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

p(x1,x2,xn|)p(xi|)(1)i1i1nnxi1(1)i1nxin

n从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()

(1)i1nxinn,01

所以

(|x1,x2,xn)~Be(n1,xin1)i1n

（1）由题意可知

n1,x13,

(|x1)~Be(2,3)ˆE22235

(2) 由题意可知

Word 资料

n3,x13,x22,x35

.

(|x1,x2,x3)~Be(4,8)41ˆE483

【原答案: 由题意可知

1,01

设x1,x2,,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

p(x)p(xi)(1)i1

ni1n

xin从而有

xp(x)•(1)i1,01

nxin所以

xBe(n1,xi1)

i1n（1） 由题意可知 n=1,x=3

xˆEBe(2,4)

21

243（2） 由题意可知

n3,x13,x22,x35

xBe(4,11)

44 ， 由于原题几何分布分布律出错，导致结果出错】

41115ˆE2.2 解：设X为银行为顾客服务的时间，则

p(x)ex

p(x1,x2,xn|)p(xi|)ei1i1nnxienxii1n

设的先验分布为Ga(,)，则

Word 资料

.

0.20.04 0.212由题意可知

x3.8

从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()

enxii1n

因此有

•1enxin1i1en1enx

(|x1,x2,xn)~Ga(n,nx)Ga(20.04,76.2)

所以有

20.04ˆEE(|x1,x2,xn)0.26

76.2nx11nxˆE(x)•n1enxd4.002

0nn1n2.3 解：设X为磁带的缺陷数，则Xp()

p(x1,x2,x3|)p(xi|)i1i133exixi!xii13e3

ix!i1312由题意可知

e,0

2从而有

Word 资料

.

(|x1,x2,x3)p(x1,x2,x3|)•()当x12,x20,x36时，xii13e32e(|x1,x2,x3)10e4即：(|x1,x2,x3)~Ga(11,4),ˆE

2.4 解：设X为n个产品中不合格数，则X由题意可知

4(1)9,01

（1） 由题意可知Xp(x)3(1)17

111111,Var(|x1,x2,x3)2.4416bin(n,)

bin(20,)

(x)p(x)•3(1)17•4(1)97(1)26

因此

xBe(8,27)

又(x)76(1)26267(1)25ˆ7

所以

MD330

（2） 由题意可知Xp(x)(1)20

bin(20,)且7(1)26

(x)p(x)•7(1)26•(1)207(1)46

因此

xBe(8,47)

ˆ7,ˆ8

所以

MDE53552.5 解:设X令0设2N(,22)，则222

4

nn2N(u,1)，则1，且xN(u1,12)

Word 资料

.

022x22u 其中

u122001

2110212

ˆ)Var(x)2MSE(E140.1

n4bin(1000,)

2.6 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则X710710（1）由题意可知

p(710)C1000(1)290,01

a.710p(710)•A710(1)290•711(1)290

710Be(712,291)

b.710p(710)•B710(1)290•3713(1)290

710Be(714,291)

7120.7098

712291ˆE(710)7140.7104 b.

E714291ˆE(710)（2）a.Ex（3）由题意可知p(x)C1000x(1)1000x,01

a.xp(x)•Ax(1)1000x•x1(1)1000x

xBe(x2,1001x)

ˆE(x)x2

EA1003b.xp(x)•Bx(1)1000x•3x3(1)1000x

xBe(x4,1001x)

x)x4

1005ˆEA-ˆEB=x2-x4=

10031005ˆEBE(2.7 解：由题意可知

p(x)1,0x

p(x) Word 资料

1n,0xi,i1,2,...,n

.

令1max0,x1,x2,...,xn，则

m(x)10 p(x)•d(n)1np(x)(n)1n,1

从而有

xn1m(x)(n)1nˆEE(x)dn111

(n1)1n1E(x)122(n)1nn1d1

n2(n2)111

n222(n1)(n2)1(n1)1ˆ)Var(x)E(2x)E2(x)MSE(E2.8 解：

xn1212(1)（1）由题意可知

p(x)xe

e

2n21因此

xxe2nx所以

xIGa(,)

22n2xn122(1)exn2(1)2e

x2（2）Var(x)

2nn12222x2

E(x)n121（3） 由题意可知

p(x)exn2nxIGa(,)

22n22nx2

xn2(1)2enx2

ˆMDnxnx2

2

ˆ2E2nn1122 Word 资料

.

