Marlin中的Polynomial commitment scheme

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1. 引言

前序博客有：

• Marlin:Preprocessing zkSNARKs with Universal and Updatable SRS学习笔记

相关代码实现有：

• https://github/arkworks-rs/poly-commit，实现了以下几种Polynomial commitment scheme：
  • 1）kzg10：Kate等人2010年论文《Constant-Size Commitments to Polynomials and Their Applications》
  • 2）ipa_pc：基于Bünz等人2020年论文《Proof-Carrying Data from Accumulation Schemes》的Inner-product-argument PC。基于DLP假设。
  • 3）marlin/marlin_pc：为Chiesa等人2019年论文《Marlin:Preprocessing zkSNARKs with Universal and Updatable SRS》中基于kzg10的变种。
  • 4）marlin/marlin_pst13_pc：为Chiesa等人2019年论文《Marlin:Preprocessing zkSNARKs with Universal and Updatable SRS》和 Papamanthou等人2013年论文《Signatures of Correct Computation》中的Papamanthou-Shi-Tamassia multivariate PC变种，具有batching和hiding属性。
  • 5）sonic_pc：为Gabizon 2019年论文《AuroraLight: Improved prover efficiency and SRS size in a Sonic-like system》 和 Maller等人2019年论文《Sonic: Zero-Knowledge SNARKs from Linear-Size Universal and Updatable Structured Reference Strings》中基于kzg10的变种。其中degree enforcement和batching借鉴了Sonic论文，借鉴了AuroraLight来避免negative G1 powers，hiding属性借鉴了Marlin论文。
  • 6）multilinear_pc：为Yupeng Zhang等人2018年论文《vRAM: Faster Verifiable RAM With Program-Independent Preprocessing》 和 Tiancheng Xie等人2019年论文《Libra: Succinct Zero-Knowledge Proofs with Optimal Prover Computation》中的multilinear polynomial commitment scheme，可将 n n n-variate multilinear polynomial转换为 n n n quotient UV polynomial。基于DLP假设。
• https://github/AleoHQ/snarkVM/tree/testnet2/polycommit/src/marlin_pc【Aleo 2020/12/31拷贝了arkworks-rs的代码，并在此基础上进行了相应的优化和扩展。Aleo中的polynomial commitment不是用的marlin_pc，实际用的是sonic_pc。】

2. arkworks实现中marlin/marlin_pc与sonic_pc对比

[arkworks实现]https://github/arkworks-rs/poly-commit()中marlin/marlin_pc与sonic_pc，二者都是基于KZG10的变种。主要不同在于：

• 1）High level：
  二者处理degree bounds的方式不同：
  • marlin/marlin_pc：使用shift powers only in g1，需要2个commitments来enforce degree bounds。
  • sonic_pc：使用shift powers in G1 and G2，仅需一个commitment来enforce degree bounds。
• 2）Setup阶段：
  • marlin/marlin_pc：shift powers in Marlin are in G1, and are shared with the “non-shift” powers。
  • sonic_pc：需要额外计算some G2 elements for shift powers： ( 1 / β ) i H (1/{\beta})^i H (1/β)iH。这将导致更长的verifying key，因为shift powers in sonic_pc are in G2。
• 3）Commit阶段：
  • 当没有degree bound时，二者完全一样。
  • 当有degree bound时，marlin/marlin_pc要更昂贵一点，因为其需要其需要额外的commitment来commit to the shifted polynomial。
• 4）Open阶段：
  • 当没有degree bound时，二者完全一样。
  • 当有degree bound时，marlin/marlin_pc要更昂贵一点，因为其需要更多的scalar field computations。
• 5）Check阶段：
  • marlin/marlin_pc：由于Marlin仅建档调整了shifted polynomial的commitment，因此开销很小。marlin/marlin_pc中会check a pairing equation with two pairing operations。
  • sonic_pc：要更昂贵，因其需要check check a pairing equation with three pairing operations。当没有degree bound时，可reduce为a pairing equation with two pairing operations。

本文标签： PolynomialMarlinSchemecommitment