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2024年1月13日发(作者：)

函数的概念与性质

1函数的概念：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域，值域是集合B的子集．

2函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

求函数定义域的原则：

(1)若fx为整式，则其定义域是R；

(2)若fx为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；

(3)若fx是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

(4)若fxx0，则其定义域是xx0；

(5)若fxaxa0,a1，则其定义域是R；

(6)若fxlogaxa0,a1，则其定义域是xx0；

(7)若f(x)tanx，则其定义域是{x|x2k,kZ}；

求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；

求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；

3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．

4分段函数：在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同对应关系的函数．

5函数的单调性：

(1)单调递增：设任意x1,x2D(DI,I是fx的定义域)，当x1x2时，有f(x1)f(x2).特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；

(2)单调递减：设任意x1,x2D(DI,I是fx的定义域)，当x1x2时，有f(x1)f(x2).特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．

6单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．

7复合函数的单调性：同增异减．

8函数的最大值、最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:xI,都有f(x)M(f(x)M)；x0I使得f(x0)M，那么称M是函数的最大(小)值．

9函数的奇偶性：

1

偶函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数叫做偶函数；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数yf(x)满足f(x)f(x)f(|x|)；

奇函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数叫做奇

函数；奇函数的图象关于原点对称；若奇函数yf(x)的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即f(0)0.

10幂函数：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．

11幂函数fxx的性质：

①所有的幂函数在0,都有定义，并且图象都通过点1,1；

②如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间0,上是增函数；

③如果0，则幂函数的图象在区间0,上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

④在直线x1的右侧，幂函数图象“指大图高”；

⑤幂函数图象不出现于第四象限．

2

本文标签： 函数单调图象区间定义域

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