第三章 先验分布的确定

3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7

3.6 （1）由题意可知

1,1x1p(x)20

其他因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。

（2）由题意可知

p(x)1x1

1xx11令





 

2 ，则

p(x)x1

因此，该密度是尺度密度。

（3）由题意可知

x221112



x令





x

 ，则

ax0x0

a1axp(x)x0x0a1,xx0p(x)1x,xx0x0x0因此，该密度是尺度密度。

3.8 解：（1）由题意可知

p(x)xex!X,X,...,X设12n是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)lni1nxii1nenix!i1nxilnnlnxi!i1i1nn对上式分别求一阶导、二阶导得



l

1

n

n

 2

l

1



I()

Word 资料

xnii122xi1iEx2lxE21nn2xii1n .

（2）由题意可知

np(x)Cnxx(1)nxnxinn2n 设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

i1i1i1lxlnp(xi)lnCxiln(nxi)ln(1)

i1对上式分别求一阶导、二阶导得

2

n



x

i

2

l1xi

i1

I()E

xni1n1l122xii1nnxi2i1n2lxE2n2

(1)n2nxi1nn2i12xi2i11(1)12（3）由题意可知

p(x)Cxxm1m(1)x

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)lnCi1i1nnxixim1nnmlnxiln(1)

i1n对上式分别求一阶导、二阶导得

xi2lnm1nlnmxi

2i1221i11

nxi

2lnmxxnmi1I()E2E222(1)1



nm2(1)

1x（4）由题意可知

p(x)xe,x0设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

ni1lxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1nn对上式分别关于求一阶导、二阶导得

nl()2lnlnnlnxi

n()i122

2lxxI()EEnn222



Word

资料

n2 .

1x(5) 由题意可知

p(x)xe,x0设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

ni1lxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1nn对上式分别关于求一阶导、二阶导得

lnn2lnxi

i122

2lnxxnI()EE2

22

n1xxe,x0（6）由题意可知

p(x,)设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

l,xlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1nnn2对上式分别关于求导得

22lnlnl



 n2222

2l E2Enn22

2llnnn

E

EE()222

令,，则

detI

2n 122

nn2nn2212n23.9 证明：由题意可知

lixilnpixii

Word 资料

2lixiIiE2i .

iiIi

由于各Xi独立，因此有

l(x1,x2,...,xk)lnpixiilnpixii

kki1i1由上式可得出



2

l

x

i



 2



i

x

i





2lxil022ijii

因此有

detIIi

i1k所以

detI3.10

解:

由题意可知

0.01e因此有

所以有

3.11解：由题意可知

i10.012IIiiiii1i1kkk,0

0.012x0.01h(x,)p(x)e1x0.01e0.01e3,x0m(x)0.01e0x3x0.010.0111xdex0.01x0x0.011xe0x0.01p(x1,x2,...,xn1,2,...,n)p(xii)i1i1nnnnixeiixi!n1,2,...,n(i)i1i1ie1inii1n1eii1n所以有 h(x,)p(x)

进而有

m(x)(0,)p(x1,x2,...,xn1,2,...,n)1,2,...,nd1d2...dn第四章 决策者的收益、损失与效用

4.1 解：

令1:畅销，2:一般，3:滞销；a1:大批生产，a2:中批生产，a3:小批生产

a3a2a110050101（1）Q(,a)304092

602063 Word 资料

.

60,j1minQ(,a)20,j2

ij（2）

i1,2,36,j3maxminQ(i,aj)6

j1,2,3i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为

a3

100,j1maxQ(,a)50,j2 （3）iji1,2,310,j3maxmaxQ(i,aj)100

j1,2,3i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为

a1

（4）H(a1)0.81000.2(60)68

H(a2)0.8500.2(20)36H(a3)0.8100.269.2

因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为

a1

35,j14.2（1）maxQ(i,aj)

30,j2i1,2,3maxmaxQ(i,aj)35

j1,2i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为a1

17,j1（2）minQ(i,aj)

13,j2i1,2,3maxminQ(i,aj)17

j1,2i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为a1

（3）H(a1)0.7350.31729.6

Word 资料

.

