(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论

（陇东学院 电气工程学院, 甘肃 庆阳 745000）

摘 要：轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系，得出轨道角

动量并不能描写一个可观察量.然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示,在给定表象下,讨论电子自旋算符的表

示及自旋波函数的构造。接着讨论角动量的LS耦合， 其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并

且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦

合

关键词：角动量;算符；对易关系；自旋；角动量耦合

The Disscussion of Angular Momentum and Its

Coupling Question in Quantum Mechemics

(Electrical Engineering College, Longdong University， Qingyang 745000， Gansu， China）

Abstract：First，using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics

is the appropriate operatorthe， it discuss the representation of orbital angular momentum optrator

in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text，at the same time it gets

that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the

communication useing mechanical quantity operator and matrix representation of

wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin

wave funtion in a given it discusse the LS coupling of angular momentum, in

which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular

momentum component,and through introdution the coupling and the non—coupling reprentation

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors,

analyzeing the JJ coupling of angular momentum.

Key words：angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum

coupling； clebsh—gordan cofficient

0 引言

量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献［1，2，3,4，5，6]中都作过比较简

明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希—高登系数计算比较

繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算.

本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下

的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。

接下来讨论自旋角动量的算符表示和波函数的矩阵形式.最后讨论角动量的LS耦合，主要通过比较耦合表象与

非耦合表象的异同,详细分析角动量的JJ耦合.

1 轨道角动量

1.1 轨道角动量算符

ˆ=rˆ⨯pˆ在直角笛卡儿坐标中的表示 1.1.1 轨道角动量算符L

三个分量算符为

⎧ˆ ⎧∂∂⎧

ˆˆL=yp-zp=y-z⎧xzy ⎧

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

i∂z∂y⎧⎧⎧

⎧ ⎧∂∂⎧⎧ˆ

ˆˆ ⎧L=zp-xp=z—xyxy ⎧ （1）

⎧

i⎧∂x∂z⎧⎧⎧⎧Lˆ=xpˆ-ypˆ ⎧∂∂⎧⎧

zyz=i ⎧x∂y-y∂x⎧

⎧平方算符表示为

Lˆ2=Lˆ2x+Lˆ2y+Lˆ2z

=- 2

⎧⎧⎧∂⎧-z∂⎧22

⎧ ⎧y∂z∂y⎧⎧+⎧ ⎧z∂∂x—x∂⎧∂z⎧⎧+⎧2⎧ ⎧x∂∂y-y∂⎧∂x⎧⎧⎧⎧. ⎧

1。1。2 推导轨道角动量在球极坐标中的算符表示

笛卡儿坐标(x,y，z)和球极坐标（r,θ，ϕ）之间的关系为

⎧x=rsinθcosϕ，y=rsinθsinϕ， ⎧

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

z=rcosθ⎧⎧⎧

r2=x2+y2+z2

,cosθ=zy r,tanϕ=x将r2=x2+y2+z2两边对x，y，z分别求偏导数,得

⎧⎧∂rx

⎧

∂x=r=sinθsinϕ ⎧⎧∂r=y

=sinθsinϕ⎧

∂yr ⎧⎧∂rz

⎧∂z=r

=cosθ将cosθ=

z

r

两边分别对x,y，z求偏导数,得 ⎧⎧∂θ⎧

∂x=1z∂rsinθr2∂x=1

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

rcosθcosϕ ⎧⎧∂θ

1z∂r1⎧∂y=sinθr2

∂y=rcosθsinϕ ⎧⎧∂θ1z∂r1cos2⎧∂z=θ

sinθr2

∂z=rsinθ

再将tanϕ=

y

x

两边分别对x，y,z求偏导数，得 (2) （3） （4) （5)

1ysinϕ⎧∂ϕ=-=—⎧∂xsec2ϕx2rsinθ⎧111cosϕ⎧∂ϕ ⎧ （6） ==

⎧∂ysec2ϕxrsinθ⎧⎧∂ϕ

⎧∂z=0

联立（4)，(5），(6)式，得

⎧⎧∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∂⎧∂x=∂x∂r+∂x∂θ+∂x∂ϕ⎧⎧=sinθcosϕ∂+1cosθcos∂1sinϕ∂⎧∂rrϕ∂θ—rsinθ∂ϕ⎧⎧∂∂r

