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2024年5月9日发(作者:)
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如何巧妙还原三视图的立体图
作者:兰长侨
来源:《学习与科普》2019年第30期
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摘要: 三视图是高中数学“立体几何”知识点的重要基础之一,此文将三视图的
原理验证方法进行解析。
关键词:三视图;立体图;高中数学
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三视图是人教A版高二必修二第一章第二节《1.2.2空间几何体的三视图》的内
容,三视图还原立体图一直是学生甚至是老师的一个难题。我们知道,三视图是几何体在
一束平行光线照射下形成的投影,光线从几何体的前面向后面正投影得到正视图,光线从
几何体的左向右面正投影得到侧视图,光线从几何体的正上方向下面正投影得到俯视图。
根据三视图的定义,俯视图与正视图长相等,俯视图与侧视图宽相等,正视图与侧视图高
相等,因此,在具体的三视图中总是有这样的对应关系:正视图和俯视图的长度相等,侧
视图的长等于俯视图的高,正視图和侧视图的高相等(如图1)。
一、课题的引入
某天一位同学来问了我这样一道三视图的题:
某四面体三视图(如图2),正方形网格边长为1,则此四面体体积为( ; )
【分析】本题实质是考察三视图还原立体图的能力,很多同学就是因为不能还原
立体图而不能做出正确的答案。
我根据三视图的原理给同学讲解了三视图还原成立体图的过程,算出了答案,但
是同学却听得模模糊糊,尤其是不能想象出三视图还原立体图的过程。在无意中看到修高
楼打的立柱在太阳下投影到对面墙的影子,那么我为什么不用简单的点线投影的观点还原
立体图呢?
二、例题讲解
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我们知道,一条线或点的不同放置时它们的三视图,从而得到(1)有垂直于水平
线的 (2)有与水平线斜向上的 (3)有悬空的点 这三种位置。
【例题1】:一个几何体的三视图(如图3所示),请还原立体图。
解答步骤(如图4):
第一步,把俯视图放入长方体底部,标出关键点。
第二步:从俯视图正下方做竖直的平行线(正俯长相同原则),先观察在第1条
竖直线上只有一个关键点A(以后我们简称单点)对应的正视图相应有一条与水平线段
DG垂直的线段DE,因为只有单个的关键点A,所以只有在长方体点A立柱线段AE(简
称单点有垂立柱);再看B点,也是在第二条竖直线上的单点,对应正视图上没有与水平
线垂直或斜向上的线段,只有一个悬空的F点,所以关键点B在长方体中是悬空的点(简
称单点无垂无斜悬空点);再看C点,是在第三条竖直线上的单点,对应正视图上只有与
水平线段DG斜向上的线段EG、FG,所以关键点C在长方体中只能在底部的一个点(简
称单点有斜定点)。
第三步,确定所有点后,连接相对应的点,即可确定立体图。
我再给出了一个复杂一点的例题:
【例题2】一个几何体的三视图(如图5所示),则它的体积为( )
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正确答案是 B.
【分析】本题实质是考察三视图还原立体图的能力。
解答步骤:(如图6)
第一步:把俯视图放入长方体底部,标出关键点。
第二步:从俯视图正下方做竖直的平行线(正俯长相同原则),先观察第一条竖
直的线,上面有两个关键点A、B,对应的正视图相应有一条与水平线垂直的线段DE和
斜向上的线段DG,所以我们暂时不能确定具体情况;再看第二条竖直的线只有一个关键点
C,对应正视图有一条与水平线垂直的线段FG,因为在长方体中只有一个关键点C,所以
可以确定在C点一定有一根立柱的线段(单点有垂立柱)。
第三步:从俯视图左方做水平平行线在转到竖直平行线(侧俯宽相等原则),先
观察最下方的水平线只有A点,对应侧视图有相应的点N,并且有一条与水平线斜向上
的线段MN,所以可以确定A点一定只能是在长方体底部的一个点(单点有斜定点);我
们再来看第二条水平线有B、C两个关键点,对应侧视图相应的又有一条与水平线垂直的
线段HM并且有4个单位长度,而C点在第二步已经确定有一根立柱的线但是只有1个
单位长度,所以只有在B点承担立一根4个单位长度柱的任务,当然也是因为正视图没
有EF这样的斜线,才综合确定了B点。(多点,有垂综合正侧是关键)
第四步,确定所有点后,连接相对应的点,即可确定立体图。(如图7)
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总结
三、验证方法
第一步:把俯视图放入长方体底部,标出关键点。
第二步:从俯视图正下方做竖直平行线(正俯长相同原则),先观察A、D点对应
的正视图相应没有一条从水平线垂直的线段或斜向上的线段,说明在长方体中A、D点一
定没有在底部,可是不能确定具体位置(多点暂时不确定);再看B点,对应上去有一条
与水平线斜向上的线段FG或GE,但是这里只有B一个点 ,所以可以确定B点一定只能
是在底部的一个点(单点有斜定点);再看C点,对应上去有一条与水平线斜向上的线段
HF或HE,但是这里只有C一个点 ,所以可以确定C点一定只能是在长方体底部的一个
点(单点有斜定点)。
第三步:从俯视图左方做水平平行线在转到竖直平行线(侧俯宽相等原则),先
观察D点,对应侧视图没有一条与水平线垂直的线段或斜向上的线段,而空中又有一个
相对应的点M,但是这里只有D一个点 ,所以可以确定D点一定是悬在半空中的点(单
点无垂无斜悬空点);我们再来看在同一水平线上的A、B、C点,对应侧视图相应有一条
从水平线垂直的线或斜向上的线,但是 B、C点在第二步已经确定只能是在底部的点 ,所
以只有在A点承担立一根柱或者有一条斜向上的线,但是在第二步可以确定A点不可以
在底部,并且从正视图来看有一个点一定要在D点的正上方1个单位的地方,所以A点
只能悬空在顶部,并且和点B、C连线形成斜向上的线(多点,有垂综合正侧是关键)。
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此方法更适用于解决棱锥的问题,画出立体图后需要验证一下是否符合。
参考文献
[1]刘玲. 巧用三视图 立体变平面[J]. 中学物理教学参考, 2016(19):38-40.
[2]陈洙颖. 以三视图还原几何体困难的原因及对策[J]. 中学生数理化(学习研
究), 2017(5):60-60.
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