H(a2)0.7300.31324.9

因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为a1

4.3解：由题可知

Qa11000.6300.3(60)0.163

Qa2500.6400.3(20)0.140Qa3100.690.360.19.3因此，在先验期望准则下，最优行动为a1

4.4解;(1)

:510

5a,a(2)Q(,a)

5a,aa12525Q25252525201262323

384303540454453035404550a2a3a4a5a625,j124,j223,j3(3)

minQ(i,aj)

i1,2,...,622,j421,j520,j6maxminQ(i,aj)20

j1,2,...,6i1,2,...,6因此，在悲观准则下，最优行动为a6

(4)

H(a1)2512525

H(a2)30124246

H(a3)351232312

Word 资料

.

H(a4)401222218

H(a5)451212124

H(a6)501202030

a1a2a3a401235012解：L10501151050201510525201510a54.5

432105a65142

33241506La1EL(,a1)50.09100.15150.4200.2250.114.45

La2EL(,a2)10.0650.15100.4150.2200.19.81

同理可得

La35.71,La42.51,La51.71,La62.11

因此，在该先验分布之下a5为最优行动。

a3a2a10302560501150530102 4.6解：L0183691803a3a2a11505010014.7解：Q1002002002

0350100250a,a4.8解：（1）W,a

750500a,a250a,a（2）L,a

500a,a4.9解：令1为010%时的状态，2为10%20%时的状态，3为20%时的状态，

Word 资料

.

a1为第一种支付办法，a2为第二种支付办法，则

a2a1100401Q30402

50403因此有

Qa1EQ,a10100Be(2,4)d10%30Be(2,4)d20%50Be(2,4)d47.9

Qa2EQ,a2040Be(2,4)d40

110%20%1所以该厂决策者应采取第一种支付办法。

0,64.10解：由题意知L,a1

530,6305,6

L,a2

0,61,010

1061101因此有

La1EL(,a1)0d530d4

01061061

La2EL(,a2)305d9

010

在先验期望损失最小的原则下最优行动为a1

2a22aEE2

L,aEa4.11证明：LaE4.12证明：设m是先验分布的中位数，a是任一不同于m的行动，且a>m,则

ma,mL(,m)L,a2(ma),ma

am,a其中ma时，2(ma)am

ma,m因此L(,m)L,a

am,m所以LmLaEL(,m)L,amaPmamPm0

Word 资料

.

a1a214.15 由题意可知 Q510

512（1）Qa1EQ,a15

Qa2EQ,a24.5

因此，期望收益决策为a1

a1a21（2）U210

212Ua1EU,a12

Ua2EU,a25.5

因此，期望效用决策为a2

a1a21（3）U1252

1272Ua1EU,a112

Ua2EU,a229.5

因此，新期望效用决策仍为a2

a2a11399400

4.16解: 由题意可知

Q39902(1)

Qa1EQ,a1399

Qa2EQ,a2399.2

因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。

a2a118. （2）U8.2665902Ua1EU,a18.26659

Ua2EU,a28.2677

因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。

第五章 貝葉斯決策

Word 资料

.

1,00.120.12 設X為三件中的不合格品數，則Xb(3,)

5.1解：由題意可知

從而有

p(x)C3xx1因此有

h(x,)p(x)3x,x0,1,2,3

13xC3xx1,x0,1,2,3,00.120.12繼而有

m(0)0.12h(0,)d0.12113d0.83000.12

0.120.1212m(1)h(1,)d31d0.15249600 0.12

m(2)0

0.12h(2,)d0.1201321d0.0131050.12

m(3)0.12h(3,)d0.1213d0.000432000.12

131h(0,)0.12310.040161,00.12所以



0m(0)0.83

1231h(1,)0.122

1163.93831,00.12m(1)0.152496

1321h(2,)0.1221907.66721,00.12

m(2)0.01310513

h(3,)30.12192903,00.12

m(3)0.000432

（2）由題意可知0,1,2,3,a1,a2

x

1(x)

0

1

2

3

a1

a1

a1

a1

a1

a1

a1

a2

a1

a1

a2

a1

a1

a2

a1

a1

a2

a1

a1

a1

a1

a1

a2

a2

a1

a2

a2

a1

2(x)

3(x)

4(x)

5(x)

6(x)

7(x)

Word 资料

.

