全纯向量丛与Ward孤子

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2024年5月9日发(作者：)

毪　

数学物理学报　

ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｌｎｓ．ｗｉｐｍ．ａＣ．ｃＴｌ　

全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　

朱秀娟　

（江苏教育学院数学与信息技术学院　南京２１００１３）　

摘要：Ｗａｒｄ利用亚纯标架具体给出了有限能量的１－ｕｎｉｔｏｎ对应的全纯向量丛，该向量丛的　

底空间为有理直纹面．Ｗａｒｄ所用的亚纯标架的奇异结构与１－ｕｎｉｔｏｎ的广义解的奇异结构相　

对应．该文推广了Ｗａｒｄ的方法，具体给出了一些Ｗａｒｄ孤子对应的全纯向量丛，这些Ｗａｒｄ　

孤子的广义解仅具有单极点或仅具有一个二阶极点．　

关键词：Ｗａｒｄ孤子；广义解；亚纯标架；有理直纹面；极点数据．　

ＭＲ（２０００１主题分类：３２Ｌ０５；３２Ｌ２５　中图分类号：０１８９．３；０１７５．２　文献标识码：Ａ　

文章编号：１００３—３９９８（２０１１）０４—１０２２—１４　

１　引言　

Ｗａｒｄ方程有时也称为修正的２＋１　ｃｈｉｒａｌ模型，是由　ｌ２．０上的自对偶Ｙａｎｇ—Ｍｉｌｌｓ方程通　

过维数约化和规范固定得到的．　Ｗａｒｄ在文献ｆ１１１中运用ｔｗｉｓｔｏｒ构造的方法证明了Ｗａｒｄ　

方程的每个解析解对应于ｍｉｎｉｔｗｉｓｔｏｒ空间Ｔ　１上的某个全纯向量丛．　Ａｎａｎｄ［　ｊ给出了　

这类对应的丛（本文将全纯向量丛就简称为丛）能平凡地延拓到ｍｉｎｉｔｗｉｓｔｏｒ空间的紧化空间　

上的充要条件，这里的　也称为第二Ｈｉｒｚｅｂｒｕｃｈ曲面，可由空间　ｐｌ额外添加一个截面　

得到，即每个纤维都是ｐ１，因此　是一个有理直纹面．纯孤子解所对应的丛满足Ａｎａｎｄ　

的充要条件，所以能够延拓到紧空间　上［１４］．由于　是一个代数簇，其上的丛能够由具体　

的有理数据构造出来＿１ｊ＿、ｖａｒｄ在文献ｆ６１中运用亚纯标架具体给出有限能量的１－ｕｎｉｔｏｎ（￣［］　

静态的纯孤子解）对应的丛，而该亚纯标架是由１－ｕｎｉｔｏｎ的广义解所确定的．　

Ｗａｒｄ在文献ｆ１Ｏ１中运用Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｈｉｌｂｅｒｔ零点问题的方法构造了广义解具有　个单极　

点的ｋ一孤子解．对具有两个单极点ｉ＋　和ｉ—ｅ的广义２一孤子解取ｅ一０时的极限，Ｗａｒｄ　

和Ｉｏａｎｎｉｄｏｕ构造了具有一个２阶极点的广义２一孤子解，他们还用类似的方法构造了具有　

个３阶极点的广义３．孤子解［７，１３］．这些极限解都具有非平凡的散射．Ｄａｉ和Ｔｅｒｎｇ［　】利　

一

用代数Ｂｇｃｋｌｕｎｄ变换，取尼阶极限的方法以及广义代数Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ变换构造了Ｗａｒｄ方程所　

有的孤子解．　

由Ｗａｒｄ给出有限能量的１－ｕｎｉｔｏｎ对应丛的方法　受到的启发，本文具体给出了一　

些Ｗａｒｄ孤子对应的丛．由于具有高阶极点的广义Ｗａｒｄ孤子解的表达式非常复杂，其对应　

丛的亚纯标架很难由Ｗａｒｄ的方法得到．我们把给出具有任意极点数据的Ｗａｒｄ孤子所对应　

收稿日期：２００９—０３—０４；修订日期：２０１０—０５—１８　

Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｚｚｈｕｘｉｕｊｕａｎ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ　

基金项目：国家自然科学基金（１０６７１　１７１）和江苏省自然科学基金（１０ＫＪＤ１　１０００６）资助　

ＮＯ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０２３　

的丛推后到将来的工作中去，本文就给出仅具有单极点数据或仅具有一个二阶极点数据的　

Ｗａｒｄ孤子对应的丛．本文结束部分指出了具有任意极点数据的Ｗａｒｄ孤子所对应的丛的一　

些信息．　

２、Ⅳａｒｄ孤子　

Ｗａｒｄ方程就是关于映射　：　，　一ＳＵ（ｎ）的如下方程　

（ｊ－１　）ｔ一（ｊ－１Ｊｘ）　一（ｊ－１Ｊｙ）　一［ｊ－１Ｊｔ，ｊ－１　Ｊ：０．　（２．１）　

、ｖａｒｄ方程的解称为Ｗａｒｄ映射．由于这个方程是可积的，所以可作为关于映射　：　，　×　

ｃＵ｛。ｏ）一ＧＬ（ｎ，ｃ）并含有一个谱参数＜∈ｃＵ｛∞｝的线性方程组　

Ｊ，（　一巩）砂：　矽，　

（　一以）　：Ｂｅ　

的相容条件，其中Ａ，Ｂ：　，　一　（礼）为不依赖于谱参数ｅ的光滑映射，　Ｕ　

ｕ＝　（ｔ一　）．　

定义２．１线性方程组（２．２）的满足　（ｎ）一实条件　

（　，Ｙ，ｔ，　）　（　，　，ｔ，（）：Ｉｎ　

（２．２）　

（ｔ＋　），　

（２．３）　

的解称为Ｗａｒｄ方程的广义解或广义Ｗａｒｄ映射，其中‘十’表示Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ共轭，映射Ｊ：　