⎧⎧∂y=∂

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

∂y∂r+∂θ∂∂ϕ∂

∂y∂θ+∂y∂ϕ。

⎧=sinθsinϕ∂+1cosθsinϕ∂+1cosϕ∂⎧⎧∂rr∂θrsinθ∂ϕ⎧∂=∂r∂+∂θ∂+∂ϕ∂⎧⎧∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ⎧=c

osθ∂—1sinθ∂⎧⎧∂rr∂θ

1。1.3 轨道角动量算符Lˆ=rˆ⨯pˆ在球极坐标中的表示

三个分量算符是 ⎧⎧Lˆ⎧∂

⎧x=i ⎧sinϕ∂θ+ctgθcosϕ∂⎧

∂ϕ⎧⎧

⎧ ⎧⎧Lˆ=-⎧∂∂⎧⎧yi ⎧cosϕ∂θ-ctgθsinϕ∂ϕ⎧

⎧

⎧⎧ˆ

⎧Lz=—i ∂

⎧∂ϕ

三个分量算符的平方表示分别为 (7)（8）

⎧⎧2∂2∂2∂2⎧22⎧⎧sinϕ∂ϕ2+2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθcosϕ∂ϕ2⎧ˆ2=-

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

2⎧⎧L⎧x⎧⎧⎧∂∂222+ctgθcosϕ—ctgθ+cscθsinϕcosϕ(）

⎧⎧⎧∂θ∂ϕ⎧⎧⎧⎧⎧2∂2∂2∂2⎧22⎧⎧cosϕ∂θ2—2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθsinϕ∂ϕ2⎧⎧ˆ22⎧⎧ (9）