8(x)

9(x)

a2 a2 a1 a1

a2 a2 a2 a2

a2 a2 a2

a1

a2

a2 a1 a2

a2 a1 a2

a2

a1 a2 a2 a2

a2 a2 a1

a1

a2 a1 a1 a2

a1 a2

a1

a2

10(x)

11(x)

12(x)

13(x)

14(x)

15(x)

16(x)

(3)

80,aa1W,a

2.41250,aa2令2.4125080，則0.062080

所以有

77.61250,0L,a10,00,0L,a2125077.6,03因此有

100Ra10EL,a77.61250d22.7284710

0.830.12

Ra11EL,a1077.61250163.93831d7.673529120

Ra12E22L,a77.612501907.6671d2.841533100

Ra3E3L,a077.61250192903d1.111657110

Ra20E0L,a200.12125077.6d15.32150.830.12213

Ra21EL,a2010.12125077.6163.93831d27.88272

Ra2E2L,a0.12125077.61907.66721d36.99713220

Ra3E3L,a0.12125077.6192903d43.5113922（4）由（3）的計算可知後驗風險最小的決策函數為

Word 资料

0a2,x0a,x1(x)1a1.x2a1,x3 .

l(x)ecxcx15.2 解：（1）令xd，則

對上式關於x求一階導得

l(x)cecxccecx1

若x0,c0，則l(x)0，因此l(x)l(0)0

若x0,c0，則l(x)0

若x0,c0，則l(x)0

若x0,c0，則l(x)0

（3）

ExL,Exec()c1ecEecxcExc1對上式關於求一階導、二階導得

L,cecEec

x2EL,c2ecEec

2

ˆ1lnEecx因此，

Bcnn（4）由題意可知

p(x)p(xi)i1i1

Exxcx001e2xi222en21nxi2x22i12nenx22因此有

xp(x)e1Nx,nnx22所以

x

c從而

Eecxee12

n1cˆlnEecxx

Bc2n5.3證明：

21nx22decxc22n3323322

ExL,Exc2Ec2x2Ec2xEc2x

222對上式關於求一階導、二階導得

Word 资料

Ex33L,2Ec2x2Ec2x220E

因此

3L,2Ec2x0223Ec2xˆB232Ec2x2x

.

2由题意可知

因此有

所以

2p(x)1e2x221e2x22e22x212e22xp(x)exx1N,222x21222x331222Ecxced

1x222)1e25.4证明：由题意可知 p(x2

xa21p(xa)e2

22因此

p(x)a22ax2lnp(xa)2

所以

ap(xa)ep(x)22ax24Le,aEx22p(x)a22a2axa2axlnEp(xa)2222

1xLH(,a)E2

Word 资料

p(xa)1xp(xa)x1E2E2p(x)p(x)22axa222axa21xx24Ee2Ee122ax2a212ee222p(xa)1p(x)1e2x222a2dx2e24axe21e2x22dx1a2222222aaa412242ee2ee12 .

5.5解:由题意可知

p(x)

x221e2x1p(xa)e2a2a2因此

p(x)1ax211lnlnp(xa)22a

x211p(xa)2a

ep(x)a

所以

Le,aExp(x)xlnEp(xa)1ax2111a112ln2a2ln2a2

1xp(xa)1xp(xa)xLH(,a)E1E2E

22p(x)p(x)1x11x11

1x2ax44aEe12Eea2a

22p(xa)1p(x)

1x211x211x24112a4a2eedx2e2a2ax212edx12141a2212aa1a21a1a145.6解: 由题意可知

a1axp(xa)xe,x0

因此

p(xa)aaxep(x)

2p(xa)1x Word 资料

1xLH(,a)E1E22p(x)1xp(x)xe,x0p(xa)x2Ep(x)p(xa)1p(x) .