（…，０）　：＝ｃ矽（（＝０）　称为其相伴的ｗａｒｄ映射，其中Ｃ为使得ｄｅｔ（Ｊ）＝１的规范化常　

数．这表明方程（２．１）的解可以借助于超定线性方程组（２．２）构造得到．　

Ｗａｒｄ映射的能量泛函［１ａ，４，ｓ】为　

即）＝去　ｔ＝ｃｏｎｓｔ｝ＩＩ！厂ｌ圳。＋Ｉ　＆ｌＩｌ。＋ＩＩ｜厂ｌ圳　捌　，　

其中Ｉ１￣１１。：一ｔｒ（　）．为了保证该能量有限，Ｗａｒｄ给定了边界条件　

＝

Ｊｏ＋　（　）ｒ　＋Ｏ（ｒ＿２），　当ｒ—Ｏ０时，　（２．４）　

其中Ｘ＋ｉｙ＝ｒｅ　，Ｊｏ为一个常数矩阵，　只依赖于　（而不依赖于　）．　

定义２．２　Ｗａｒｄ映射　若满足下列两个条件，则称　为、ｖａｒｄ孤子（或简称为孤子）【　

（１）在　。上具有有限能量，或等价地满足边界条件（２．４）；　

（２）具有广义解　使得　（　，Ｙ，ｔ，ｅ）为＜的有理函数，且对所有的（Ｘ，Ｙ，ｔ），有　

（１　（）＝　

定义２．３若　是一个广义Ｗａｒｄ孤子，具有ｒ个极点＜＝ＯＺ１，…，　，重数分别为　

ｎ１，…，ｎ　，则称（ｏｔ１，…，　，ｎｌ，…，ｎ　）为　及其相伴的Ｗａｒｄ孤子　的极点数据．　

设　∈ｃ＼Ｒ，７ｒ为ｃ　的一个Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ投影，定义　

眠　＋　＝厶＋盖　（２．５）　

１０２４　数学物理学报　、，Ｏ１．３１Ａ　

直接计算可以得到ｇ　，　满足　（ｎ）一实条件（２．３）．称这样的ｇ　，　为简单元．　Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ在　

文献［９］中证明了所有简单元生成的集合，即为满足　（佗）一实条件及。厂（∞）＝厶的有理映射　

ｆ：Ｓ　一ＧＬ（ｎ，Ｃ）构成的群．　

定义２．４　Ｗａｒｄ孤子Ｊ称为尼一孤子，如果惫是　的广义解的非常数简单元因子的最　

小个数．　一孤子的广义解称为广义　一孤子．　

记Ｍｏ　为秩为　的复ｎ×　矩阵构成的空间，Ｖ＝（　）：Ｃ—Ｍｏ　为一个亚纯映　

射，７ｒ为从　，　到ｃ　的秩为　的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ投影所构成的空间的映射，使得Ｉｍ（Ｔｒ（ｘ，Ｙ，￡））　

（即丌的像）为ｃ　的由矩阵ｖ（ｘ＋　＋　”）的列所生成的复子空间，且仃上－二　一丌．则　

眠　＝　＋　丌上（　，￡）　（２．６）　

为Ｗａｒｄ方程的一个广义解．、ｖａｒｄ证明了与９　，　相伴的Ｗａｒｄ映射　＝ｃ９二

１丌（（＝０）满足　

边界条件（２．４）当且仅当　的每个元素都是有理函数［１ｏ］．由前面的定义，若每个仉　都为有　

．

理映射，则　为１一孤子．特别地，当ＯＬ＝ｉ时，　＋ｉｕ—ｉｖ＝　＋ｉｙ，即此时　不依赖于时间　

ｔ．这个１一孤子Ｊ就是Ｗａｒｄ在文献【１２］中研究的具有有限能量的１－ｕｎｉｔｏｎ，但Ｗａｒｄ采用　

了不同的记号，广义解用　表示，谱参数为　，它们与　和＜的关系分别为　＝　（＜）一，　

＝　

．　

定理２．５（代数Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ变换［４】）设　（　，　，ｔ，＜）为Ｗａｒｄ方程的一个广义解，Ｊ＝　

ｃ砂　（（：０）为相伴的Ｗａｒｄ映射．选取ＯＬ∈Ｃ＼风，使得　在＜＝　处全纯且非退化．设　

ｇ　，　（　ｔ）（（）为广义１一孤子，亓（　，Ｙ，ｔ）为Ｃ　到　（　，Ｙ，ｔ，ａ）（Ｉｍ（Ｔｒ（ｘ，Ｙ，　）））的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ投　

影，则　

（１）　（　，Ｙ，ｔ，＜）＝ｇ　，亓　）（（）　（　，Ｙ，ｔ，（）９　，　（　ｔ）（（）　在（＝ＯＬ，　处全纯且非退化；　

（２）　ｌ＝ｇ。，亓　＝　９　，　为线性方程组（２．２）的一个新的广义解，但（２．２）式中的（　，Ｂ）　

由（　＋（　一　）　，Ｂ＋（画一　）　）替代，且与　１相伴的新的Ｗａｒｄ映射为　

Ｊ　（　，　，ｔ）＝（　＿￣　＼ｋ／ｒｅＪ（ｚ，　，ｔ）（詈亓（ｚ，　，ｔ）＋亓上（　，　，ｔ））　

记　

１＝ｇ。，　，　：９　，　

为由ｇ。．　生成的代数ＢＳｃｋｌｕｎｄ变换．具有　个单极点的　一孤子　可由对广义１一孤子　

重复作（具有不同极点的）代数Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ变换得到，即　

＝ｇ　，　（…　（ｇ　。，　。　ｇ　））．　（２．７）　

其相伴的、ｖａｒｄ孤子具有平凡的散射，即　个１一孤子在相互作用后仍保持原先的运行方向　

和形状．这类解与Ｗａｒｄ在文献ｆ１０１中运用Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｈｉｌｂｅｒｔ问题得到的解是一致的，我们　

