gdkp方程的最优系统和群不变解

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2024年1月9日发(作者：)

2016年6月第32卷第3期纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematicsJun.2016Vol.32No.3GdKP方程的最优系统和群不变解李婷,沃维丰315211)(宁波大学数学系,浙江宁波摘要：利用经典李群方法对GdKP方程进行Lie对称分析,求得该方程的Lie对称代数,及其相应的约化方程和最优系统.更进一步,作者求出了dKP方程的部分群不变解.该方法在物理中有广泛的应用.关键词：GdKP方程;李群方法;对称约化;最优系统中图分类号：O178文献标识码：A文章编号：1008-5513(2016)03-0324-07DOI：10.3969/.1008-5513.2016.03.0111引言孤子理论的产生和发展蕴藏着一系列求解偏微分方程精确解的方法,如反散射方法、Darboux变换、Backlund变换、Lie对称分析等等.目前,寻求非线性微分方程相似约化解的最基本有效的方法有[1]:Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的经典李群法,Bluman和[4]Olver等推广的非经典李群法[2-3],Clarkson和Kruskal提出的CK直接法主要是基于群论,后一种方法是基于代数角度来约化方程.本文主要考虑GdKP方程[5-7](ut−f(x)ux)x=uyy.等.前两种方法(1)其中,f是关于u的任意函数.一方面,给出方程(1)的Lie对称代数和约化方程,算出该5维生成元的一个最优系统[2];另一方面,根据GdKP方程的最优系统和李代数,得到dKP方程(ut−uux)x=uyy(2)的部分群不变解.收稿日期：2016-01-12.基金项目：国家自然科学基金(11201249);浙江省自然基金(LY16A010002);宁波大学科研基金(XKL14D2040).作者简介：李婷(1989-),硕士生,研究方向：偏微分方程.通讯作者：沃维丰(1981-),博士,讲师,研究方向：偏微分方程.

第3期李婷等:GdKP方程的最优系统和群不变解3252GdKP方程的对称和约化方程一般地,k阶微分方程F(x,u,∂u,∂2u,···,∂ku)=0在由生成元X=ξi(x,u)生成的群变换下是不变的,当且仅当X(k)F(x,u,∂u,∂2u,···,∂ku)=0,当F(x,u,∂u,∂2u,···,∂ku)=0时.设方程(1.1)满足的点李对称的无穷小生成元为X=ξ1(x,y,t,u)∂x+ξ2(x,y,t,u)∂y+ξ3(x,y,t,u)∂t+ξ4(x,y,t,u)∂u.(3)∂∂+η(x,u)∂xi∂u向量场(3)的二阶延拓pr(2)X对方程(1)应用李群方法,要求它的解集S={u|△=0}在该向量场所产生的对称群的作用下是不变的,则必须满足下列条件:pr(2)X(△)|△=0=0,△=(ut−f(u)ux)x−uyy.(4)方程(4)对任意的x,t,u,ux,ut,uxt和uxx都成立,因此通过提x,t,u,ux,ut,uxt和uxx以及他们乘积的系数,得到关于ξi(i=1,···,4)的超定方程组.求解该方程组,最后得到方程(1)的李对称为1ξ1(x,y,t,u)=c1x+c2y+c5,2ξ2(x,y,t,u)=c1y+c2t+c3,ξ3(x,y,t,u)=c1t+c4,ξ4(x,y,t,u)=0.其中,ci(i=1,···,5)是任意常数.因此,方程(1)的对称群的向量场为∂∂∂+y+t,∂x∂y∂t1∂∂+t,X2=y2∂x∂y∂∂∂X3=,X4=,X5=.∂y∂t∂xX1=x(5)(6)一个微分方程的对称群就是将方程的解仍变换为该方程的解的变换群.因此,若得到了方程的对称群或者Lie对称代数,便可以用来求方程的其它解,即群不变解.取定无穷小Xi(i=1,···,5)之后,我们来求解特征方程dxdydtdu===ξ1ξ2ξ3ξ4化方程.(7)以得到相似变量和向量场约化形式.然后,将它们代入原方程(1)中,便可以得到相应的对称约

326纯粹数学与应用数学第32卷2.1X1对应的约化方程及其李对称分析X1对应的积分特征方程(7)为ξ=dxdydtdu===,通过求解此方程,可得相似不变量xyt0ty,η=,和向量场约化形式u=U(ξ,η).将它们代入方程(1)并化简,求得U(ξ,η)满足tx一个2维约化方程()222)()(()()()∂∂∂∂∂2U+2ηξU+2ξξ2U+ηU+2ηUf(U)+∂ξ2∂ξ∂η∂η2∂ξ∂η()()()()()∂∂∂∂′22ξ2U+2ηξUU+η2Uf(U)+(8)∂ξ∂ξ∂η∂η())(∂2)(∂2∂∂2U+ηU+2U=0.ξ+∂ξ∂η∂η2∂η∂ξ利用经典李群方法,对方程(8)继续进行李对称分析,求得:方程(8)满足的点李对η4η−ξ2称的无穷小生成元v=(ξ2−2η)∂ξ+ξη∂η,相似不变量τ=−√U(ξ,η)=F(τ),方程就能约化成F(τ)满足的一个常微分方程.2.2X2对应的约化方程及其李对称分析和向量场约化形式对于X2,求解方程(7)解得相似不变量是t和ξ=y2−4tx,和向量场约化形式u=U(t,ξ).将它们代入方程(1),求得U(t,ξ)满足一个2维约化方程(∂)2(∂2)(∂2)(∂2)(∂)2U+16tf(U)U+4ξU=0.16tf(U)U+4tU+6∂ξ∂ξ2∂t∂ξ∂ξ2∂ξ2′(9)对方程(9)继续进行李对称分析,求得:方程(9)满足的点李对称的无穷小生成元v=c1t∂t+(2c1ξ+c2t)∂ξ(其中,c1和c2为任意常数),相似不变量和向量场约化形式分别是:c1ξ+c2tτ=,U(t,ξ)=F(τ).将它们代入方程(9)中,求得F(τ)满足c1t28fF′′2+8fF−2τF−F=0.′′′′′(10)其中,f是关于F的函数,F是关于τ的函数.2.3X3对应的约化方程及其李对称分析求解特征方程(7)给出:相似不变量x和t,和u=U(x,t).将它们代入方程(1)约化可得2维偏微分方程:(∂)2(∂2)(∂2)′U−f(U)U−f(U)U=0.∂x∂t∂x∂x2对方程(11)继续进行李对称分析,求得:方程(11)的对称群的向量场为v=(c1t+c2)∂t+(c1x+c3)∂x,c1t+c2,向量场约化形式为U(x,t)=F(τ).c1(c1x+c3)特别地,若对每一个关于ci的无穷小生成元求约化方程,可求得下列结果(见表2.1,其中(c1

本文标签： 方程对称约化分析方法