单星、双星、三星运动的统一周期公式

玩“坏”高考14：单星、双星、三星运动的统一周期公式

编者按：山重水复疑无路，柳暗花明又一村，另辟蹊径，巧解秒解高考题，既快又对且

轻松。但是用

“

特殊

”

方法玩

“

坏

”

高考题目，不仅要知其然，更要知其所以然。

今天，我们主要讨论天体运动的周期公式，

单星：

中心天体质量为

M

，环绕天体质量为

m

，环绕天体运动半径为

r

，则根据万有引力提供

Mm4



2

4



2

r

3

向心力可知，

G

2

=m

2

r

，解得，

T=

（单星周期公式）

rT

GM

双星：

质量分别为

m

1

和

m

2

的双星在相互万有引力作用下，绕着其连线上的某点

O

做稳定的匀

速圆周运动，其中

m

1

的半径为

r

1

，

m

2

的半径为

r

2

，双星之间的距离为

r=r

1

+r

2

，如下图，

m

1

m

2

4



2

对

m

1

分析，得到，

G

2

=m

1

2

r

1

(1)

rT

2

mm

4



12

对

m

2

分析，得到，

G

2

=m

2

2

r

2

(2)

rT

m

1

r

1

O

r

2

m

2

注意

(1)(2)

式中，周期

T

是相同的。

比较

(1)(2)

式，左边相等，所以右边也相等，得到，

m

1

r

1

=m

2

r

2

(

一个有用的结论

)

Gm

2

4



2

由

(1)

式，得到，

2

=

2

r

1

(3)

rT

Gm

1

4



2

由

(2)

式，得到，

2

=

2

r

2

(4)

rT

Gm

2

Gm

1

4



2

4



2

4



2

4



2

对

(3)(4)

左右分别相加，得到，

2

+

2

=

2

r

1

+

2

r

2

=

2

(r

1

+r

2

)=

2

r

rrTTTT

4



2

r

3

所以，得到，

T=

（双星周期公式）。

G(m

1

+m

2

)

4



2

r

3

4



2

r

3

对比一下单星周期公式

T=

和双星周期公式

T=

，

G(m

1

+m

2

)

GM

小伙伴们自己体会其中的相似吧，

r

依然是星体之间的距离，质量换成双星总质量。

我们进一步说明双星周期公式，

当

m

1

m

2

时，根据

m

1

r

1

=m

2

r

2

可知，

r

1

0

，即

r=r

1

+r

2

r

2

，同时可以认为

m

1

+m

2

m

1

，

4



2

r

2

3

4



2

r

3



所以，

T=

，相当于把

m

1

当做中心天体，

m

2

绕着

m

1

旋转的单星运

G(m

1

+m

2

)Gm

1

动模型了。如下，

三星：

简单来讲，我们似乎只能处理三颗质量相等的天体在相互万有引力作用下的运动，三星

位置关系将保持正三角形形状分别作匀速圆周运动。

但是事实上，我们可以证明，当三颗星体质量分别为

m

1

，

m

2

，

m

3

且质量不相等时，三

星的位置关系依然保持正三角形分布，且分别作匀速圆周运动，如下，

这里的证明有点超纲，但也没有超纲太多，所谓的超纲，有时候仅仅只是因为高考不考，

而并不是在知识点理解上有特别大的难度，考试么，总是有范围的，但是如果高考题目

m

2

a

m

3

a

a

m

1

m

1

r

2

m

2

中，把三星成正三角形分布当做已知条件告诉你了，所谓的“信息题”，那就未必属于

超纲了，只是不需要证明为何依然成正三角形分布而已，

事实上，证明也很简单，我在文章“袁野：高中数学物理方法

4

：向量，运用向量的极

简结论证明经典的三体稳态问题

”

中有详细介绍，该文章中也给出了三星运动的角速度，

稍作化解即可得到周期公式。

好了，不管怎么样，根据上面双星模型，我们可以猜测，三星的周期为，

4



2

a

3

T=

，其中

a

为任意两星之间的距离。

G(m

1

+m

2

+m

3

)

然后，我们来看几道经典题目。

例

1

（

2015

年安徽高考真题）：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，

存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的

三个顶点上，绕某一共同的圆心

O

在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图

示为

A

、

B

、

C

三颗星体质量不相同时的一般情况）若

A

星体的质量为

2m

，

B

、

C

两星

体的质量均为

m

，三角形的边长为

a

，万有引力常量

G

已知，求：

（

1

）

A

星体所受合力的大小

F

A

；

（

2

）

B

星体所受合力的大小

F

B

；

（

3

）

C

星体的轨道半径

R

C

；

（

4

）三星体做圆周运动的周期

T

。

看吧，这道题告诉我们了“三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上”，所以不算超

纲了，当然此题本身没有什么难度，

我们自己尝试做做即可，反正答案也很容易搜索到，

4



2

a

3



2

a

3

=

特别是最后一问，答案秒解，为

T=

。

G(2m+m+m)Gm

关于旋转中心，就是三颗星体的质心，我在文章“袁野：重力三要素知多少？”中有过

介绍。

总之，如果你愿意看文章“袁野：高中数学物理方法

4

：向量，运用向量的极简结论证

明经典的三体稳态问题”，那这道题根本就是小儿科了。

例

2

（多选）：

2016

年

2

月

11

日，

LIGO

科学合作组织首次探测到了来自宇宙中双黑

洞合并所产生的引力波，证实了爱因斯坦

100

年前所做的预测。脉冲双星间的距离在

减小已间接证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如下

图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕

O

点做匀速圆周运动．由于双星间的距

离减小，则（

）

A

．两星的运动周期均逐渐减小

B

．两星的运动角速度均逐渐变大

C

．两星的向心加速度均逐渐减小

D

．两星的运动速度均逐渐减小

这道题，我们有必要仔细分析一下，

4



2

r

3

首先我们根据双星周期公式

T=

，因为双星间的距离

r

减小，所以周期减小，

G(m

1

+m

2

)

A

选项正确。

周期减小，角速度



=

2



增大，

B

选项正确。

T

m

1

m

2

=m

1

a

1

，

2

r

对于

C

选项，以其中一星

m

1

为例，根据万有引力提供向心力

G

得到，

a

1

=G

m

2

m

1

a

a=G

2

，所以

1

增大，同理

2

2

也增大，

C

选项错误。

rr

对于

D

选项，感觉有点难度，我们还是先以

m

1

为例，

根据万有引力提供向心力，得到，

v

1

=Gm

2

判断不是特别直观，

r

1

m

2

所以我们要做些化解，根据

m

1

r

1

=m

2

r

2

，得到，

r

=

m

，

21

r

1

m

2

r

1

m

2

==

根据比例性质，得到，

r+rm+m

，即

rm+m

，

211212

m

2

2

1

m

1

2

1

所以，

v

1

=G

，所以速度增大，同理

v

2

=G

增大。

D

选项错误。

m

1

+m

2

rm

1

+m

2

r

r

1

，因为

r

1

和

r=r

1

+r

2

都减小，如果要定量

2

r

故选

AB

。

但是，在高考中，该题也有秒解方法，运用极限法，让

m

1

星了，

根据“越高越慢”，该方法见文章“袁野：玩“坏”高考

6

：越高越慢”，

根据双星间的距离减小，就是变低了，

所以运动变快了，就是环绕线速度变大，角速度变大，加速度变大，周期减小，

故选

AB

。

m

2

，这样双星就变成了单