称这类解为仅具有单极点数据的Ｗａｒｄ孤子．　

Ｗａｒｄ和Ｉｏａｎｎｉｄｏｕ在文献ｆ７１和ｆ８１中，对具有两个单极点ｉ＋∈和ｉ—ｅ的广义２一孤　

子取Ｅ一０时的极限，构造了在（：ｉ处具有一个二阶极点的广义２一孤子．Ｉｏａｎｎｉｄｏｕ用　

类似的方法构造了在（＝ｉ处具有一个三阶极点的广义３一孤子．Ｄａｉ和Ｔｅｒｎｇ［　Ｊ运用代数　

Ｂｉｉｃｋｌｕｎｄ变换以及一种系统的　阶极限的方法构造了极点数据为（ＯＬ，七）的ｋ一孤子，对任　

意　∈ｃ＼Ｒ，　２．这些极限解具有非平凡的散射，即其能量图像的局部隆起在相互作用后　

运行方向发生改变．我们称这些解为具有高阶极点数据的Ｗａｒｄ孤子．这类解的动力学非常　

复杂，只有一些简单的例子被具体分析过［７，１３Ｊ．　

ＮＯ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０２５　

定理２．６（广义代数Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ变换【４】）设咖为具有极点数据（　，ｋ）的广义Ｗａｒｄ映射，　

