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2024年6月3日发(作者：)

浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数

学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1．已知复数z满足

z

2i

A

．

1

1

i

（i为虚数单位），则z的虚部是（

1

i

C

．

i

）

D

．

1

）

B

．

i



2．在

ABC

中，已知命题p：

ABC

为钝角三角形，命题

q:ABBC0

，则p是q的（

A

．充分不必要条件

C

．充分必要条件

3．用半径为

3cm

，圆心角为

A

．

1cm

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

2

的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（

3

）

B

．

22cm

C

．

2cm

D

．

2cm

）

D

．以上都不对

）

4．在

ABC

中，

AB

7,

BC

8,

C

A

．

3B

．

5

π

，则边

AC

的长为（

3

C

．

3

或

5

5

．设

m

，

n

是不同的直线，

a,

是不同的平面，则下列命题正确的是（

A

．

mn,n//

，则

m

C

．

m

,

，则

m//

B

．

m//

,

，则

m

D

．

m

,m

，则

//

）

C．

）

B

．

bca

D

．

cab

3

6．若

sin

，则

sin

2

（

6

6

5

24

7

A．B．

25

25

7．记

a

0.2

0.1

,b

0.1

0.2

,c

(2)

0.5

，则（

A

．

abc

C

．

acb

7

25

D．

24

25

，已知走廊的宽度与高度都是

3

米，现有

8

．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭）

不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为

l

米．为了方

便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为

m0.9l

米，则

m

的值是（）

试卷第1页，共4页

A．

81

10

B．

272

10

C．

272

5

D．

62

二、多选题

9．如图，正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2

，点Q为

B

1

C

1

的中点，点N为

DD

1

的中

点，则下列结论正确的是（）

A．

CQ

与

BN

为异面直线

C．直线

BN

与平面

ABCD

所成角为

30

B．

CQC

1

D

1

D．三棱锥

QNBC

的体积为

2

3



1







ee

a

10．已知

e

1

,e

2

是平面单位向量，且

12

，若该平面内的向量

a

满足

e

1

ae

2

1

，

2

则（）



B．

ae

1

e

2

23

D．

|

a

|

3

ππ



11．已知函数

f

(

x

)

sin(

x

)

0,



，则下面说法正确的是（

22



π

π

A．若

2

且

f(x)

图象关于直线

x

对称，则

6

6

π

4π

B．若

2

且

f(x)

图像关于点

,0

对称，则

6

3

π

π

C．若

且

f(x)

在

0,

上单调递增，则

的最大值为2

4

8



π

A．

e

1

,

e

2



6

2



C．

ae

1

e

2

3





）

π

917

D．若

且

f(x)

在

[0,]

上的图象有且仅有2个最高点，则

的取值范围为

,

4

44

12

．在锐角

ABC

中，已知

AB4,AC3

，

D

为边

BC

上的点，

BADCAD

，则线

段

AD

长的可能取值为（

A．

6

）

C．3.3D．

23

B．

7

三、填空题

13．已知复数

z

1

3i

，

z

2

13i

（

i

为虚数单位）在复平面上对应的点分别为

Z

1

，

Z

2

，

试卷第2页，共4页

则

OZ

1

Z

2

的面积为．

14．已知直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

的高为

4

，

ABAC2

，

BAC90

，则该三棱柱的

外接球的体积为．

．



15．已知

ABC

满足

ABAC(ABAC)BC

，则

cosC

的最小值为





16

．已知正

ABC

边长为

1

，点

D

满足

BD2DC

，

P

为直线

AD

上的动点，设

BA

在

BP



BP

，则

m

的取值范围为的投影向量为

m



|

BP

|

．

四、解答题

，

z

在复平面上对应的点在第四象限，且

17

．已知复数

z1bi

（

bR

，

i

为虚数单位）

满足

|z|2

．

(1)

求实数

b

的值；

(2)若复数z是关于x的方程

px

2

2xq0

（

p0

，且

p,qR

）的一个复数根，求

pq

的值．

18

．在四棱锥

P

ABCD

中，

PA

平面

ABCD

，底面

ABCD

为正方形，

PAAB

，

E

和

F

分别为

PD

和

BC

的中点．

(1)

证明：

EF//

平面

PAB

；

(2)

求二面角

FEDA

的余弦值．

19．在

ABC

中，已知

B

的函数为

yf(A)

．

π

,

AC

2,

BD

为边

AC

上的高．设

yBDDC

，记y关于A

2

(1)

求

yf(A)

的表达式及

f(A)

的取值范围；

试卷第3页，共4页

(2)若不等式

mf(A)mf

2

(A)

恒成立，求实数m的取值范围．



20

．如图，在

ABC

中，

D

是线段

BC

上的点，且

DC2BD

，

O

是线段

AD

的中点延长



BO

交

AC

于E点，设

BO

AB

AC

．

(1)

求

的值；



(2)

若

ABC

为边长等于

2

的正三角形，求

OEBC

的值．

21

．已知锐角

ABC

的内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，向量

m(sinC,cosC)

，



n(2sinAcosB,sinB)

，且

mn

．

(1)

求角

C

的值；

(2)

若

a2

，求

ABC

周长的取值范围．

22

22．已知函数

f(x)axx2ax3x2

，其中

aR

．

(1)

a1

时，求函数

f(x)

的单调增区间；

(2)

已知存在三个不相等的实数

,

,

，使得

f(

)f(

)f(

)

成立，求

的取

值范围．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

A

【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可

.

