2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级(下)期末数学试卷

admin管理员组

文章数量:1532126

2024年1月13日发(作者：)

2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）要使式子A．x≥1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（B．x＜1C．x≤1）C．D．））D．x≠12．（3分）在下列各式中，最简二次根式是（A．B．3．（3分）点（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则a的值为（A．a＝﹣3B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝24．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18）C．12D．95．（3分）下列计算正确的是（A．B．C．D．6．（3分）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行．某校八年级（1）班在班会课开展了冬奥会知识小竞赛，10位同学在这个知识竞赛中的成绩统计结果如右表所示，则这10位同学的平均成绩是（成绩人数A．871B．8.584）93102C．8.6D．97．（3分）若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（）第1页（共30页）

A．x＜2B．x＜1C．x＞2D．x＞18．（3分）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，若∠ECF＝53°，则∠B＝（）A．53°B．45°C．37°D．70°9．（3分）若点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，则下列大小关系成立的是（）B．y2＞y1＞bC．y2＞b＞y1D．y1＞b＞y2A．y1＞y2＞b10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3k+4（k＜0）过定点P，过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y＝kx﹣3k+4于点B，连接OB，若BP平分∠OBA，则k的值是（A．）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）求值：＝．12．（3分）将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为．13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每个人10次射击成绩的平均值都是8.5环，方差分别是14．（3分）已知，，则两人中成绩比较稳定的是，则代数式a2﹣2a+9的值是．（填“甲”或“乙”）．15．（3分）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1＝1，S3＝3，则S2＝．第2页（共30页）

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：①AE＝EF；②；；③设四边形AGBE的周长为m，则④当BF＝1时，△AGB的面积为3．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）计算：．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上．且∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BEDF是平行四边形．19．（6分）如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，（1）求AB的长；（2）求△ABD的面积．第3页（共30页）．

20．（6分）新冠肺炎疫情防控时刻不能放松．某校倡议学生积极参加体育锻炼，提高免疫力．为了解八年级学生周末体育锻炼的情况，在该校八年级学生中随机抽取了16名女生和16名男生，调查了他们周末的锻炼时间，收集到如下数据（单位：分钟）：女生49男生585665676668727275767978797982859899108113124；（1）女生锻炼时间的众数为，男生锻炼时间的中位数为（2）如果该校八年级的女生有128人，男生有144人，请估计该校八年级学生周末锻炼的时间在100分钟以上（不包含100分钟）的人数．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是边AB上的一点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是边AB的中点时，若AB＝10，ED＝8，求四边形ADCE的面积．22．（10分）A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为y1，y2（单位：km），y1，y2分别与x的函数关系如图所示．（1）求y1关于x的函数解析式；（2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由．第4页（共30页）

23．（10分）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：作平行四边形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的平行四边形ABCD中，连接BD，交AC于点O．①若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝12，求BD的长；②过点O作直线EF与边AD，BC分别交于点E，F，设四边形EDCF的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，求S1：S2的值．24．（12分）如图，点A（0，2），B（3，3），C（7，﹣1），四边形OBCD是矩形，BD与x轴交于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）求线段OE的长；（3）若点P为直线AB上一动点，设△POB的面积为S1，△OBE的面积为S2，且S1＝2S2，求点P的坐标．25．（12分）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．第5页（共30页）

（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且BG＝10，AC＝5，求DG的长；（3）如图3，在（1）的条件下，若∠ABF＝60°，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且BP＝DQ，求AP+AQ的最小值．第6页（共30页）

2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）要使式子A．x≥1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（B．x＜1C．x≤1）D．x≠1【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．（3分）在下列各式中，最简二次根式是（A．B．）C．D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；＝，故该选项不符合题意；C选项，原式＝D选项，原式＝，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．3．（3分）点（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则a的值为（A．a＝﹣3B．a＝﹣1C．a＝1）D．a＝2【分析】把点A（a，﹣1）代入y＝﹣2x+1，解关于a的方程即可．【解答】解：∵点A（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，∴﹣1＝﹣2a+1，解得a＝1，第7页（共30页）

故选：C．【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横坐标就适合这个函数解析式．4．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．9【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．5．（3分）下列计算正确的是（A．B．）C．D．【分析】根据二次根式的加法，乘法法则，进行计算即可解答．【解答】解：A、2B、×＝×＝，故A不符合题意；＝3，故B不符合题意；不能合并，故C不符合题意；＝2，故D符合题意；C、2与D、+故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法，乘法法则是解题的关键．第8页（共30页）