为在（：　，ａ处全纯且非退化的广义Ｗａｒｄ映射．则存在惟一的　及　使得　＝　，其　

中　具有极点数据（　，尼），　在（＝ＯＺ，ａ处全纯且非退化．并且，　＝　＝　为一个新　

的广义Ｗａｒｄ映射，而　和　可由代数构造得到．　

对具有极点数据（Ｏ／１，ｎ１）的广义Ｗａｒｄ孤子　，　重复地作广义代数Ｂｇｃｋｌｕｎｄ变换，　

可以得到具有极点数据　一，　，７７，ｌ，…，　）的广义Ｗａｒｄ孤子≯，即　

＝　

，　

（…　（西。。，　。　，　））　（２．８）　

其中　，，　，为具有极点数据（　Ｊ，　）的广义ｗｌａｒｄ孤子，Ｊ＝２，…，ｒ．文献［４］中、Ⅳａｒｄ孤　

子的能量图像表明，具有极点数据（　１，…，Ｏ／　，ｎｌ，…，礼　）的Ｗａｒｄ孤子是由ｒ个分别具有　

极点数据（　１，ｎ１），…，（ＯＬ　，ｎ　）的Ｗａｒｄ孤子相互作用得到，这ｒ个孤子在相互作用后保持　

原先的形状．　

３　有限能量的１．ｕｎｉｔｏｎ对应的全纯向量丛　

Ｍｉｎｉｔｗｉｓｔｏｒ空间　１是Ｒｉｅｍａｎｎ球面　１上的全纯切丛，即以ｐ１为底空间，每个纤维都　

是ｃ．记　为底空间的标准坐标，即　∈ｃＵ｛∞），则ｇｏ＝｛　：　１）和　＝｛　：　１）　

这两个半球面覆盖　１．　上的纤维坐标叼∈Ｃ与　，ｏ。上的纤维坐标而∈Ｃ由关系式而＝Ａ－２ｒ／　

连接起来．Ｗａｒｄ［ｎ　］证明了实解析的Ｗａｒｄ映射ｔ，：　。，　一ＳＵ（２）与ｍｉｎｉｔｗｉｓｔｏｒ空间上　

的秩为２的双标架的丛Ｅ对应，该丛满足下列四个条件．　

（１）对每个实截面　＝｛叩（　）：　～２ｉｒａ～ｚ：　∈Ｃ　Ｕ｛。。）），其中　∈ｃ，ｔ∈　，Ｅｌ　是　

平凡的；　

（２）实条件Ｆ｛＝Ｆ，其中Ｆ＝Ｆ（　，叼）为连接Ｓｉｌｏ和ＥＩ　的迁移矩阵，且Ｆ｛（　，叩）＝：　

Ｆｆ　一　，一　一。ｙ／）ｔ；　

（３）线丛ｄｅｔＥ是平凡的，这可由施加条件ｄｅｔＦ＝ｌ得到；　

（４）Ｆ（士１，叩）＝　．　

本文第二节所述的Ｗａｒｄ孤子对应的丛都能够延拓到ｍｉｎｉｔｗｉｓｔｏｒ空间的紧化空间　上［１４］．　

该对应关系很容易推广到Ｕ（ｎ）或ＳＵ（ｎ）（几＞２）的情形．我们只讨论ｎ＝２的情形．　

将迁移矩阵Ｆ限制在实截面上，由条件（１），存在两个分别关于　∈Ｕｏ和　∈　。的全　

纯且可逆的矩阵　和　（且实解析地依赖于Ｚ，　，ｔ），于是可以将Ｆ分解为　

Ｆ（／ｋ，　一２ｉ　一　）＝鼠日　．　

定义两个微分算子　和　如下　

（３．１）　

：　＋　ｉ　一　，　：　一丢ｉｈｏｔ　

蠢　０鑫　＝Ｈ　Ｈ＼．　

对　也有类似的表达式．选取规范日１＝，２，则（３．３）式的右边有如下的形式　

丑　月　＝（１一　一　）　，　

（３．２）　

由于　和　可零化表达式叩＝乏　。一２ｉｔＡ一　，所以它们也零化（３．１）式的左边，从而有　

（３．３）　

（３．４）　

１０２６　

类似地，有　

数学物理学报　ｖ０１．３１Ａ　

０ＨＡ＝（１一Ａ）Ａ　，　

其中　，　都是关于　，　，ｔ的函数的某个矩阵．同理，　也满足以上这两个方程．　

（３．５）　

为后面讨论的方便，下面我们采用ｗａｒｄ使用的记号　来表示广义解，　和　（＜）的　

关系为　（（）＝　，其中＜＝　．将此表达式代入（２．２）式和（２．３）式，我们得到　

Ｉ　ＯＥｘ＝（１一　一　）　，　

ｌ　Ｅ　ｄＥＡ＝（１一　）Ａ　，　

这里　，　也都是关于　，乏，ｔ的函数的某个矩阵，以及　

＝

（３．６）　

．　

ｆ３．７）　

尽管ＨＡ，ＨＡ与广义解　满足同样的线性方程组，但我们不能认为它们就是广义解，这是　

因为它们和　具有不同的奇异结构．不过我们可以找到两个关于　和卵全纯的ｔｗｉｓｔｏｒ函　

数Ｋ＝　（　，叩）和露＝露（　，卵），它们能同时被　和　零化，使得ＨＡ＝ＫＥ　和　＝露　．　

于是迁移函数Ｆ可由　

Ｆ＝　Ｈｆ　＝　一　（３．８）　

下面我们简要回顾一下Ｗａｒｄ具体给出有限能量的１－ｕｎｉｔｏｎ对应的丛的方法．有限能量　

的１－ｕｎｉｔｏｎ为　

＝　

（　．　），　

１＋ｌ，　ｌ（＼　）．厂『．　／　．　

ｃ。．９，　

其中ｆ＝＿厂（　）是Ｃ　ｕ｛。。｝上的有理函数，／表示ｆ（ｚ）的共轭．其广义解为　

ＥＡ：ｉｉ２＋　

注意到ＥＡ当　＜∞时全纯，但由ｄｅｔ　ＥＡ＝一　，知Ｅ　在　一０处有一个极点．Ｗａｒｄ先假　

设＿厂在Ｚ一０的某个邻域内全纯．事实上，我们可以认为，是定义在　。，　内点　一　＝ｔ一０　

的某个邻域Ｑ上．记Ｑ　为该邻域在　ｐ１内相应的区域，则Ｑ　是　１的包含曲线叼＝０的　

个开子集．易找到定义在【２，的一个开子集上的两个ｔｗｉｓｔｏｒ函数　和露为　

一

＝　

，　

（Ａ－　

，：ｆ＼，＼。ｌ　－１　、．　

厂　／／　

另一方面，若＿厂有一个极点，即．厂　在　。，　内点Ｚ＝　：ｔ＝０的某个邻域内全纯，则Ｋ　

和　分别替换成如下两个矩阵　

／（Ａ、　一１　一１　（３．　

Ｎｏ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０２７　

事实上，若．厂在Ｃ　Ｕ｛。。）上为有理函数，我们可以定义覆盖Ｔ］Ｐ１的紧化空间　的四　

个集合　

Ｕ：　

Ｕ：　

１，　ｌｆＩ　１，　

１，　１ｆｌ　１，　

Ｕ　：　

：　

１，　ｌｆｌ　１，　

之１，　ｌｆｌ　１．　

则定义在Ｕ上的Ｋ等即为亚纯标架（沿着　＝０和　＝。。是奇异的），从而确定了有限能量　

的１－ｕｎｉｔｏｎ所对应的Ｓ２上的全纯向量丛．　

投影线　＝０的一个邻域可由Ｕ和　这两个集合覆盖，且确定丛Ｅ的　ｎ　上的迁　

移矩阵为　

Ｋ＇Ｋ－１＝　

０）　＿

若　。　０，　（３．１４）　

因此　＝０是一条跳跃线（参见文献【６］），丛Ｅ限制在线　＝Ａｏ上为　

ＥＩ　

Ｅ　

＝

ｄｅ酊。Ｈ－ｄｅｇｆ

，　

Ａ。　

Ｈ。ＧＨ￣（即平　丛），　善０　＜ｌ　１　１，　ｌ４）　

其中Ｈｉ表示　１上超平面截面丛Ｈ的ｉ次幂，称这样的跳跃线为（ｄｅｇｆ，一ｄｅｇｆ）型的．同　

理，　＝。。也是一条（ｄｅｇｆ，一ｄｅｇｆ）型的跳跃线．　

４　仅具有单极点数据的Ｗａｒｄ孤子对应的全纯向量丛　

本节我们推广Ｗａｒｄ的方法，具体给出（依赖于时间的）Ｗａｒｄ　１一孤子对应的丛，以及仅　

具有单极点数据的Ｗａｒｄ孤子对应的丛．　他＝２时的广义ｌ一孤子的表达式为　

＋　丌上

，　

（４．１）　

这里假设ＯＺ∈ｃ＋＝｛　Ｅ　Ｃ，Ｉｍｚ＞０’（此假设并没有丢掉任何Ｗａｒｄ映射［４１），则　

丌＝　

）．　

（４．２）　

其中ｆ为Ｗ＝Ｘ＋　＋　的某个有理函数．因此　

（　）　

一　

（　１＋　）（１＋　ｌｆ—ｌ２　）　－　（一Ｉ－ａ，Ａ，）（丘＋　ｌ，ｌ２）　＋　＋（１ｌｆ—ｌ２　））－（　（１一－丘）Ａ，）（　＋丘，．。，）　

（１＋ｌｆｌ　）［ｉ（１＋　）一（１～　）画】　

。

２ｉｔ

ｌｆ－一ｚ

ｉ（１＋　）一（１一　）　＝（　＋ｉ）（　—　），且Ｗ＝一￣ａ－１

即我们可以把，看作是复变量　

臼

，

由ｄｅｔ　Ｅ　＝　善　语，知Ｅ　在　＝舞处有一个极点．设　＝舞，则　＜１，　

１０２８　数学物理学报　Ｖ０１．３１Ａ　

叩（　）＝　一２ｉｔｌ—　的有理函数．为简便起见，我们略去所有有理函数的变量．于是　和　ｆ

ｄｅｔＥＡ可分别写成　

／ｆ，　６＋ｉ（　）（１＋ｌｆ　ｌ）＋ＯＺ—ａ　

（　—ａ），　

（１＋ｌｆｌ　）孚　（入一　一　）　

ｉ６一＋　ｉ［、ｘ，、一／３）（１＋Ｉ／Ｉ　）＋（　—ｃＯＩｆｌ　／　

Ｅ　

（　一画）．厂　＼　

（４．３）　

４，　

＝　．　

由待定系数法，我们可以找到当ｆ在Ｒ。，　内点　＝牙：ｔ＝０的某个邻域内全纯时的矩　

Ｈ日　

阵Ｋ，以及ｆ一　在该邻域内全纯时的矩阵Ｋ　，使得ＫＥｘ和Ｋ　Ｅｘ当　ｌ时全纯且可逆，　

ｆ＝

（ｘ－９）一　，一（入＿

。

９）－１），　＝（‘入一　一１一（入一　一　，一　）．ｃ４．５，　

日　，　

现在考虑投影线　：　的某个邻域上的全纯向量丛的行为．该邻域可由　和　这两个集　

合覆盖，且确定丛Ｅ的己，ｎ　上的迁移矩阵为　

Ｋ一　Ｋ’　