⎧Ly=- ⎧⎧∂∂222⎧+ctgθsinϕ+ctgθ+cscθsinϕcosϕ（)⎧⎧⎧∂θ∂ϕ⎧⎧⎧2⎧ˆ22∂⎧Lz=- ∂ϕ2

⎧⎧⎧⎧

算符平方表示为 ∂⎧∂⎧1∂2⎧22222⎧1ˆˆˆˆ. (10） L=Lx+Ly+Lz=- ⎧

sinθ⎧+22⎧sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ⎧⎧⎧⎧

1。2 轨道角动量算符的对易关系

ˆ，Lˆ,Lˆ之间的对易关系为 三个分量Lxyz

ˆ，Lˆ⎧=i Lˆ⎧⎧Lxy⎧z⎧⎧⎧⎧ˆˆ⎧ˆ (11) ⎧⎧Ly，Lz⎧=i Lx⎧ˆ,Lˆ⎧=i Lˆ⎧⎧Ly⎧⎧zx⎧

即

ˆ⨯Lˆ=i Lˆ （12) L

ˆ2和Lˆ，Lˆ，Lˆ的对易关系为 Lxyz

ˆ，Lˆ2⎧=0⎧⎧Lx⎧⎧⎧⎧ˆˆ2⎧ ⎧⎧L⎧y，L⎧=0 （13）

⎧ˆ,Lˆ2⎧=0⎧⎧L⎧⎧z⎧

ˆ的三个分量Lˆ是厄米矢量算符,ˆ，Lˆ，Lˆ彼此不对易,意味着虽然L 由此可见,轨道角动量算符Lxyz

但其并不能描写一个可观察量,不能描写量子力学中所谓轨道角动量这么一个矢量力学量,即是说,量子力学

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

中没有角动量矢量。虽然经典力学中有轨道角动量,对应到量子力学中就有轨道角动量算符,却不存在轨道角动

量,因此,轨道角动量矢量是经典概念而不是量子概念。量子力学中没有轨道角动量矢量,但是,经典力学中有轨道

角动量,特别是有轨道角动量平方及轨道角动量在n方向上的投影。

ˆ和Lˆ和Lˆ,而且Lˆ存在本征值和本值矢量完全集，可以描写对应到量子力学中就有相应的算符Lnn22

量子力学中轨道角动量平方以及轨道角动量n分量这样的力学量。

2 自旋角动量

2.1 自旋角动量算符

自旋角动量算符满足的对易关系为

ˆ⨯Sˆ=i Sˆ (14) S

在Sˆz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为 ⎧⎧Sˆ ⎧01⎧

⎧x=2

⎧10⎧⎧⎧ ⎧⎧Sˆ

⎧0-i⎧

⎧y=2

⎧i0⎧ ⎧⎧

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

⎧ˆ= 0⎧⎧S⎧1⎧

z2

⎧0—1⎧⎧

因为

Sˆ ⎧01⎧ ⎧01⎧ 2⎧10⎧ 2 22x=2 ⎧10⎧⎧2 ⎧10⎧⎧=4 ⎧01⎧⎧=4I=4

其中I是单位矩阵。 同样可得

Sˆ2

222 y=4,Sˆz=4

从而可以得到

Sˆ2

=Sˆ2+Sˆ2+Sˆ2x

y

z

=3 2

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

4

所以Sˆ2，Sˆ2xy,Sˆ2z

和Sˆ2算符都是常数算符。 并且Sˆx,Sˆy，Sˆz

满足反对易关系 ⎧⎧

⎧⎧S

ˆx，Sˆy⎧⎧+=0 ⎧⎧⎧⎧Sˆy，Sˆz⎧

⎧ +=0⎧

⎧⎧⎧⎧Sˆz,Sˆx⎧⎧+=02。2 自旋波函数

在Sˆz

表象中，自旋角动量的一般态可表示为 χ=c1χ1(Sz)+c2χ

1

（Sz） 2

-2

其中χ⎧1⎧χ⎧0⎧1（Sz）= ⎧，1(Sz)=⎧ 1⎧

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

⎧；

2

⎧0⎧

—

2

同理可得

（15） （16） (17) (18) (19)

(20)

⎧

⎧χ1（

Sx)=⎧2

⎧

⎧χS=⎧1(

../cur_work/https：/wkretype。/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？pn=6&x=0&y=22＆raww=27＆rawh=26＆

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

o=jpg_6_0_______＆type=pic&aimh=26&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b＆zoom=＆png=9483—

13405＆jpg=0—1294

y）⎧21⎧1⎧

,χS=⎧1(

../cur_work/https：/。com/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？pn=6&x=0&y=48＆raww=24＆

rawh=22&o=jpg_6_0_______＆type=pic&aimh=22&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b＆

zoom=&png=9483—13405&jpg=0-1294

x）⎧2⎧1⎧—22⎧—1⎧

。 (21）

1⎧1⎧⎧，χ1(

../cur_work/https：/wkretype。/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？

pn=6&x=0&y=70&raww=26&rawh=26&o=jpg_6_0_______&type=pic&aimh=26＆

md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b＆zoom=＆png=9483—13405&jpg=0-1294

Sy)=⎧⎧i⎧—2⎧—i⎧

3 总角动量（LS耦合)