6．（3分）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行．某校八年级（1）班在班会课开展了冬奥会知识小竞赛，10位同学在这个知识竞赛中的成绩统计结果如右表所示，则这10位同学的平均成绩是（成绩人数A．871B．8.584）93102C．8.6D．9【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：这10位同学的平均成绩是故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．7．（3分）若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（）＝8.6，A．x＜2B．x＜1C．x＞2D．x＞1【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax在直线y＝bx+c上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察函数图象得x＞1时，ax＞bx+c，所以关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．8．（3分）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，若∠ECF＝53°，则∠B＝（）第9页（共30页）

A．53°B．45°C．37°D．70°【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证CF⊥BC，求出∠BCE＝37°，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∵∠ECF＝53°，∴∠BCE＝90°﹣53°＝37°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣37°＝53°，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．（3分）若点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，则下列大小关系成立的是（）B．y2＞y1＞bC．y2＞b＞y1D．y1＞b＞y2A．y1＞y2＞b【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜0＜2，即可得出y1＞b＞y2．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，且﹣1＜0＜2，∴y1＞b＞y2．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x第10页（共30页）

的增大而减小”是解题的关键．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3k+4（k＜0）过定点P，过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y＝kx﹣3k+4于点B，连接OB，若BP平分∠OBA，则k的值是（A．）B．C．D．【分析】根据题意证明∠OBH＝∠OHB，则OB＝OH，即可根据勾股定理得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y＝kx﹣3k+4于点B，∴点B（6，3k+4），设直线y＝kx﹣3k+4与y轴交于点H，令x＝0，则y＝﹣3k+4，即点H（0，﹣3k+4），如图，∵BP平分∠OBA，∴∠ABH＝∠OBH，∵AB∥y，∴∠ABH＝∠OHB，∴∠OBH＝∠OHB，则OB＝OH，即36+（3k+4）2＝（4﹣3k）2，解得：k＝﹣．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出B、H的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）求值：＝3．【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．第11页（共30页）

【解答】解：故答案为：3．．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．12．（3分）将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为2x+3．y＝【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每个人10次射击成绩的平均值都是8.5环，方差分别是，，则两人中成绩比较稳定的是甲．（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为甲的方差最小，所以两人中成绩比较稳定的是甲，故答案为：甲．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．（3分）已知【分析】由【解答】解：∵∴（a﹣1）2＝（∴a2﹣2a＝4，∴a2﹣2a+9＝13，故答案为：13．【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出a2﹣2a＝4，再整体代入．第12页（共30页），则代数式a2﹣2a+9的值是，可得（a﹣1）2＝（，）2，13．）2，有a2﹣2a＝4，即可得a2﹣2a+9＝13．

15．（3分）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1＝1，S3＝3，则S2＝16．【分析】利用AAS证明△AMB≌△CBN，得BC＝AM，再利用勾股定理求出BM的长，从而解决问题．【解答】解：如图，∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，∴BM＝BN，∠MBN＝90°，∴∠MBA+∠CBN＝90°，∵∠MBA+∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠CBN，∵∠MAB＝∠NCB，∴△AMB≌△CBN（AAS），∴BC＝AM，∵S1＝1，S3＝3，∴AM＝1，CN＝，由勾股定理得，BM＝2，∴S2＝（2BM）2＝16，故答案为：16．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AMB≌△CBN是解题的关键．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重第13页（共30页）

合），连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：①AE＝EF；②；；③设四边形AGBE的周长为m，则④当BF＝1时，△AGB的面积为3．其中正确的结论有①③④．（填写所有正确结论的序号）【分析】①连接AF，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；②连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF＝2FH，假设CD﹣BF＝BE，则BH＝CF＝2FH，可得BF＝FH＝CH，即F、H是BC的三等分点，当点E在BD上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得∠DAE＝∠BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质及勾股定理可得AT、ET的长，④连接AF，再利用三角形的面积公式答案．【解答】解：①如图，连接AF，第14页（共30页）

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，∵EF⊥AE，∴A、E、F、B在以AF为直径的圆上，∴∠AFE＝∠ABD＝45°，∠EAF＝∠CBD＝45°，∴∠AFE＝∠EAF，∴AE＝EF，①正确；②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，∴AE＝CE，CD＝BC，∠CBD＝45°，∵EH⊥BC，∴BH＝EH＝BE，CD﹣BF＝BC﹣BF＝CF，∵AE＝EF，∴CE＝EF，∵EH⊥BC，∴CF＝2FH，假设CD﹣BF＝BE，则BH＝CF＝2FH，∴BF＝FH＝CH，即F、H是BC的三等分点，而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，∴②不正确；③由①得，AE＝EF，第15页（共30页）