厂　

（入一　）　

（４．６）　

因此丛Ｅ限制在线　＝Ａｏ上为　

若　。　，　（４

７）　

．

若ｌ　ｏ　Ｊ　１且Ａｏ≠　，　

即　：　为一条（ｄｅｇｆ，一ｄｅｇｆ）型的跳跃线．同理，　＝　一　也是一条（ｄｅｇ　ｆ，一ｄｅｇｆ）型的　

跳跃线．　

下面我们来研究广义解具有两个单极点的Ｗａｒｄ　２一孤子对应的丛．广义２一孤子的表　

达式为　

２—９０２，７ｒ２木ｇ　１，７ｒ１—９ａ２，亓２９　１，丌１＝９　ｌ，７ｒ１牢９　２，７１＂２＝９０１，亓１Ｉ９ａ２，７－１２，　

其中ＯＺｌ，　２∈Ｃ＋，　亿为到ｃ仇＝ｃ

（　）上的投影，＾为ｃ　ｕ　。。　上的有理函　

，　。

数，　：１，２，亓１为到９　。，　。（　１）Ｉｍｒｃ１上的投影，亓２为到ｇ　（　２）Ｉｍ丌２上的投影．注意到　

９　在＜≠　ｌ，ａ１处全纯且可逆，ｇ　在＜≠　２，画２处全纯且可逆．设　

Ｅｌ～　

（　）　

１，　

１十　

（　）　

‰，亓　

。（　）　

（　）　

岛～亓

ＮＯ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０２９　

贝０　１≠　２，ｌ　１ｌ＜１，１　２Ｉ＜１且　

ｚ

（　）～＝［（ｇｃ￣２，５２ｇａｌ，ｒｌ　（　）］－１　岛　

＝　

，　

（　）］－１　

ａｅｔ　＝　‘　，　８，　

因此Ｅ　有两个极点　：　１，　２，于是Ｕ和Ｕ　上的亚纯标架的奇异点落在　＝　１和　＝　２　

处．同前面对１一孤子情形的讨论，我们可以找到当ｆｌ在Ｒ　，　内点　＝　＝ｔ＝０的某个　

邻域内全纯时的矩阵Ｋ１，以及当ｆ｛－　在此邻域内全纯时的矩阵　，使得ＫＩＥ１和　Ｅ１当　

Ａ∈Ａ卢　＝｛　：ｌ　一　１　Ｊ　ｇ且　≤１）时全纯且可逆，其中ｄ＝『　１一　Ｊ，则　

Ｋ　＝

（‘　一　一　ｌ厂１一（　－０　１）一　），　ｉ＝（　一　）一１一（　一　’一　）．　ｃ４．９　

由ｇ　，亓。在（≠　２，　２处全纯且可逆，知岛在Ａ≠　，　处全纯且可逆，从而当　∈Ａ卢　

时也是全纯且可逆的．于是Ｋ１　＝Ｋ１Ｅ１岛和　ｉ　＝　ｉＥ１岛当　∈Ａ卢　时全纯且可　

逆．　

与有限能量的１．ｕｎｉｔｏｎ的情形类似，若　为Ｃ　Ｕ｛。。）上的有理函数，我们可以定义四　

个开集来覆盖紧空间　，即　

：　１，　Ｊ，ｊｌ　１，　

：　１，　ｌ　ｌ　１，　

：　１，　１　ｆ　１，　

：　１，　Ｉ　Ｉ　１．　

现在我们来研究投影线　：　的某个邻域上丛的行为．该邻域可由两个开集　＝　

Ｕｌ　ｎ　Ａ卢　和　＝　ｎ　Ａ　覆盖，且确定丛Ｅ的　ｎ　上的迁移矩阵为　

ｆ　ｉ＝（一　ｆｉ一－１　．　）．　ｃ４Ｊ。　

因此　＝　１为一条（ｄｅｇ，１，一ｄｅｇ＾）型的跳跃线．　

类似地，由ＥＡ＝Ｅ２窗１，我们可以得到两个矩阵Ｋｓ和Ｋ　，使得　和　当　

∈Ａｐ。＝｛　：『　一　Ｊ　；且　１）时全纯且可逆，即　

：

（　一　一　，２一（　＿０　）一　），　＝（　入一　一１一（　一　一　），ｃ４．　

则　

ｉ　＝

（一　一１　）　（４．１２）　

１０３０　数学物理学报　ｖＯ１．３ｌＡ　

从而　＝　２是一条（ｄｅｇ　ｆ２，一ｄｅｇｆ２）型的跳跃线．同理，　：　和　＝露　也分别是　

（ｄｅｇｆｌ，一ｄｅｇｆ１）型和（ｄｅｇｆ２，一ｄｅｇｆ２）型的跳跃线．　

综合以上两方面的讨论，我们得到广义解为　２的Ｗａｒｄ　２一孤子对应的丛限制在线　

＝　【１上为　

：Ａ。　

ｆ　Ｈｄ。ｇｆ　０　Ｈ—ｄ。ｇ，　，　若　ｏ＝　１或　０＝　，　

｛Ｈｄｅｇ　０　Ｈ　。ｇ，２，　若　ｏ＝　或　ｏ＝　，　

Ｉ　Ｈ。①Ｈ０，　其它情形．　

（４．１３）　

此表达式使我们很自然地推想到广义解具有ｋ个单极点的Ｗａｒｄ　ｋ一孤子所对应的丛，　

共有２尼条具有确定型的跳跃线．下面我们将对　作归纳来证明这个推想．　

为简便起见，我们用记号“一”表示Ｗａｒｄ孤子的广义解与该孤子所对应的丛在线　

一　ｏ上的限制之间的对应关系．　

这里我们假设　为到Ｃ　＼ｊＩ：ｌ上的投影，其中ｆ　５为Ｃ　ｕ｛∞）上的有理函数，　０　∈　

３　

／１、　

７　

Ｃ＋，∥，＝　，Ｊ＝１，２，…，且当Ｊ≠ｌ时ｎｊ≠　ｚ，则由前面的讨论，有　

１＝ｇ　，，　Ｈ　：　。　Ｈ　，（　。’０　Ｈ－－ｍｊ（　

，　

其中　

’