3。1 基本关系

ˆ之和，即 ˆ为轨道角动量Lˆ=rˆ⨯pˆ与自旋角动量S电子的总角动量J

J

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ˆ=Lˆ+Sˆ 或

Jˆα=Lˆα+Sˆα

, α=x,y,z 由于L

ˆ与Sˆ属于不同自由度,相应的算符相互对易,即 ⎧⎧

Lˆα,Sˆβ

⎧⎧

=0， α,β=x,y,z 总角动量仍满足角动量的普遍对易式

J

ˆ⨯Jˆ=i Jˆ 3.2 下面讨论Jˆ2，Lˆ2，JˆZ

的共同本征态 波函数的一般形式可写为

ψ(r,sz，t)=ψ1(r,t)χ1(sz)+ψ2(r，t)χsz） 2

-1

（2

采用（x，y，z,sz）表象，上式可以表示成

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ψ（r,sz，t）=ψ⎧1⎧

⎧0⎧⎧ψ1(r，t）⎧

1(r，t) ⎧0⎧⎧⎧+ψ2（r，t) ⎧1⎧⎧⎧

= ⎧ψ⎧2（r,t）⎧

⎧

归一化条件为

⎧⎧⎧ψ+

ψdxdydz=⎧⎧⎧(ψ*1

ψ

1

+ψ*2ψ2）dxdydz=1。

∞

∞

如果采用球极坐标（r,θ，ϕ)，则本征函数表示成

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ψ（θ,ϕ,sψ⎧ψ1（θ,ϕ)⎧

z）=1(θ，ϕ）χ1(sz)+ψ2(θ,ϕ)χ1(sz)= 2—

2

⎧ψ(θ，ϕ)⎧2⎧⎧, 试令：

ψ（θ,ϕ，sz)=c1Ylml

(θ,ϕ)χ1（sz）+c2Ylml

（θ,ϕ)χ

-1(sz） 2

2

征函数，ψ应满足Jˆz的本征方程 Jˆzψ=（Lˆz+Sˆz

）

ψ=m⎧1⎧

j ψ= ⎧

m+2

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

⎧⎧

ψ 只须m1=m,m2=m+1,有 ψ=c1Ylmχ1+c2Ylm+1χ

2

-

1 2

（22） (23) （24） (25) (26)

（27） （28) (29） 作为Jˆz

的本（30)

(31)

ˆ的本征函数,应该满足Jˆ的本征方程 又ψ作为J22

ˆψ=Lˆ2+2Sˆ⋅Lˆ2+ σ⋅Lψ （32） ˆ2ψ=Lˆ+Sˆ2+Sˆψ=Lˆ2+S J

即ψ应该满足σ⋅L的本征方程。

因为 (）2(）（)

⎧σ⋅L=σL+σL+σLxxyyzz⎧⎧ ⎧σ⋅L的本征值为l ，—（l+1） （33) ⎧⎧⎧(Lx±iLy）

../cur_work/https：/wkretype。/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=7＆x=0&y=0＆

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

raww=137&rawh=30&o=jpg_6_0_______&type=pic＆aimh=30&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b

＆zoom=＆png=13406-18238&jpg=1295-6727

Ylm=l，m±1

得 ⎧⎧σzLzYlmχ1=m Ylmχ1,

⎧22

⎧σzLzYlm+1χ—1=—(m+1） Ylm+1χ1，

⎧（2-2

⎧σxLx+σyLy）Ylmχ1=（Lx+iLy）Ylmχ-

⎧1

⎧22

⎧=l+m+1l—m Y

lm+1χ1，

⎧—2

⎧⎧(σxLx+σyLy)Ylm+1χ—1=（Lx-iLy）Ylm+1χ1

⎧22

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

⎧=l+m+1

⎧l-m Ylmχ1.

2

由此可得出(Jˆ2，Lˆ2,Jˆz)的共同本征函数ψljmj.

(1)j=l+11

2，mj=m+2时， 11

ψ⎧l+m+1⎧22

ljm=⎧2l+1⎧⎧Y+⎧ l-m⎧

j lmχ1⎧Ylm+1

2⎧2l+1⎧χ—1

2

=1⎧ +m+1Ylm⎧⎧

2l+1 ⎧-mYlm+1⎧⎧

(2)j=l—1

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

2,mm+1

j=2时, 11

ψ⎧l-m⎧2⎧l2

ljmj=-

⎧2l+1⎧⎧Y+m+1⎧

lmχ1+

2⎧2l+1⎧⎧Ylm+1χ1

2

=1⎧ —l-mYlm⎧⎧

2l+1 ⎧+m+1Ylm+1⎧⎧

4 任意两个角动量的耦合（JJ耦合)

4。1 体系的两种表象

4。1。1 无耦合表象 （34) （35） （36)

ˆ，它满足 ˆ和J假设体系有两个角动量J21

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ˆ⨯Jˆ=i Jˆ，Jˆ⨯Jˆ=i Jˆ⎧J111222⎧ˆ2,Jˆ⎧=0,⎧Jˆ2，Jˆ⎧=0⎧J⎧11α22α⎧⎧⎧⎧⎧ ⎧ （37) ⎧⎧

