数制转换的新型算法

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2024年6月30日发(作者：)

第２８卷第６期　

２０１２年６月　

科技通报　

ＢＵＬＬＥＴＩＮ　ＯＦ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　

Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．６　

Ｊｕｎｅ　２０１２　

数制转换的新型算法　

魏益堂　

（成阳职业技术学院，陕西咸阳７１２０００）　

摘要：按传统方法进行二进制数向十进制数转换计算，麻烦且容易出错。本文总结出了二进制数向十　

进制数转换时，整数部分的“８４２１连加法”和小数部分的“０．５依次折半求和法”，使转换时的脑力劳动强　

度大为降低，且效率高又不容易出错。　

关键词：二进制数转换；“８４２１连加法”；“０．５依次折半求和法”　

中图分类号：ＴＰ３０１．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—７１　１９（２０１２）０６—０１７７—０２　

Ｎｅｗ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　

ＷＥＩ　Ｙｉｔａｎｇ　

（Ｘｉａｎｙａｎｇ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｘｉａｎｙａｎｇ　７１２０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｈｅｎ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｒｅｓｈｍｅｎ，ｉｔ　ｉｓ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｔｏ　ｅｌａｂｏｒａｔｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｋｎｏｗｌ—　

ｅｄｇｅ　ｏｆ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｂｉｎａｒｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｔｏ　ｄｅｃｉｍａｌ　ｎｕｍｂｅｒ．Ｉｆ　ｗｅ￣ｌｌｏｗ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｗａｙ　ｏｆ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　

ｓｔｅｐ　ｂｙ　ｓｔｅｐ，ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ａｎｄ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｗｒｏｎｇ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｈｅｎ　Ｉ　ｔｅａｃｈ　ｏｎ　ｔｈｉｓ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，Ｉ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ａ　ｎｅｗ　ａｌｇ０一　

ｒｉｔｈｍ：“８４２１　ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ　ａｄｄｉｎｇ’’ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｐａｒｔ　ａｎｄ“０．５　ｓｕｍ　ｏｆ　ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ　ｈａｌｖｉｎｇ”ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｐａｒｔ．Ｔｈｉｓ　ａｌ—　

ｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｇｒｅａｔｌｙ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｗｏｒｋｌｏａｄ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ；ｉｔ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｃａｎ　ｅａｓｉｌｙ　ａｖｏｉｄ　ｔｈｅ　ｆａｕｌｔｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｂｉｎａｒｙ　ｎｕｍｂｅｒｓ；８４２１　ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ　ａｄｄｉｎｇ；０．５　ｓｕｍ　ｏｆ　ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ　ｈａｌｖｉｎｇ　

