初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题22 关于中点的联想

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2024年5月6日发(作者：)

专题22

阅读与思考

关于中点的联想

线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形

的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；

其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．

解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角

形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：

例题与求解

【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP

⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)

解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利

用三角形中位线定理解题．

【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF

∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为()(北京市竞赛试题)

10

2

17

2

17

3

210

D．

3

A．B．C．

解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．

【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，

求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)

解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为

线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．

例3图

【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，

PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．

(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中

的结论还成立吗？说明理由；

(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，

并说明理由．（营口市中考试题）

图①图②图③

解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形

中位线定理的应用创造条件．

本文标签： 中点位线线段竞赛