⎧⎧Jˆ2

1，Jˆ2

2⎧⎧=0,⎧⎧Jˆ1α，Jˆ2β⎧⎧=0

⎧⎧（α，β=x，y,z)

有

⎧ˆ2

⎧J1j1m1=j1（j1+1） 2j1m1

⎧⎧⎧Jˆ1zj1m1=m1 j1m1

⎧Jˆ2j 2 j

⎧22m2=j2(j2+1)2m2

⎧⎧Jˆ2zj2m2=m2 j2m2

由于Jˆ2

1,Jˆ2

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

2，Jˆ1z,Jˆ2z相互对易，因此它们的共同本征矢写为 j1m1j2m2=j1m1j2m2 构成正交归一完全系,用它们

作为基矢的表象称为无耦合表象.

4。1。2 耦合表象

定义体系的总角动量为Jˆ=Jˆ1+Jˆ2，则其满足角动量的基本对易关系式

⎧ˆ

⎧J⨯Jˆ=i Jˆ

⎧⎧⎧ˆ2ˆ⎧

⎧⎧J，Jα⎧=0 ⎧⎧（α=x，y,z)

由于⎧⎧Jˆ1,Jˆ2⎧⎧=0，总角动量平方算符可写为

Jˆ2=（Jˆ1+Jˆ2)2=Jˆ2

1+Jˆ2

2+2Jˆ1Jˆ2

满足

⎧⎧⎧⎧Jˆ2,Jˆ2

1⎧⎧=0,⎧⎧Jˆ2，Jˆ2

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

2⎧⎧=0

⎧⎧⎧Jˆ2,Jˆ1α⎧≠0,⎧Jˆ2,Jˆ2⎧≠0

⎧⎧⎧⎧α⎧

⎧⎧Jˆ，Jˆ2⎧=0,⎧Jˆ，Jˆ2⎧=0 ⎧⎧α1⎧⎧α2⎧

⎧⎧ˆ

⎧⎧Jα，Jˆ1β⎧⎧≠0,⎧⎧Jˆα，Jˆ2β⎧⎧≠0

⎧⎧(α，β=x，y,z)

可见，Jˆ2

1,Jˆ2

2,Jˆ2，Jˆz对易，它们必有共同本征矢,以j1j2jm表示,有 (38） （39） （40) (41） 42） （

ˆ2jjjm=j(j+1) 2jjjm⎧J1212⎧2ˆ2⎧⎧J1j1j2jm=j1（j1+1) j1j2jm ⎧ (43） 22ˆjjjm=j(j+1）

jjjm⎧J2122212⎧ˆ⎧⎧Jzj1j2jm=m j1j2jm

由此，j1j2jm也构成一组正交归一完备系,用它们作为基矢的表象称为耦合表象。

4.2 耦合表象基矢的展开

ˆ算符与无ˆ2，Jˆ2相同，但因耦合表象中J以上两个表象，从它们相应的力学量完全集来看，尽管J122

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ˆ，Jˆ算符不对易，因此它们是描述同一体系的两个不同的表象. 耦合表象中J1z2z

ˆ，Jˆ确定,可将耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开 假定J12

j1j2jm=

m1，m2∑j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm （44) 式中j1m1j2m2j1j2jm称为矢量耦合系数。

ˆ=Jˆ+Jˆ可知,m=m1+m2，有m1=m—m2,因此(44)式可写为 由Jz1z2z

j1j2jm=∑m2j1，m-m2，j2m2j1,m—m2,j2m2j1j2jm。 (45)

4.3 量了数j的取值

ˆ，Jˆ给定时，mmax=m1max+m2max=j1+j2,而-j≤mmax≤j,有当J12

jmax=mmax=j1+j2。

两个表象中的基矢数都为

∑(2j+1)=（2j

jminjmax1+1)(2j2+1) （46） 从而只能有jmin=j1—j2,因此j的取值为j1+j2,j1+j2-1， ,j1-j2

4.4 在JJ耦合下CG系数的计算

ˆ2,Jˆ，Jˆ2,Jˆ,正交归一本征矢量为jmjm;耦合表象非耦合表象中,力学量完备集为J11z22z1122（)