＝　

￣

Ａｏ　＝３ｊ　

鸵

０＝　

且当ｊ≠ｌ时，有　

２＝ｇ　！，７ｒｆ术ｇ　，，　Ｈ　ＥｌＡ＝　。　Ｈｍ，（　。）＋ｍｚ（）、。）０　Ｈ一（ｍ，（Ａ。’＋ｍ｛（　。　

定理４．１对任意整数ｋ　１，　

Ｈ　Ｅ１）、＝　。　日ｍ１（　。）＋…＋ｍｋ（　。）①Ｈ一（ｍ１（　。）＋‘。＋ｍｋ（　。）），　

其中　ｋ一９　（…　（ｇ　。　ｇ　））．也就是说，广义解具有　个单极点（　１，…，　ｋ）的　

ｗａｒｄ尼一孤子所对应的丛共有２　条跳跃线　＝　一，　＝　，　＝　，…，　＝　，分别　

为（ｄｅｇ　ｆｌ，ｄｅｇ／１），・一，（ｄｅｇ　ｆｋ，一ｄｅｇｆｋ），（ｄｅｇ．厂１，一ｄｅｇｆ１），・－．，（ｄｅｇ　Ａ，一ｄｅｇｆｋ）型．　

证ｋ＝１，２时的情形，我们前面的计算已给出证明．假设定理对　一１时的情形成立．　

由定理２．５，有　

ｆ　　，

７　

＝ｇｎｋ，亓ｋ　一１＝　一ｌ９ａｋ，丌ｋ，　

其中亓　为到ｃ砂　（ｎ　１　）上的投影，　一　＝　，亓　一　９　，　在＜≠　，…，　一　

ｄ　一，画ｋ一１处全纯且可逆．与前面的讨论类似，我们设　

‰，　

（　）～，　一　（　），　

，

开　

（　）一，ＪＥｋ－１：址　（　ｉ（１）～，　

Ｎｏ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０３１　

显然，　的奇异点落在　＝　，…，　，　，…，　处．由归纳假设，我们可以找到依赖　

一

１　

于Ｅｋ一１的亚纯标架　一１和　一】，使得　一１Ｅｋ一１和　一】Ｅｋ一１当　∈Ａｋ一１＝Ｕ｛　：　

ｊ＝ｌ　

『　一　『　且・　１）时全纯且可逆，其中ｄ＝　

，

｛Ｊ／￣ｚ一　１）．由ｇ　，亓　在（≠Ｏ／ｋ，画　

处全纯且可逆，知Ｅ１在入≠　，　处全纯且可逆，从而当　∈Ａｋ一１时全纯且可逆．因此　

１　＝Ｋｋ一１Ｅｋ—ｉＥａ和　一】Ｅａ＝　一】Ｅｋ一１Ｅ１当Ａ∈Ａｋ一１时全纯且可逆，即Ｅ１对　

亚纯标架　一１和　一　当　∈Ａｋ一１时的奇异性没有影响，而该奇异性恰好与对应丛Ｅ的　

跳跃线一致，由归纳假设，　＝　１，…，　＝　一１，　＝　ｆ　，…，　＝　】这２ｋ一２条线为　

跳跃线，分别为（ｄｅｇ　ｆｌ，一ｄｅｇ　ｆ１），…，（ｄｅｇ　ｆｋ一１，一ｄｅｇ　ｆｋ一１），（ｄｅｇ　ｆｌ，一ｄｅｇ　ｆ１），…，（ｄｅｇ　ｆｋ一１，　

与１．孤子的情形类似，我们可以找到当　在　。，　内点Ｚ＝２＝　＝０的某个邻　

域内全纯时的矩阵Ｋ１，以及　在该邻域内全纯时的矩阵Ｋｉ，使得ＫＩＥ１和　ｉＥ　当　

∈Ａ　＝｛　：Ｉ　一　Ｉ　ｇ且　１）时全纯且可逆，即　

＝

（‘　一　一　＾一（　＿０　）一　），　ｉ＝（　一　～１一（　一　一　）．ｃ４．　５，　

由　一１在ｅ≠ＯＬ１，…，ＯＬｋ一１，ａ１，…，画　一１处全纯且可逆，知　一１在　≠　ｌ，…，　一ｌ，　ｆ　，．　

ｋ＿。

１

处全纯且可逆，从而当　∈Ａ　时全纯且可逆．因此Ｋ１Ｅ￣，＝Ｋ１Ｅ１鼠一１和　ｉ　

ｉ　１　一ｌ当Ａ∈Ａ口　时全纯且可逆．　

现在我们来研究投影线　＝　的某个邻域上丛的行为．该邻域可由两个开集　

ｎ　Ａ　和　＝　ｎ　Ａ　覆盖，且确定丛Ｅ的　ｎ　上的迁移矩阵为　

）　（４．１６）　

所以　＝　为一条（ｄｅｇｆ￣，一ｄｅｇ＾）型的跳跃线．同理，　＝　也是一条（ｄｅｇ＾，一ｄｅｇｆ￣）　

型的跳跃线．因此　

４－－－．－－＋Ｅ｝　＝）、。　Ｈｍ１（　。）＋…＋ｍ惫（　。）０　Ｈ一（ｍ１（Ａ。）＋…＋ｍｋ（Ａ。））　

对任意整数后　１都成立，定理得证．　

５　具有高阶极点数据的Ｗａｒｄ孤子对应的丛　

本节我们将给出几个极点数据为（ｉ，２）的Ｗａｒｄ　２一孤子对应的丛的例子．在（＝ｉ处具　

有一个二阶极点的广义２一孤子的表达式为　

２　ｇｉ，卉２Ｉｇｉ，亓１　（５．１）　

１０３２　数学物理学报　ｖＯ１．３１Ａ　

其中开　为到ｃ　＝ｃ（　）上的投影，亓ｚ为到ｃ　上的投影，西ｚ＝（　）＋２ｉ亓　（曼）　

ｃ　＝　ａ　＋ｎ　，。。，。　为两个任意的有理函数．为计算方便，我们可以将开　看作是到ｃ（１．）　

上的投影，这里．厂＝　．则　

（　：　

因此　

（　Ｉ－　）（Ａ　ｌｆｌ２ｗ＋１（川ｌ－　）　（５

．

２）　

沿着线　＝０和　＝。。是奇异的，这两条线也是与　相伴的Ｗａｒｄ　２一孤子对应　

的丛仅有的两条跳跃线．　

与仅具有单极点数据的Ｗａｒｄ孤子的情形类似，为了得出线　＝０的跳跃型，只需要　

找出对应丛的亚纯标架，即在某个开集　上的矩阵　和开集　上的矩阵　，使得　

和　当　１时全纯且可逆，而集合｛　：　１｝能够被　和　覆盖．由于广义解　

的表达式由００和ａ１这两个任意的有理函数确定，而这两个函数又互相不依赖于对方，　

情况就变得非常复杂．这里我们只考虑几个给定条件的情形．一般的具有极点数据（　，２）的　

Ｗａｒｄ　２一孤子的情形放到以后的工作中去．　

由于丛的跳跃型不依赖于时间Ｉ５］ｊ为计算简便，我们可以假设ｔ＝０．对ａ０和ａｌ给定　

的第一类条件为　

ｉ）当０ｏ在　。，　内点　＝　＝ｔ＝０的某个邻域内全纯时，０１和ａｏ　ａ｝也全纯；当ｎ　

在该邻域内全纯时，ａｏ　ａｌ也全纯．　

在这类条件下，可以由待定系数法得到ａｏ在上述邻域内全纯时的矩阵　和０　全纯　

时的矩阵　如下　

１　

＝　

。　＋４。　。　入　。

），　＝（　一０。～　一　。　＋－２１ｉＡ一　。　。　），ｃ５．４，　

则有　

Ｋ　Ｋ　

２ｉＡａ￣＋４Ａ。０　ａ；　

８ｉＡａｏ。ａ｛　

一

对ｎｏ和ａ　给定的第二类条件为　

ｉｉ）当ｎｏ在　，　内点　＝乏＝ｔ：０的某个邻域内全纯时，　ｌ也全纯；当ｎ　在该邻　