０　引言　

二进制数，形式虽简单（只有０、ｌ两个元素），但它　

却是整个计算机科学的基础。没有二进制数的出现，就　

不会有电子计算机这个２０世纪最伟大的科学技术发　

明。　

１　二进制整数部分的十进制转换　

１．１不含“０”的特殊二进制整数部分的十进制转　

换　

本文以二进制数１１１１１１１１Ｂ为例，传统的按权展开　

法是：１１ｌ１１１１１Ｂ＝Ｉ×２　＋１×２６＋１×２　＋１×２４＋ｌ×２３＋１×　

２２＋１×２　＋１×２０＿１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４＋２＋１＝２５５　

通常人们习惯使用十进制数，而计算机内部采用　

二进制数来处理数值数据。因此，进行由十进制到二进　

制和由二进制到十进制的转换是多数应用环境的实际　

情况，这就迫切需要一种快速编码的方法。而一般方法　

“按权展开相加”没有什么技巧，费功费时。特别是在进　

行二进制小数部分的转换时，更是生搬硬套。计算不但　

复杂，而且易出错。本文在教学中摸索总结出了一套简　

从以上的按权展开式中，很容易看出展开的多项　

存在一种规律：从低位到高位是一个等比数列，其公比　

是２。所以没有必要对每一项都要生硬笨拙地用若干个　

２连乘，而是按照上述的规律可直接写出每一项的值。　

从１１１１１１１１Ｂ的低位到高位，也就是从右边到左边，每　

个１所代表的十进制数值依次是Ｉ、２，４、８、１６、３２、６４、　

１２８。所以，可以按照这个数列直接写二进制数中每个１　

所代表的十进制数值，然后再进行求和即可完成转换　

单方便的计算方法，且不容易出错。具体的计算方法　

是：把一个二进制数仍分成整数和小数两部分转换。　

收稿日期：２０１２—０３—３０　

基金项目：成阳职业技术学院基金项目（２０１０ＫＹＢＩＭ）。　

作者简介：魏益堂（１９６０一），男，陕西户县人，讲师，研究方向：计算机学科教学研究。　

１７８　科技　通报　

第２８卷　

工作。具体作法可以用简单的数字标注法束完成。以上　

述二进制数１１１１ｌ１ｌｌＢ为例，其数字标注法如图ｌ所示，　

然后再把所标注的十进制数相加，就是该二进制数所　

转换的十进制数。即：１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＝２５５。　

ｌ２８　

１　１　

６４　

３２　

１　

８　

ｌ　ｌ　

１６　

１　

４　

２　

ｌ　１　Ｂ　

ｌ　

式或口算进行相加，如式（１）所示：　

３　２　７　６　８　

１　０　２　４　

５　ｌ　２　

２　５　６　

６　４　

３　２　

１　６　

图１　８４２１算法　

Ｆｉｇ．１　８４２１ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ　ａｄｄｉｎｇ　

８　

４　

本文将这种方法叫“８４２１”法。即对于４位二进制数　

的整数部分来说，从左至右（从高位到低位），按照它们　

的等比数列的规律，所代表的十进制数依次是８、４、２、　

１，只需要把８、４、２、１连加起来，就可以得到４位二进制　

数１　１　１　１Ｂ所转换的十进制数值。　

当然二进制数并非都是４位，还有５位、６位及更多　

位数的二进制数，那也不难，只需要按照其等比数列的　

规律依次向上写就行了Ｏ如６位二进制数１１１ｌ１１Ｂ中由　

低向高第５位１的值就是由低向高第４位１的十进制值８　

的二倍即１６，而由低向高第６位１的值就是由低向高第５　

位Ｉ的十进制值ｌ６的二倍即３２。由此可依次写出任意位　

数二进制数的每位１所表示的十进制数值，然后再进行　

相加就可得到二进制数到十进制数的转换。　

．

用“８４２１”法对二进制数到十进制数的转换，方法　

简便且不易出错。对于数位少的二进制数来说，完全可　

以用口算就能完成转换计算，对于十位以上的多数位　

二进制数来说，也只需要列出如图１那样的简单数值标　

注罔，冉列个简单的加法草式，就可快速准确地完成转　

换计算。　

１．２对含“０”的普通二进制整数部分的十进制转　

换　

而对于普通的二进制数即含有０的二进制数来说，　

用“８４２１”法进行转换，其方法和上面相同，只是对于　

“０”的处理不要简单的把它当“０”来看待，而要把它当　

做“１”来看待（这样做的好处就是能按照二进制数转换　

时的等比数列规律顺利ＦＩ算出“０”后边【左边　”的十　

进制数值），然后再按图１的方法标注出它的十进制数　

值，但在最后进行相加时不要把它加进去。例如，转换　

二字节二进制数１００００１１１１１１１１１１１Ｂ为十进制数，用　

“８４２１”转换步骤如下：首先对１００００１１１１１１１１ｌ１１ＢＹＯ出　

二进制数向十进制数的转换标注图，如图２所示：　

３２７６８　５１２　１２８　３２　８　２　

、、

———

／、、——／　

１　Ｏ　Ｏ　０　０　１　１　１　１　１　１　１　１　１　１　１　Ｂ　

１０２４　２５６　６４　１６　４　１　

、～

／、、

—————　

／　

图２十进制数的转换标记图　

Ｆｉｇ．２　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｂｉｎａｒｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｔｏ　ｄｅｃｉｍａｌ　ｎｕｍｂｅｒ　