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

ˆ2，Jˆ2，Jˆ2,Jˆ）,正交归一本征态基矢量为jjjm,其中，力学量完备集为(J1212z

ˆ=Jˆ+Jˆ，Jˆ=Jˆ+Jˆ。 中，J12±1±2±

CG系数的定义:耦合表象与非耦合表象之间的变换幺正矩阵元称为CG系数。即将耦合表象中的

基矢用非耦合表象中的基矢展开得到 j1j2=

m1m2∑j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm （47） 其中展开系数j1m1j2m2j1j2jm就是CG系数。

ˆjjjm= 由

../cur_work/https：/wkretype。/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=10＆x=0&y=0&raww=147＆

rawh=29&o=jpg_6_0_______＆type=pic&aimh=29＆md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b＆zoom=＆

png=31522—43302&jpg=7057-21209

J±12j,m±,得基本关系

⎧n⎧（j-）

j1j2jm=

../cur_work/https：/wkretype。bdimg。com/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？pn=10&x=0&y=105＆

raww=163&rawh=56&o=jpg_6_0_______&type=pic＆aimh=56&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b

＆zoom=＆png=31522—43302&jpg=7057-21209

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

j1j2j,m-n

⎧⎧⎧=jjj，m+n12⎧

⎧ ⎧ (48） n⎧jj1j2jm=

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=10＆x=0&y=213＆raww=163＆

rawh=56&o=jpg_6_0_______＆type=pic＆aimh=56&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆

sign=f4fdeaaf6b&zoom=&png=31522-43302＆jpg=7057-21209

j1j2j，m+n（）⎧+

⎧⎧jjj,m+n⎧=12⎧⎧

当j1，j2给定,j=j1+j2，m=j时,取耦合表象中的本征态jj=j1+j2,j1+j2与非耦合表象中的本征态j1j1j2j2

相等，即

jj=j1+j2,j1+j2=j1j1j2j2 （49） 将式（49）代入式(47）,可得态j1j2jm=j1j2,j1+j2,m的展开式 (j-)

其中C2j=nnnjj=n！C2jj,j-n (50） (2j)！是二项式系数，而 n!2j-n!

n(j—）jj

n=(

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=10＆x=0&y=271＆raww=78＆

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

rawh=31&o=jpg_6_0_______&type=pic＆aimh=31&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b＆zoom=＆

png=31522—43302＆jpg=7057-21209

j1-+j2—)jj

kkn-k=∑Cnj1—j2-j1j1j2j2

k=0

nk=∑Cnj1,j1—kj2,j2—n+k(n-k)！kk=0n （51）

由(50）和(51）两式得 j，j—n=

令：m=j—n,有 j1j2jm=∑k=0nnn-kC2j1C2j2nC2jj1，j1—kj2，j2—n+k （52) ∑k=0j—mkj-m—

kC2j1C2j2Cj—m

2jj1，j1-kj2，m+k—j1 （53)

式（38）求出了j=j1+j2，m=m1+m2=j1+j2，j1+j2-1，j1+j2—2， ,-j1—j2+1,-j1-j2的CG系数

../cur_work/https：/wkretype。bdimg。com/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=11＆x=0＆y=1268＆raww=6＆rawh=22

＆o=png_6_0_0_0_0_0_0_892。979_1263。06&type=pic＆aimh=22＆

md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b＆zoom=＆png=43303—50434＆jpg=21210-24568

../cur_work/https：/wkretype。/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？pn=11＆x=0&y=1349＆raww=6&rawh=22＆

o=png_6_0_0_0_0_0_0_892.979_1263.06&type=pic＆aimh=22&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆

sign=f4fdeaaf6b&zoom=&png=43303—50434&jpg=21210—24568

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

j1m1j2m2j1j2jm

=j1,j1-k,j2,m+k-j1j1j2jm

= （54)

