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2024年5月3日发(作者：)

gamma函数的性质

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一

类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切

联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似

的积分。

函数性质编辑

1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：

Γ(x+1)=xΓ(x)

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有

如下性质：

2、与贝塔函数的关系：

3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：

其中。

4、

这个公式称为余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：

5、对于，伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马

函数在处的留数为

历史背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整

数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为

实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线

y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥

德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我

们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑

曲线。

本文标签： 函数公式实数延拓

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