本文把“０”位置的十进制数值圈起来，以防误加。　

然后把所有标出的没有加罔的十进制数值列个简单草　

２　

＋　１　

３　４　８　１　５　

最后相加的结果３４８１５就是二字节二进制数　

１００００ｌ１１１１１１１１１１Ｂ转换的十进制数。　

２　二进制小数部分的十进制转换　

对于二进制小数部分的转换，基本方法仍然是按　

权展开相加的办法。　

２．１对不含“０”的特殊二进制小数的十进制转换　

女ⅡＯ．１１１１Ｂ＝Ｉ　ｘ　２－１＋１　ｘ　２－２＋ｌ　ｘ　２　＋１　

×２　＝０．５＋０．２５＋０．１　２５＋０．０６２５＝０．９３７５　

对于上面的加法，正如前述，有不少人都是采用的　

传统计算方法，如计算１　ｘ　２－４，先要算出２４的值是１６，　

然后再列草式计算ｌ除以ｌ６得０．０６２５才是１　ｘ　２－４的值，　

而要对小数部分的每一项都要用这种办法来求，最后　

再把所计算出来的每项的值相加，才能得出整个小数　

部分的转换值。这种方法虽能完成计算，但很麻烦，也　

容易出错。那简单易行的方法是什么呢？本文仍然从　

０．１　１　１　１Ｂ的转换展开式（０．５＋０．２５＋０．１２５＋０．０６２５）入手分　

析，发现二进制小数０．１１１１Ｂ／］￣数点后从左至右的第一　

个１的转换值是１的折半０．５，第二个１的转换值是０．５的　

折半０．２５，第三个１的转换值是前　个１即第二个１转换　

值０．２５的折半０．１２５，第四个１的转换仍是前一个１即第　

三个１转换值０．１２５的折半０．０６２５。这仍是一种等比数列　

规律。所以，本文的简便方法就是，按照其转换过程中　

的等比数列规律，可依次写出它们每位小数的转换值，　

而不必要按照传统的指数除法来计算出它们的每一　

项。具体方法就是对二进制小数部分来说，每一个二进　

制１的转换值，就是它前一个高位１十进制值的折半。本　

文把这种方法称作“二进制小数从高到低０．５依次折半　

求和法”。　

为了清晰地计算，在具体计算时，本文仍然采用前　

面所用的方法，列　转换标注图。如要将０．１１ｌｌｌ１Ｂ转　

（下转第１８１页）　

第６期　廖作斌．一种利用Ｃ＋＋实现大数相乘的算法分析与设计　１　

重构函数，ａ指向欲重构的数组，ｎｕｍ１＿ｌｅｎ为被乘数的　

Ｌｉｓｔ　３：Ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｒｅｖｅｒｓｉｎｇ　ａｒｒａｙ　

位数，ｏｆｆｓｅｔ为第几次重构或第几次相乘运算。清单２给　

（４）ｖｏｉｄ　ｏｕｔｐｕｔ（ｉｎｔ＊ａ，ｉｎｔ　ｌｅｎ）：结果输出函数，１ｅｎ的　

出该函数的主要程序代码：　值为两数计算结果的有效位数。　

ｖｏｉｄ　ｒｅｂｕｉｌｄ（ｉｎｔ　ａ，ｉｎｔ　ｎｕｍｌ＿ｌｅｎ，　

本程序的输入输出情况如图５所示。　

ｉｎｔ　ｏｆｆｓｅｔ）｛　

ｉｎｔ　ｉ＝ｏｆｆｓｅｔ；ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｎｕｍｌ＿ｌｅｎ＋ｏｆｆｓｅｔ）　