域内全纯时，。　０１，ａｏ。ａ；也全纯．　

在这类条件下，同样可以由待定系数法得到ｎ０在上述邻域内全纯时的矩阵Ｋ和。　＿　

全纯时的矩阵　如下　

＝

Ａ－２ａｏ　２ｉ　。　

），　ｆ　＝０　～　一　。　＋２ｉ　－一　１。　。　＋４　。。　），ｃ５．６，　

ＮＯ．４　

则有　

Ｋ＇Ｋ－１＝

朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０３３　

（＼　一８ａｉｏ　－口　２。ｉ。０Ａ｝ａ　ｌ一　＋－　＋ａｏ　２　。ｉＡａｏ　＋。Ａ口２１＋　。４Ａ　ａｏ。。０｝）／　．　（５　）　

１，『ａ０Ｉ　１，，Ｖ　＝｛　：　

Ｈｄｅｇａｏ（￣日一ｄｅｇ　

，　

因此，在条件ｉ）或条件ｉｉ）下，我们都可以取Ｖ＝｛　：　

１，｛ａ０Ｉ　１），则对应的丛限制在线　＝Ａｏ（Ｉ　０Ｉ　１）上为　

Ｅ　。　

若　。　０，　

若０＜ｌ　０『　１．　

（５．８１　

、　

所以　＝０是一条（ｄｅｇ　ａｏ，一ｄｅｇ　ａｏ）型的跳跃线．同理，　：ｏｏ也是一条（ｄｅｇ　ａｏ，一ｄｅｇａ０）　

型的跳跃线．　

例５．１广义解为　２＝ｇｉ，￣２ｇｉ，卉　的２一孤子具有直角散射【ｌ３］，其中ａｏ（　）＝　，ａｌ（　）＝ｚ。．　

显然，ａｏ和ａｌ满足条件ｉ），所以　

１　

＝　

一　＋４　。　

），　＝（　一　一。　－一　１＋２　一　）ｃ５．９　

ｃ５．　。，　

（５．１１）　

为亚纯标架，且确定丛Ｅ的Ｕｎ　Ｕ　上的迁移矩阵为　

ｆ一１＝

（＼　一　一２－ｉ　８ｚｉ　４Ａｚ　Ａ２ｚ３一　　＋一＿　Ａ＋２　／２ｉＡ）　．　

ＨＩ￣Ｈ

从而该２　孤子对应的丛Ｅ限制在线　＝　ｏ上为　

￣

－

Ａｏ

＝　

０，　

１．　

。

，　

若

。

＜

所以　＝０为一条（１，一１）型的跳跃线．同理，　

ａｌ（ｚ）＝　。．显然ａｏ和ａｌ满足条件ｉｉ），因此　

＝ｏＯ也是一条（１，一１）型的跳跃线．　

例５．２广义解为妒２＝ｇｉ，开。ｇｉ，亓　的２一孤子也具有直角散射［７】１其中ａｏ　ｚ）：　，　

＝

Ｉ

Ａ－－２Ｚ２

二２　一　。　！　），　＝０　一　一　一　＋－２１　一　一　＋４）ｃ５．　２，　

ｇｔＫ－１　ｚ

为亚纯标架，且确定丛Ｅ的ＵＮ　Ｕ　上的迁移矩阵为　

（＼　８一ｚ２８＿ｉ　　２。３ｉ入　一＋　。一＋＿ｈｚ　２　２　一＋ｉＡｚ２一１＋４　）　／　．　

。　

．　

ｃ５．　３　

ｃｓ．　

从而该２一孤子对应的丛Ｅ限制在线　＝　０上为　

１０３４　数学物理学报　Ｖｌ０１．３１Ａ　

所以　＝０为一条（２，～２）型的跳跃线．同理，　＝Ｏ０也是一条（２，一２）型的跳跃线．　

Ｉｏａｎｎｉｄｏｕ在文献［７］中还研究了广义解为　２＝ｇｉ，　ｇｉｌ亓１的、ｖａｒｄ孤子的散射性质，其　

中ａｏ为一个任意的有理函数，　ａ　三０，即这类ｗａｒｄ　２一孤子仅由一个有理函数确定．仍由　

待定系数法，我们可以找到当ａ０在　。，　内点ｚ＝　＝ｔ＝０的某个邻域内全纯时的矩阵　，　

以及ａｏ　在该邻域内全纯时的矩阵　，使得ＫＥａ和　当　１时全纯且可逆，即　

＝

（一入　。。　），　＝（　。一Ａ－　１。　）　

…＝　

则有　

从而对应丛Ｅ限制在线　一　０上为　

Ｈｄｅｇａｏ＠

旷

一

，

ｄｅｇ　ｎｎ

’　

所以　＝０是一条（ｄｅｇａｏ，一ｄｅｇａｏ）型的跳跃线．同理，　

型的跳跃线．　

＝（）。也是一条（ｄｅｇａ０，一ｄｅｇｎ０）　

文献［４］中具有极点数据（　，　）的　一孤子的构造表明，其广义解由　个有理函数ｆ』Ｉ】，…　

ａｋ一　确定，因此该孤子对应的丛也由这　个有理函数确定．设　＝　，ｍ＝ｍ（ａｏ，…．ａｋ　）　

为依赖于这　个有理函数的某个整数，则有如下的对应关系　

＝ｇ　开　・・・ｇＱ　井２９ｎ，亓ｌ　Ｈ　Ｅ！Ａ＝Ａ。　日ｍ（　。　①Ｈ一　ｎ【Ａ。　

其中　

／　

ｍ（　：　

，，　

，　

若　０＝　或　ｏ＝　

／ｌ　

５　

１　

５　

ｌ　

５

、Ｊ

　６　

、，，

【０，　

其他情形．

ｌ　

５　

７

、Ｊ

设　，为具有极点数据（　，　）的广义Ｗａｒｄ孤子，岛＝　（￣　ｊ－ｉ，ｍＪ为依赖于确定广　

义解　，　的ｎｊ个有理函数的某个整数，Ｊ＝ｌ，…，ｒ，则由类似于定理４．１的证明，我们　

可以得到如下的对应关系　

一Ｅ｝Ａ：　。全兰　Ｈ　１（入。）＋　＋　（入。）④Ｈ一（ｍ　（ｘｏ）＋　＋丌　（　。））　

其中　（…　（弧。，　九　，　））为具有一般极点数据（　，…，　，ｎ　一．　）的广　

义Ｗａｒｄ孤子，且　

若Ａ０＝伤或Ａ　霄　

其他情形，　

致谢本文是作者访问北京大学期间所做的工作．作者非常感谢北京大学戴波副教授和　

导师扬州大学王宏玉教授的悉心指导，并感谢他们为本文提供Ｔ＃Ｅ多建设性意见．　

Ｎｏ．４　朱秀娟：全纯向量丛与Ｗａｒｄ孤子　１０３５　

参考文献　

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３０：１－５０　

【ｌ０】ｗａｒｄ　Ｒ　Ｓ．Ｓｏｌｉｔｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｃｈｉｒａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　２＋１　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ｐｈｙｓ，１９８８，２９：　

３８６　３８９　