1

i

1

i

2i

2i



2i



i

，故虚部为1.【详解】

z

2i

1

i2

1

i



1

i

故选：

A

2

．

B

【分析】根据充分必要条件的定义结合向量的夹角判断即得

.





【详解】命题

q:ABBC0

,可得

BABCcosB0,cosB0

，又因为

B

0,π

，则

B

为钝

2

角，则

q

可以推出

p

，

命题

p

：

ABC

为钝角三角形，钝角三角形不一定是

B

为钝角，则

p

无法推出

q

，

故

p

是

q

的必要不充分条件

.

故选：

B.

3

．

B

【分析】设圆锥的底面半径为

rcm,

根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径

r,

利用勾股定理

可得答案

.

【详解】设圆锥的底面半径为

rcm

，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，

可得2πr=

2

3,

即底面圆的半径为1，.

3

所以圆锥的高

h3

2

122

,

故选

B

【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长

.

4

．

C

【分析】根据余弦定理求

AC

的值

.

【详解】根据余弦定理可知，

AB

2

AC

2

BC

2

2ACBCcosC

，

1

2

则

49

AC

64

2

AC

8

，整理为

AC

2

8AC150

，

2

解得：

AC3

或

AC5

故选：

C

5

．

D

答案第

1

页，共

16

页

【分析】举例说明判断

ABC

；利用线面垂直的性质判断

D

作答

.

【详解】对于A，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，平面

ABCD

为平面

，

A

1

B

1

,B

1

C

1

分别为直

线

m,n

，

显然满足

mn,n//

，而

m//

，此时

m

不成立，

A

错误；

对于B，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，平面

ABCD

，平面

CDD

1

C

1

分别为平面

,

，

A

1

B

1

为

直线

m

，

显然满足

m//

,

，而

m//

，此时

m

不成立，

B

错误；

对于C，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，平面

ABCD

，平面

CDD

1

C

1

分别为平面

,

，

CC

1

为

直线

m

，

显然满足

m

,

，而

m

，此时

m//

不成立，

C

错误；

对于

D

，因为

m

,m

，由线面垂直的性质知，

//

，

D

正确

.

故选：

D

6

．

C



【分析】利用二倍角余弦公式可求得

cos

2

，根据诱导公式计算可得

3



sin

2

cos

2

，由此可得结果.

6

3

97

2

【详解】

cos

2

1

2sin

1

2



，

3

6

2525



7



sin

2



cos

2



cos

2



.

6

6

3

25



2

故选：

C.

7

．

C

【分析】把三个数的指数都化为

0.1

，利用幂函数的单调性比大小

.

【详解】

a0.2

0.1

，

b0.1

0.2

0.1

2

0.01

0.1

，

0.1



5

2

，

c

(2)

0.5

(2)



8



0.1

0.1

答案第

2

页，共

16

页

0.2

2

0.1

0.01

，由幂函数

yx

在

0,

上单调递增，所以

acb

.

8

故选：

C

8

．

A

【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度

AB

，再利用勾股定理求出硬管倾斜

后能通过的最大长度，即可得到答案

.

【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度

AB.

π

π

设

BAQ

,

0

,则

ABQ

.

2

2

过

A

作

AC

垂直内侧墙壁于

C

，

B

作

BD

垂直内侧墙壁于

D

，则

ACBD

3,

CPABAQ

,

DPBABQ

π

.

2

在直角三角形

ACP

中，

sin

CPA

sin

BP

BD

3

π

cos

.

sin

2

AC

3

AC

,所以

AP

.

sin

sin

AP

同理：

所以

AB

AP

BP

因为

AB

33

π

,

0

.

sin

cos

2

π

3312



3

2

6

62

（当且仅当

sin

cos

且

时

4

sin

cos

sin

cos

sin2

等号成立）

.

所以

AB62

.

因为走廊的宽度与高度都是

3

米，

所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为

lAB

2

3

2

所以

m

0.9

l

0.9

9

故选：

A

【点睛】利用三角函数解应用题的解题思路：

（

1

）画出符合题意的图形；

81

.