３　结束语　

｛ｉｆ（ａ［ｉ］＞＝１０）｛ａ【ｉ＋１ｌ】＋＝ａ［ｉ】／１０；ａ［ｉ］％＝１０；）　

ｉ＋＋；｝｝　

本算法在进行大数相乘的处理时，具有以下几个　

清单２数组重构函数　

优点：利用字符串或者字符数组避开基本数据类型所　

Ｌｉｓｔ　２：Ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ａｒｒａｙ　

能表达数据位数有限的问题；利用一个整型数组保存　

（３）ｉｎｔ　ｒｅｖｅｒｓｅ（ｉｎｔ＊ａ，ｉｎｔ　ｓｉｚｅ）：数组翻转函数，参数　

中间结果，并在每次相乘计算完成后进行数组重构实　

意义同上，返回值为两数计算结果的有效位数。清单３　

现进位；最终结果在数组中反序存放，输出结果前先进　

给出该函数的主要程序代码：　

行数组元素翻转，这样就可以避免处理最终结果时应　

ｉｎｔ　ｒｅｖｅｒｓｅ（ｉｎｔ　ａ，ｉｎｔ　ｓｉｚｅ）ｆ　

该在低位输出多少个０的问题；易类推出大数（包括含　

ｉｎｔ　ｉ＝ｓｉｚｅ－ｌ，ｊ，ｔｅｍｐ，ｌｅｎ；ｗｈｉｌｅ（ｉ＞＝０）｛ｉｆ（ａ［ｉ】！＝０）｛ｊ＝ｉ；　

小数位的大数）、超精确小数（即含多位小数位、精确度　

ｂｒｅａｋ；】　ｉ－－；｝　

非常高的数据）的乘法运算。　

ｌｅｎ＝ｊ＋１；ｉ＿Ｏ；ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｊ）｛　

ｔｅｍｐ＝ａ［ｉ］；ａ［ｉｌ＝ａ［ｊ］；【ｊ】＝ｔｅｍｐ；　

参考文献：　

ｉ＋＋；ｊ一一；｝ｒｅｔｕｒｎ　ｌｅｎ；ｊ　

【１］　张海藩，牟永敏．面向对象程序设计（第二版）【Ｍ】．北京：　

清单３数组翻转函数　

清华大学出版社，２００７：５９．　

（上接第１７８页）　

换成十进制数，先将二进制数０．１１１１１１Ｂ写开，再按上　

法，主要通过整数部分的“８４２１连加法”和小数部分的　

述的“０．５依次折半法”将每位二进制数所转换成的十　

“０

．

５依次折半求和法”的方法，变传统转换法的复杂、　

进制数写在该二进制数的上面或下面，然后再把十进　易出错且大量笔算，为简单、方便、不易出错且大量口　

制数值相加：０．５＋０．２５十０．１２５＋０．０６２５＋０．０３１２５＋　

算的转换法。该算法减少了人们的脑力劳动强度，提高　

０．０１５６２５＝０．９８４３７５，所得的０．９８４３７５就是二进制数　

了工作效率。　

０．１１１１１１Ｂ所转换成的十进制数。　

２．２对含“０”的普通二进制小数的十进制转换　

参考文献：　

对于普通的二进制小数的十进制转换问题，同样　

［１】　蓝苗苗二进制数与十、八、十六进制数之间的巧妙互换　

采用“０．５依次折半求和法”，只不过不要把二进制数中　

ｆＪ］．长春理工大学学报：高教版，２００７，６（２）：１３２—１　３４．　

的某位“０”随便当“０”看待，而是先把“０”当“１”来看待　

【２】　逮鸿友．关于数制转换中转换位数的确定问题【Ｊ１＿牡丹　

进行正常转换，这样做的目的是便于“０”后面的“１”能　

江师范学院学报：自然科学版，２０００，４：２０－２１．　

够简单轻松（实现用口算）地实施“依次折半法”进行转　

［３】　郑春梅．计算机中十进制数转换二进制数的方法比较　

换。例如把二进制小数０．１　１００１００１Ｂ转换成十进制小　

『Ｊ１．中国科教创新导刊，２００７，１４：５８．　

数，同前面一样，列出转换标注图。本文把每位二进制　

『４］　吴哲．实用的十进制数到十六进制数的ＦＯＲＴＲＡＮ转换　

小数按“依次折半法”转换成的十进制小数写在其上面　

程序『Ｊ】．计算机应用研究，１９８９，２：４７—４８．　

或下面，在此过程中要注意：把二进制数中的“０”要按　

【５］　吴菊凤，陈雪梨．数制转换过程中小数的“有限一无限”　

“１”来对待，但其所转换的十进制数要加圈，以提醒在　

现象［Ｊ］．绍兴文理学院学报，２０１ｌ，３（３１）：１６—１９．　

［６］　蒋福德．谈“权值法”攻克数制转换中的难点及其推广　

最后求和时，加圈的十进制数不参与求和。　

［Ｊ］．教育与职业，２００６，１（２）：１０４—１０６．　

’

［７］　张磊，殷世民，程家兴．计算机中数制转换方法ｆＪ１＿计算　

３　结束语　

机技术与发展，２００６，１　１（１６１：１０６—１０８．　

【８】　陈清华，郑涛，陈家伟．数制转换的本质和方法ｆＪ１．江西　

本文提出了一种新型的二进制数转换十进制数算　

师范大学学报：自然科学版，２００６，３（３０）：１２３—１２５．　

本文标签： 转换二进制小数数组方法