∵四边形AEFG是矩形，∴四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，∠GAE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，BD＝AD＝×4＝4，∴∠BAD﹣∠BAE＝∠GAE﹣∠BAE，∴∠DAE＝∠BAG，在△DAE和△BAG中，，∴△DAE≌△BAG（SAS），∴DE＝BG，∴m＝AG+AE+BG+BE＝AE+AE+DE+BE＝2AE+BD＝2AE+4，∴m随AE的增大而增大，当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，此时AE＝AD＝＝2×2，＝8，m的最小值为2AE+4当点E与点B或点D重合时，AE最大，m的值最大，此时AE＝4，m的最大值为2AE+4∵点E不与B、D重合，∴8≤m＜8+4，＝2×4+4＝8+4，∴③正确；④如图，若设BD的中点为O，则点E在OD上时，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，第16页（共30页）

∵BF＝1，AB＝4，∴AF＝＝，由③知四边形AEFG是正方形，∴AE＝AF＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AT＝DT＝∴ET＝∴DE＝DT﹣ET＝2∴S△ADE＝∴S△AGB＝S△ADE＝3．∴④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）计算：．AD＝＝，＝，＝3，，【分析】先根据乘法分配律去括号，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：＝3﹣4＝3﹣2+2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．第17页（共30页）

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上．且∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，求出∠ABE+∠AEB＝90°，∠CDF+∠ADF＝90°，求出∠AEB＝∠ADF，根据平行线的判定得出BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（即DE∥BF），∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠CDF+∠ADF＝90°，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．19．（6分）如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，（1）求AB的长；（2）求△ABD的面积．．【分析】（1）根据垂直定义可得∠C＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；第18页（共30页）

（2）根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝∴AB的长为2＝；）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，＝2，（2）∵AB2+BD2＝（2∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ABD＝90°，∴△ABD的面积＝AB•BD＝×2＝2，．×2∴△ABD的面积为2【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．20．（6分）新冠肺炎疫情防控时刻不能放松．某校倡议学生积极参加体育锻炼，提高免疫力．为了解八年级学生周末体育锻炼的情况，在该校八年级学生中随机抽取了16名女生和16名男生，调查了他们周末的锻炼时间，收集到如下数据（单位：分钟）：女生49男生585665676668727275767983891.5；（1）女生锻炼时间的众数为，男生锻炼时间的中位数为（2）如果该校八年级的女生有128人，男生有144人，请估计该校八年级学生周末锻炼的时间在100分钟以上（不包含100分钟）的人数．【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数值，叫众数这组数据的众数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，根据定义直接解答即可；（2）先计算样本中学生周末炼的时间在100分钟以上（不包含100分钟）的人数，用样第19页（共30页）

本估计总体即可．【解答】解：（1）根据众数的定义可知，女生锻炼时间的众数为80；因为数据有16个，所以中位数为第8个和第9个数的平均数，所以男生锻炼时间的中位数为＝82.5；（2）该校八年级学生周末炼的时间在100分钟以上（不包含100分钟）的人数为＝60（人），答：该校八年级学生周末炼的时间在100分钟以上（不包含100分钟）的人数为60人．【点评】本题考查了众数和中位数的概念，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是边AB上的一点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是边AB的中点时，若AB＝10，ED＝8，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据AE∥DC，CE∥AB，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得到结论成立；（2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴四边形AECD是矩形，∴AC＝ED；（2）解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10，第20页（共30页）

∴CD＝AD＝5，∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∴四边形AECD是菱形，∴DE＝4，∴AC＝∴AC＝6，∴四边形ADCE的面积是AC•DE＝×6×8＝24，即四边形ADCE的面积是24．【点评】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为y1，y2（单位：km），y1，y2分别与x的函数关系如图所示．（1）求y1关于x的函数解析式；（2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由．＝3，【分析】（1）分段用待定系数法可得解析式；（2）分两种情况分别列方程可得答案．【解答】解：（1）当0≤x≤2时，设y1＝kx，把（2，8）代入得：2k＝8，解得k＝4，∴y1＝4x，第21页（共30页）

当x＞2时，设y1＝kx+b，把（2，8）（3，16）代入得：，解得，∴y1＝8x﹣8，∴y1关于x的函数解析式为y1＝（2）∵乙3小时运动16千米，∴乙的速度是∴y2＝当当x，千米/小时，；x﹣4x＝1时，解得x＝，x﹣（8x﹣8）＝1时，解得x＝，小时．答：相遇前，存在甲、乙两人相距1km的时刻，运动时间为小时或【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据待定系数法求出函数关系式是解题关键．23．（10分）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：作平行四边形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的平行四边形ABCD中，连接BD，交AC于点O．①若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝12，求BD的长；②过点O作直线EF与边AD，BC分别交于点E，F，设四边形EDCF的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，求S1：S2的值．【分析】（1）分别以A、C为圆心，BC、AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、DC，即可得到平行四边形ABCD；（2）①由平行四边形的性质得出BD＝2BO，AO＝AC＝×12＝6，由勾股定理得出BO＝10，即可求出BD＝20；第22页（共30页）