10

62

3

2

2

9

,

答案第

3

页，共

16

页

（

2

）把有关条件在图形中标出；

（

3

）建立三角关系式，利用三角函数求最值

.

9

．

AB

【分析】对A，直接观察判断即可；对B，根据

C

1

D

1

平面

BCC

1

B

1

判断即可；对C，根据

线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D，利用等体积法

V

Q

NBC

V

N

QBC

求解

即可

.

【详解】对

A

，由图可得，

C,Q,B

共面，且

N

不在平面内，则

CQ

与

BN

为异面直线

,

故

A

正确；

对B，由正方体性质可得

C

1

D

1

平面

BCC

1

B

1

，又

CQ

平面

BCC

1

B

1

，故

C

1

D

1

CQ

,故B正

确；

对

C

，由

ND

平面

ABCD

可得直线

BN

与平面

ABCD

所成角为

NBD

，

又

ABAD2

，则

BD22,ND1

，

故

tan

NBD

1

22

2

，故

NBD30

，故C错误；

4

1114

对D，

V

Q

NBC

V

N

QBC

S

QBC

·

D

1

C

1



2

2

2

，故D错误.

3323

故选：

AB

10

．

BCD

答案第

4

页，共

16

页







【分析】根据平面向量的数量积运算可判断A；根据

ae

1

ae

2

可判断B；设

ame

1

ne

2

,





由

ae

1

ae

2

1

可求出

m,n

，从而可判断CD.



1



【详解】因为

e

1

,e

2

是平面单位向量，且

e

1

e

2

，

2



1

所以

e

1

e

2

e

1

e

2

cos

e

1

,

e

2



cos

e

1

,

e

2



.

2





π

e

,

e

e,e0,π

因为

12



，所以

12



，故A错误；

3









因为

ae

1

ae

2

，所以

ae

1

e

2

0

，即

ae

1

e

2

，故B错误；







设

ame

1

ne

2

，



1



a

e

me

ne

e

m

n

1

1121

2





2

mn

因为

ae

1

ae

2

1

，所以



，解得

，



1

3

a

e

me

ne

e

m

n

1

2122

2

2



所以

ae

1

e

2

，故C正确；

3



2



2



1

因为

e

1

e

2

e

1

e

2

2

e

1

e

2

1

2

1

2

2



3

，

2

23

2



所以

ae

1

e

2

，故D正确.

33







故选：

BCD.

11

．

ACD

【分析】利用三角函数的图象与性质逐一分析即可

.

【详解】对于A项，

2

且

f(x)

图象关于直线

x

π

对称时，

6

π

πππ

ππ

有

2





2

k

π



2

k

π

，因为



，所以

，即A正确；

22

6

626

4π

对于B项，

2

且

f(x)

图像关于点

,0

对称时，

3

4π8π

ππ

π

有

2



k

π

k

π

，因为



，所以

，即B错误；

22

3

33

π

πππ

π

π

对于C项，

且

f(x)

在

0,

上单调递增，则

x



,

，

4

4

448

8

ππ

π



2

，即C正确；所以

482

π

ππ

π

对于D项，

且

f(x)

在

[0,]

上的图象有且仅有2个最高点，则

x



,

π

，所

4

4

44

5ππ9π

917



π



,

，即D正确；以

242

44

答案第

5

页，共

16

页

故选：

ACD

12

．

AB

【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段

AD

的取值范围，即可判断选

项

.

【详解】

AB4,AC3

，设

ADx

，

BCa

，

BADCAD

，

ABBD

4

3

，所以

BDa

，

DCa

7

7

ACDC

111

根据

S

ABD

S

ADC

S

ABC

，得

4

x

sin



3

x

sin



4

3

sin2

，

222

24

π

12224

cos

，

0,

，那么得

x

，

x

7

4

77

且

a

2

9

16

0

角

C

为锐角三角形，则

ABC

中，

，即

7a

2

25

，

2

9

16

a

0

92

9

3

△ADC

中，

9

a

x

2

0

，

x

2

9

a

2

，即

x

2

9



7

10

497

49

7

2

综上可知，

故选：

AB

122614

，只有AB满足条件.

x

77

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条

件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解

.

13

．

5







ZZ

OZ

OZ

【分析】首先得到

1

、

2

的坐标，即可得到

1

，

2

，从而得到

OZ

1

OZ

2

，再根据三

角形面积公式计算可得

.

【详解】因为复数

z

1

3i

，

z

2

13i

（

i

为虚数单位）在复平面上对应的点分别为

Z

1

，

Z

2

，

所以

Z

1

3,1

，

Z

2

1,3

，









所以

OZ

1

3,1

，

OZ

2

1,3

，则

OZ

1

10

，

OZ

2

10

，

OZ

1

OZ

2

13130

，

答案第

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页

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