1xE2aaxxe2Eax2ae211a2eaxx1xea2dx2axe21xxedx1a21

a由题意可知

1ex

20因此

xex1ex01exx0

xGa,xx0

5.8解：由题意可知

因此

xp(x)1e2101e2152x200x22225xeN(10022225ex2200e9x40013900213ˆ为后验分布的

3由定理5.5可知

 分位数。

B11x1xp45.9解:由题意可知

p(x)222e2

2p29x400900,)1313A12e1uA1u2

1其中

MA因此有

xe1111x1x21e1uA1u2e11MW1M2xA1u，A11A

MxA(ux)

ˆExM

所以

B5.11解：由题意可知

p(x)Cnxx1nx1

111,01因此

x

xp(x)1nx111x11nx1xBex,nx

Word 资料

.

由定理5.2得

1n1n211ExBex,nxd

101x1nx1

111n1ExBex,nxd011nx1

1ExEx1ˆBEx1Ex1所以

ˆBExExx1n25x5.13

解：由题意可知p(x)C5xx1

因此



1011918191,01915x813x1x1x

xp(x)1xBex1,14x

Be1,14

1111415所以

0ˆE0（1） 由定理5.1可知

Bˆ为 Be1,14的中位数

（2）

B（3） 由定理5.2

111511413

E0(1)d1011413

1151113

E0(1)d10114ˆ为Be1,14的

1分位数。

（4） 由定理5.5可得

B35.14解：（1）由题意可知

0,00.15L(,a0)

1,0.151Ex可知

ˆEx1BEx1Ex1

1,00.15L(,a1) 0,0.15

Ra0xExL(,a0)0.151410.150113d0.10277

Ra1xExL(,a1)（2）

141d0.8972313L(,a0)0.10277a

1xExL(,a1)0.8972321.79446 Word

R资料

xRa0xE .

（3）Ra0xExL(,a0)0.10277

RaxExL(,a)0.150.1514113d110

5.15解：由题意可知

x

1002900EL(,)Ee

100,aa15.18解：（1）由题意可知

W(,a)1500,aa2

10,15L(,a1)

1001500,115

xx2N(u1,1)，其中

u14009x2,169.238.3213

aa211500100,15L(,a2)10,15aa21250因此



L

W10075105021001502

La1EL(,a1)250.717.5

La2EL(,a2)500.315先验EVPIEL(,a2)15

因此，在先验期望准则下最优行动为a2

（2）参照5.1

（3）设X为两件中的不合格品数，则Xb2,

pxC2xx12i122x,x0,1,2

因此

m(0)p0ii0.87475

m(1)p1ii0.1205i12m(2)p2ii0.00475i1所以

p011100.7222m0

p111 Word 资料

110.551867m1m212p2110.368421 .

因而有

Ra10E0L,a1250.722218.055

同理可得

Ra1113.796675,Ra129.21052625Ra2013.889683,Ra2122.406639Ra2231.5789475a2,x0xa1,x1a,x2因此 在后验风险准则下最优决策函数为

1后验EVPIRa20m0Ra11m(1)Ra11m(2)13.85625

（4）EVSI=先验EVPI-后验EVPI1.14375

ENGS=EVSI-C=1.14375-0.2=0.94375

5.20 解：令a1:购买,a2:不购买,X:每棵桔子树的产量，则X由题意可知

N,2

N3.9,0.82

Q,a10000104000001

Q,a20（1） 令Q,a1Q,a2，则04E3.9

由定理5.6可知 公司不应该购买这片桔林的桔子。

0,4L(,a)（2）由题意可知

21000004,4由定理5.6可知

先验EVPIEL(,a2)1000000.8LND027168

（3）由题可知

x1N(u1,1)

241其中 4.13.9121000.8u14.1,0.19411212

41411000.81000.8

Word 资料

.

由定理5.6可知

后验EVPI1000000.1940.19313746.14

因此 EVSI=23421.86，ENGS=20921.86

a1为后验下的最优

（5） 由题意可知 ENGS=24135 24135-20921.86=3213.14

5.21解：由题意可知

m125m220,D01

（1）由定理5.6可知

先验EVPI54LND01.6664

4（2）由题意可知

3,LN0.04243 由定理5.6可知 先验EVPI530.04240.636

同理

2,先验EVPI0.08491

1,先验EVPI3.5725105 Word 资料