=当j1,j2给定时,本征态j—n,j-n=j1+j2—n，j1+j2—n可由非耦合表象中的本征态的线性组合得到 j-n，

j—n=∑akj1，j1-kj2，j2—n+k 由j—n,j-n是Jˆ2的本征态可知 Jˆ2j—n，j—n=(j-n）(j—n+1）j-n,j-n 又由

于Jˆ=Jˆ1+Jˆ2，可知 Jˆ2j—n,j-n

=(Jˆ1+Jˆ2）2j—n，j-n

=（Jˆ2

1+Jˆ2

2+2Jˆ1Jˆ2）j-n，j—n

令：

Jˆ1±=Jˆ1x±iJˆ1y,Jˆ2±=Jˆ2x±iJˆ2y ⎧⎧Jˆ1+Jˆ2—=（Jˆ1x+iJˆ1y)(Jˆ2x—iJˆ2y)

⎧⎧=Jˆ

⎧1xJˆ2x—iJˆ1xJˆ2y+iJˆ2xJˆ2y+Jˆ1yJˆ2y ⎧⎧Jˆ1—Jˆ2+=（Jˆ1x—iJˆ1y)(Jˆ2x+iJˆ2y)

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

⎧⎧=Jˆ1xJˆ2x+iJˆ1xJˆ2y-iJˆ2xJˆ1y+Jˆ1yJˆ2y

所以

Jˆ1+Jˆ2—+Jˆ1-Jˆ2+=2Jˆ1xJˆ2x+2Jˆ1yJˆ2y 从而有

2Jˆ1Jˆ2

=2Jˆ1xJˆ2x+2Jˆ1yJˆ2y+2Jˆ1zJˆ2z =Jˆ1+Jˆ2—+Jˆ1—Jˆ2++2Jˆ1zJˆ2z

将(61)式代入（57)式,（取自然单位 =1）,得

Jˆ2j-n，j-n

=（Jˆ2

1+Jˆ2

2+Jˆ1+Jˆ2—+Jˆ1—Jˆ2++2Jˆ1zJˆ2z）j—n，j-n

=⎧⎧j1（j1+1)+j2（j2+1)⎧⎧j—n,j—n(55) （56） （57） （58）则 (59）

+∑ak⋅2（j1-k)(j2-n+k）j1,j1-kj2,j2-n+kk=0

nn

+∑ak

） （61） (60

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

k=0n-k2j2—n+k+12j1-kk+12j2—n+kn-k+1k2j1-k+1j1,j1—k—1；j2，j2-n+k+1 （62） +∑akj1，

j1—k+1；j2，j2-n+k—联立(54）～（57)式，分别取k=0，1,2,…,n-1,得

⎧⎧a0n2j2-n+1+a12j1=0，

⎧⎧a1n—12j2—n+2+a222j1-1=0，⎧

⎧a2n-22j2—n+1+a32j1-2=0，

⎧ ⎧⎧akn-k2j2-n+k+1+ak+1k+12j1-k=0,⎧⎧

⎧⎧an—12j2+ann2j1—n+1=0。

将看作参数，解出（63）式,得

⎧⎧an2j2—n+1⎧1=-2ja0,

1

⎧⎧a2—n+2⎧2=—n—12j

⎧22ja0

1-1

⎧⎧=(-1)2nn-12j2—n+12j2-n+2a0⎧2⋅2j2j,

11—1⎧⎧⎧a=-n-22j2—n+3332j1-2⎧⎧=（—1）3nn—1n—22j2—n+12j2-n+22j2—

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

n+3⎧⎧3⋅2⋅2j2ja0,

11-12j1-2⎧⎧

⎧k2j

⎧a2—n+12j2-n+2k=(—1)kCn 2j⎧2-n+k2j12ja0

1-k+1—k+2 2j1

⎧k

⎧⎧=(—1)kCCkn2j2—n+k

Cka0,

⎧2j1⎧ ⎧⎧⎧an=（-1)nCn2j2

⎧Cna0.