②先证明△ABD≌△CDB，得出S△ABD＝S△CDB，即可得出，再证明△OED≌△OFB，得出S△OED＝S△OFB，得出S四边形EDCF＝S△OED+S四边形ODCF＝S△OBF+S四边形ODCF＝S△BCD，进而得出，即可得出S1：S2＝．【解答】解：（1）如图1所示，▱ABCD即为所求；（2）①如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴BD＝2BO，AO＝AC＝×12＝6，∵∠BAC＝90°，AB＝8，∴BO＝＝＝10，∴BD＝2BO＝2×10＝20；②如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，第23页（共30页）

∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴S△ABD＝S△CDB，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF，∴△OED≌△OFB（AAS），∴S△OED＝S△OFB，∴S四边形EDCF＝S△OED+S四边形ODCF＝S△OBF+S四边形ODCF＝S△BCD，∴，∴S1：S2＝．【点评】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．24．（12分）如图，点A（0，2），B（3，3），C（7，﹣1），四边形OBCD是矩形，BD与x轴交于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）求线段OE的长；（3）若点P为直线AB上一动点，设△POB的面积为S1，△OBE的面积为S2，且S1＝2S2，求点P的坐标．第24页（共30页）

【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）连接OC交BD于点F，由四边形OBCD是矩形可得点F坐标，从而可得直线BF解析式，进而求解．（3）由S1＝2S2可得△POB的面积，分类讨论点P在y轴左右两侧两种情况，结合图象求解．【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（0，2），B（3，3）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+2．（2）连接OC交BD于点F，∵四边形OBCD是矩形，点C坐标为（7，﹣1），点O坐标为（0，0），点F为OC中点，∴点F坐标为（，﹣），设直线BD解析式为y＝kx+b，将（3，3），（，﹣）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣7x+24，将y＝0代入y＝﹣7x+24得0＝﹣7x+24，解得x＝，，0），即OE＝．∴点E坐标为（第25页（共30页）

（3）∵△OBE的面积为S2＝OE•yB＝∴S1＝2S2＝，×3＝，作BM⊥y轴于点M，①当点P在y轴左侧时，连接OP，作PN⊥y轴于点N，∵S△POB＝S△POA+S△AOB，∴S△POA＝S△POB﹣S△AOB＝S1﹣•OA•xB＝∴OA•|xP|＝解得xP＝﹣将x＝﹣，代入y＝x+2得y＝﹣，﹣）．×+2＝﹣，（﹣xP）＝，﹣＝，∴点P坐标为（﹣②当点P在y轴右侧，连接OP，作PN⊥y轴于点N，∵S△POB＝S△POA﹣S△AOB＝∴S△POA＝S△POB+S△AOB＝，+＝，第26页（共30页）

∴OA•xP＝解得xP＝将x＝，，代入y＝x+2得y＝，）．，∴点P坐标为（综上所述，点P坐标为（﹣，﹣）或（，）．【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，通过分类讨论求解．25．（12分）已知AE∥BF，AB＝6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且BG＝10，AC＝5，求DG的长；（3）如图3，在（1）的条件下，若∠ABF＝60°，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且BP＝DQ，求AP+AQ的最小值．【分析】（1）证明四边相等，可得结论；（2）如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．根据BD的两种求法，构建方程，求出y即可；（3）如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．由题意AP+AQ＝+推出欲求AP+AQ的最小值，相），J（3，3）的距离和最当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，3小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长．【解答】（1）证明：如图1中，第27页（共30页）

∵△ACD与△ACB关于AC对称，∴AB＝AD，CB＝CD，∠CAB＝∠CAD，∵AE∥AF，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB，∴BA＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．∵△ACD与△ACB关于AC对称，∴AC垂直平分线段BD，∴BO＝OD，∵BC＝CG，∴OC∥DG，DG＝2OC＝2y，∴DG⊥BD，∴BD＝又∵BD＝2OB＝2∴∴y＝，第28页（共30页）＝＝2，，＝2，

∴DG＝2y＝；（3）解：如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴OA＝OC＝3，OD＝3∵AH⊥CB，∴BH＝CH＝3，AH＝3∴AP+AQ＝，+，），，欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，3J（3，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长，∴KN＝∴AP+AQ的最小值为6．＝6，解法二：可以在BC下方构造△BPH≌△ADQ来做，得△ABH为等腰直角三角形．第29页（共30页）

由AP+AQ＝AP+PH≥AH，可得结论．【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．第30页（共30页）

本文标签： 性质考查本题