ｌ　ｌ１　　１ｗｌａｒｄ　Ｒ　Ｓ．Ｔｗｉｓｔｏｒｓ　ｉｎ　２＋１　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ｐｈｙｓ，１９８９，３０：２２４６—２２５１　

［１２】ｗａｒｄ　Ｒ　Ｓ．Ｃｌｓａｓｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｈｉｒａｌ　ｍｏｄｅｌ，ｕｎｉｔｏｎｓ，ａｎｄ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｖｅｃｔｏｒ　ｂｕｎｄｌｅｓ．Ｃｏｍｍｕｎ　

Ｍａｔｈ　Ｐｈｙｓ，１９９０，１２８：３１９—３３２　

［１３］ｗａｒｄ　Ｒ　Ｓ．Ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　ｏｆ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｉｎ　ａ（２＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｐｈｙｓ　

Ｌｅｔｔ　Ａ，１９９５，２０８：２０３—２０８　

［１４］ｗａｒｄ　Ｒ　Ｓ．Ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　ｔｗｉｓｔｏｒｓ，ｉｎ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｏｘｆ　Ｇｒａｄ　Ｔｅｘｔｓ　Ｍａｔｈ，１９９９，４：１２１—１３４　

Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｂｕｎｄｌｅｓ　ａｎｄ　Ｗａｒｄ　Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　

Ｚｈｕ　Ｘｉｕｊｕａｎ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００１３）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｖｅｃｔｏｒ　ｂｕｎｄｌｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒａｔｉｏｎａｌ　ｒｕｌｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　

ｉｆｎｉｔｅ—ａｃｔｉｏｎ　ｉ－ｕｎｉｔｏｎ　ｗａｓ　ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　Ｗａｒｄ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ａ　ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｒａｍｉｎｇ

，　

ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ａ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈａｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　１－ｕｎｉｔｏｎ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ

．

Ｉｎ　

ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ　Ｗａｒｄ’Ｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｇｉｖｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ　ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｂｕｎｄｌｅ　

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ａｌｌ　Ｗａｒｄ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｗｈｏｓｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｏｎｌｙ　ｓｉｍｐｌｅ　ｐｏｌｅｓ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　

Ｗａｒｄ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｗｈｏｓｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｐｏｌｅ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｗａｒｄ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ；Ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；Ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｒａｍｉｎｇ；Ｒａｔｉｏｎａｌ　ｒｕｌｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ；　

Ｐｏｌｅ　ｄａｔａ　

ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：３２Ｌ０５；３２Ｌ２５　

本文标签： 孤子广义具有对应空间