2j1

利用归一化条件：a2

1+a2

2+ +a2

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

k+ +a2

n=1,得 (63） （64)

a0=

(2j∏α

=0

n

k

k=0

n-1

1

—α)

n-1

=

n

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

C2j1

∑Cnk∏（2j2—n+α）∏（2j1—β)

α=1

β=k

C

n

2j-n+k

(65）

将a0代入ak,得

kknkk⎧CnC2C2j2—n+kj1CnC2j2—n+kkk

⎧ak=（-1)a0=(-1）kk

CC⎧2j2j1C2j—n+11⎧

⎧ （66）

nnC2j2C2j2⎧n

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

a0=⎧an=（-1）nn

CC⎧2j12j-n+1⎧

由此可得态jj=

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？pn=13＆x=0＆y=1804&raww=6＆

rawh=23&o=png_6_0_0_0_0_0_0_892。979_1263.06&type=pic&aimh=23&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆

sign=f4fdeaaf6b&zoom=&png=58969-70232＆jpg=60883—76722

j1+j2—n,

j1+j2-n的CG系数为

j1m1j2m2jj

=j1m1j2m2j1+j2-n,j1+j2—n=

j1+j2—jk=0

∑a

k

j1m1j1,j1-kj2m2j2，j—j1+k

=ak=(-1）

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

j1-m1

—m1j1—m1j1+j2—j

Cjj11+j2—jCj2+m2C2j1

+j2—j

C2j1j1—mCjj11+j2+j+1

j—m1

=（-1)1

j1+

2j1+1！j1+j2-j!j1+m1!j2+m2!

j2+j+1！j1—j2+j！j2—j1+j!j1-m1！j2—m2!

（67）

将(j-)

n

n

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

jj=n！C2jj，j-n代入下式j-n，j-n=∑akj1，j1—kj2，j2—n+k

（68）

得

（j-)

β

β

βm

jj=β!2!C2j-jm (69) jj,j—β=(j—m）j

将（j—)=(j1-+j2—)=

β

β

∑Cβ（j）（j)

i

i1-

2-

i=0

β

—i

作用于式（57）右边并利用式(48），得

（j-)

=

β

jj

i

i

k

1—

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

j1+j2—jβk=0

∑∑Cβi(j）

i=0

j1，j1-k

(j2-）

β—i

j1，j-j1+k

（70）

=j1+j2-jj—m

∑

k=0

∑C

i=0

i

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

j—mk

i

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=13＆x=0＆y=136＆raww=276＆rawh=56＆

o=jpg_6_0_______＆type=pic&aimh=56&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b＆sign=f4fdeaaf6b&zoom=＆png=58969—

70232＆jpg=60883-76722

j1，j1-k-ij2,m—j1+k+i

从而得到

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=14＆x=0＆y=1268＆raww=6＆rawh=23＆

o=png_6_0_0_0_0_0_0_892。979_1263。06＆

type=pic&aimh=23&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b&zoom=＆png=70233-&jpg=76723—

j1m1j2m2，j1+j2—n,j1+j2-n—β

=∑Cj-mi

j—mka (71)

../cur_work/https：/。com/retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e？

pn=14&x=0&y=1390&raww=6&rawh=22&o=png_6_0_0_0_0_0_0_892。979_1263.06＆

type=pic&aimh=22&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b&zoom=＆png=70233-&jpg=76723-

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

i=0

将k=j1—m1—i

../cur_work/https：//retype/zoom/dcd432c9f90f76c661371a3e?pn=14&x=0&y=1504&raww=6＆rawh=22＆

o=png_6_0_0_0_0_0_0_892.979_1263.06＆type=pic&aimh=22&md5sum=154d3ff47e0d5da80eac77f98a46dc0b&sign=f4fdeaaf6b＆

zoom=＆png=70233-＆jpg=76723-

代入(71）式，得

j1m1j2m2j1+j2—n，j1+j2—n-β

=⋅∑（—1）j1—m1—i（j1+m1+i)！（j2+j—m1—i)！i=0i！j-m-i!⋅j1—m1—i!j2—j+m1+i!

(72)